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新疆维吾尔自治区喀什第二中学2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷
一、单选题
1．已知，则的虚部为（ ）
A． B．2 C．3 D．6
2．设是非零向量，则是成立的（　　）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．如图所示，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的高是（ ）
A． B． C． D．
4．已知在中，，则的外接圆半径为（ ）
A．2 B． C． D．3
5．已知向量满足，则（ ）
A．2 B．7 C． D．
6．为了测量河对岸一古树高度（如图），某同学选取与树底在同一水平面内的两个观测点与,得 ,在点处测得树顶的仰角为,树高 约为米，则（ ）.
A．米 B．米 C．米 D．米
7．设单位向量的夹角为，，则在上的投影数量为（　　）
A． B． C． D．
8．在中，内角所对的边分别为，已知，且当时，的最小值为1，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）．
A．若．则有两组解
B．已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C．若满足，则与的夹角为
D．在中，若
10．如图所示，圆锥的底面半径和高都等于球的半径，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆锥的轴截面为直角三角形
B．圆锥的表面积等于球的表面积的一半
C．圆锥的体积与球的体积之比为
D．若半径为，则圆锥侧面积为
11．已知在直角中，斜边，为所在平面内一点，，则下列结论正确的是（ ）
A．的取值范围是 B．点在斜边的中线上
C．点的轨迹长度是 D．的取值范围是
三、填空题
12．已知向量，，且，则__________．
13．若圆台的上下底面半径分别为1和4，侧面积为，则圆台的体积为________.
14．在锐角三角形中，若，则__________．
四、解答题
15．已知复数．
(1)若为纯虚数，求的值；
(2)若为实数，求的值；
(3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
16．在中，角的对边分别为,且．
(1)求角的大小；
(2)若，的面积为，求该三角形的周长．
17．在中，，为的重心．过点的直线分别交射线，于，两点．
(1)设，，试用，表示；
(2)若，求；
(3)若，，求的最小值．
18．已知在正四棱柱中，，，点是的中点．
(1)求证：直线平面．
(2)求三棱锥的体积．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点P为的费马点.
(1)求A；
(2)若，求的值；
(3)若，求的最大值.
参考答案
1．C
解析：因为，
所以，所以的虚部为3.
故选：C
2．C
解析：对于非零向量，
若，则同向，不一定有；
若，则同向，此时.
所以是成立的必要不充分条件.
故选：C
3．B
解析：如图所示，作出原图：
因为正方形的边长为，
所以，
由斜二测画法的规则可知，，，
因为正方形是水平放置的一个平面图形的直观图，
所以原图形的高是.
4．C
解析：由于在中，，
故，即，
故，结合，得，
故的外接圆半径为.
5．D
解析：因为，则，
左右两边平方得，计算得，
又因为，
所以，
所以.
故选：D.
6．C
解析：在中，，
因为，所以米，
又因为，所以，
根据正弦定理：，即，
又因为，所以.
7．D
解析：单位向量的夹角为，，
，
，
，
，
则在上的投影数量为，故选项D正确.
8．A
解析：在中，由，所以，则，
设，所以，
所以的最小值为点到直线的距离，
因为的最小值为1，所以.
9．ACD
解析：对于A中，因为，
由正弦定理，可得，解得，
因为，所以或，此时三角形有两解，所以A正确；
对于B中，由向量，且与的夹角为锐角，
则且向量与方向不相同，
由，解得，
设，即，可得，解得，
所以向量与的夹角为锐角时，实数的取值范围是，所以B错误；
对于C中，由，有，则，
则且，
设与的夹角为，可得，
因为，所以，即与的夹角为，所以C正确；
对于D中，由，可得，由正弦定理得，所以D正确.
故选：ACD.
10．AC
解析：设球的半径为，则如图所示：，
由，得：，得，
所以，所以A正确；
圆锥的表面积为，球的表面积为，
所以，所以B错误；
圆锥的体积，球的体积，，C正确；
圆锥的母线长为，底面周长为，所以圆锥侧面积，D错误.
11．ABD
解析：
如图所示，设中点为，则，
由已知，
则，
又为直角三角形，
则，即，
所以，A选项正确；
由，
又，且，，
所以点在线段上，即点在斜边的中线上，B选项正确；
所以点的轨迹的长度为，C选项错误；
D选项：，设，，
则，，
所以，
D选项正确；
故选：ABD.
12．/
解析：由向量，得，，
又因为，所以，解得；
所以，则，因此.
13．
解析：设圆台母线长为，则，所以，所以圆台的高为，
所以圆台的体积为.
14．
解：由已知条件，，，
两边同除以， ，
又，可得，
则.
故答案为:8．
15．(1)
(2)或
(3)
解析：（1）由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得．
（2）由复数为实数，可得，
解得或．
（3）由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足，
解得，即的取值范围为．
16．(1)
(2)12
解析：（1）因为，
由正弦定理得：，
整理得：，
因为，所以，故，
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，
解得，
又因为，
即，
所以，故的周长为.
17．(1)；
(2)；
(3)．
解析：（1）延长，与交于点，则为的中点，
所以．
（2）因为，，
所以，．
，
，
．
（3）因为，，三点共线，所以设，
由（1）可知，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是．
18．(1)如图，连接，设，
则为的中点，又为的中点，
所以，又因平面，平面，
所以直线平面.
(2)
解析：（1）略
（2）因为，，
所以，
又平面，平面，
所以，
又，平面，平面，
所以平面，又是的中点，
所以三棱锥的体积为
．
19．(1)
(2)
(3)
解析：（1）法一：因为，
所以，
即，
整理得：，
所以由正弦定理可得，所以；
法二：因为，且，
所以，
所以，整理得，
因为，所以，所以.
（2）由（1）可得，，所以三个内角都小于，
则由费马点的定义可知：，
设，由，
得，整理得：，
所以；
（3）由费马点的定义可知：，
设，则，
又，所以由平面向量基本定理有.
由余弦定理可得：，
，，
因为，所以，
所以有，化简可得：，
将代入上式，化简得.
因为，当且仅当结合解得时等号成立，
设，所以，解得或，
因为，所以，所以，即的最大值为.

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