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2025-2026学年新疆昌吉州第一中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，且，则实数( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，，是同一平面内不同的三点，且，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
5.已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，则( )
A. B. C. 或 D.
6.设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. ，，则 B. ，，
C. ，，则 D. ，，则
7.如图，正方体中，为的中点，则与平面所成的角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知球与正四棱锥的四条侧棱和底面均相切，若，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.一组样本数据：，，，，，，，，，，则这组数据的( )
A. 中位数是 B. 第百分位数是 C. 平均数是 D. 方差是
10.在中，三个内角，，所对的边分别为，，，，，，则( )
A. B.
C. D. 的范围为
11.如图，在半圆台中，是半圆的直径，是半圆的直径，是弧的中点，且，，则( )
A. 半圆台的体积为
B. 半圆台的表面积为
C. 直线与所成的角为
D. 直线与所成角的正切值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.向量在向量上的投影向量的坐标为 ．
13.如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，，则在中， ．
14.若对任意的，都有，则称是完美集合从集合的所有非空子集中任选个，该集合不是完美集合的概率是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，已知三点，，．
若直线过点且与直线垂直，求直线的方程；
若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的倍，求直线的方程．
16.本小题分
为了普及航天知识，某校开展了“航天知识竞赛”活动现从参加竞赛的学生中随机抽取人，统计他们的成绩满分分，其中成绩不低于分的学生被评为“航天达人”，将数据分成，，，，五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
若该校参加这次竞赛的共有名学生，试估计该校这次竞赛中“航天达人”的人数；
估计参加这次竞赛的学生成绩的分位数；
若在抽取的名学生中，利用分层随机抽样的方法从成绩不低于分的学生中随机抽取人，求从成绩在，内的学生中分别抽取的人数．
17.本小题分
某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：
Ⅰ该应聘者用方案一考试通过的概率；
Ⅱ该应聘者用方案二考试通过的概率．
18.本小题分
已知菱形的边长为，，平面外一点在平面上的射影是与的交点，是等边三角形．
求证：平面；
求点到平面的距离；
若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，以及此时线段的长．
19.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
．
若的周长为，角的平分线交于点，求的长；
(ⅱ)若为锐角三角形，，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】 或
16.【答案】 人，人
17.【答案】解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，，
则，，，
应聘者用方案一考试通过的概率：
；
应聘者用方案二选择任意两科的概率为，考试通过的概率：
．
18.【答案】证明：点在底面上的射影是与的交点，
平面，
平面，，
四边形为菱形，，
，，平面，
平面 点在线段上靠近点的分点处，此时，
19.【答案】
；
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