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2025-2026学年山东省临沂第一中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
2.设集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知是函数的极值点，则的极大值为( )
A. B. C. D.
4.已知曲线：把上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，等价于把( )
A. 向下平移个单位长度 B. 向上平移个单位长度
C. 向下平移个单位长度 D. 向上平移个单位长度
5.已知实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.某高中安排名学生到个志愿服务地点参加实践活动，每个地点至少人，且学生不能去甲地点，则不同的安排方案的方法种数是( )
A. B. C. D.
7.高考是全国性统一考试，因考生体量很大，故高考成绩近似服从正态分布一般正态分布可以转化为标准正态分布，即若，令，则，且已知选考物理考生总分的全省平均分为分，该次考试的标准差为，现从选考物理的考生中随机抽取名考生成绩作进一步调研，记为这名考生分数超过分的人数，则( )
参考数据：若，则，．
A. B. C. D.
8.设，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 以去拟合一组数据，令，若线性回归方程为，则，
B. 已知，是概率均不为的随机事件，若，则
C. 若随机变量，且，则
D. 用决定系数来比较两个不同模型对同一组数据的拟合效果时，越大，表示残差平方和越小，模型的拟合效果越好
10.已知，为不相等的正实数，满足，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
11.已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合，则( )
A. 若，则不是中的元素
B. 若，且，均为偶函数，则对于，
C. 若，，则
D. 若为偶函数，当时，，且对任意，均有，则对任意实数，函数在上至多有个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知的展开式中的系数是，则的值为 ．
13.小鑫在一场篮球比赛中投了个三分球，他的三分球命中率为，且每球是否命中均相互独立，设他的三分球得分为，则的方差是 ；在已知他至少命中个的条件下，他恰好命中个的概率为 ．
14.设曲线为自然对数的底数上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的样本数据，如下表：
年龄岁
脂肪含量
数据经初步处理得，，，．
计算样本相关系数精确到，并说明该成对样本数据的线性相关程度；
若关于的线性回归方程为，求关于的线性回归方程精确到，并计算当年龄为岁时的残差．
附：参考公式：相关系数，一组数据的回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；
参考数据：，．
16.本小题分
已知函数是偶函数．
求实数的值；
若函数在上只有一个零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型，为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为，女性人数为，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的．
Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计
男
女
合计
完成联表若在犯错误的概率不超过的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人？
某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排个接种周期进行试验每人每次接种花费元甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每个周期必须完成次接种，若一个周期内至少出现次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．
若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？
附：
18.本小题分
已知函数的定义域是对于，定义集合．
若，求；
对于集合，若对任意都有，则称是对称集若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；
若函数的定义域为，对任意，试求的取值范围，使得对于任意，都有．
19.本小题分
在某地区进行某种疾病调查，需要对该地区居民血液进行抽样化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果为阴性，则未患有该疾病现有份血液样本，有以下两种检验方案：
方案一：逐份检验，则需要检验次；
方案二：混合检验，将份血液样本分别取样混合在一起，进行一次检验，若检验结果为阴性，则份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定份血液中的阳性血液样本，则对份血液样本再逐一检验．
假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为．
若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为，求的分布列及数学期望；
若采用逐份检验的方案，记第一次检测出阳性样本时共检测的次数为，且，均为自然数，当时，求证：；
若逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费．
若，，以检验总费用为决策依据，试分析说明该单位选择哪种方案更为合理；
若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求的最大值．
参考数据：，，，，，．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】

14.【答案】
15.【答案】，推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强
，
16.【答案】
17.【答案】列联表为
Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计
男
女
合计
男性患者至少有人
时，乙团队试验的平均花费较少，选择乙团队进行研发；时，甲团队试验的平均花费较少，选择甲团队进行研发；时，甲团队试验的平均花费和乙团队试验的平均费用相同，选择甲团队或乙团队进行研发均可
18.【答案】
证明：
必要性：因为是偶函数，所以任意，，
对任意，若，即，则，
所以，所以对任意，是对称集．
充分性：若对任意，是对称集，
因为对任意，，所以，即，
又，所以，即．
由得，对任意，，
所以函数是偶函数．
综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证

19.【答案】
证明：当时，等价于前次均未检测出阳性样本，所以，
设为事件，为事件，因为，
，
即
方案二．

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