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2025-2026学年湖北省荆门市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知随机变量服从正态分布，，则( )
A. B. C. D.
2.某人有把钥匙，其中仅有一把能打开门如果他每次都随机选取一把钥匙开门，不能打开门时就扔掉，则他第二次才能打开门的概率为( )
A. B. C. D.
3.已知函数有极值，则的取值范围是( )
A. B.
C. D. ，
4.已知等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
5.现有道四选一的单选题，学生张君对其中道题有思路，道题完全没有思路有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为张君从这道题中随机选择题，则他做对该题的概率为( )
A. B. C. D.
6.函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.的不同的正因数的个数为( )
A. B. C. D.
8.有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有，，，，，，，共八个点，一枚棋子起始位置在点处，抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为，则棋子前进步，每步从一个点按顺时针方向前进到相邻的另一个点，可以循环进行，抛掷三次骰子后，游戏结束若此时棋子在点处，则游戏过关试问游戏结束时过关的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 二项式系数之和为 B. 各项系数之和为
C. 二项式系数最大的项为 D. 常数项为
10.函数，则( )
A. B. 的单调递增区间为
C. 最大值为 D. 有两个零点
11.下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.集合的三元子集的个数为 用数字作答
13.在等比数列中，，前项之和，则公比的值为 ．
14.已知三个正整数的和为，用表示这三个数中最小的数，则的期望 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了解某校学生每天进行体育运动的时间，从中抽取男、女生共人进行问卷调查将样本中的“男生”和“女生”按每天体育运动的时间单位：分钟各分为组：，，，，，经统计得下表：
男生
人数
女生
人数
若体育运动的时间不少于一小时，则被认定为“喜欢体育运动”，否则被认定为“不喜欢体育运动”．
根据以上数据完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢体育运动与性别有关联？
喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计
男
女
合计
从喜欢体育运动的学生中按性别采用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人担任体育运动宣传员，记随机变量为抽取的人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
附：
16.本小题分
已知数列满足为自然对数的底，且．
当时，令，求的通项公式及其前项和；
当时，令，，，求的值．
17.本小题分
函数．
求在处的切线方程；
时，恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在矩形中，，，坐标轴上四点，，，分别是矩形四条边的中点，设，．
证明：直线与的交点恒在椭圆上，并求的方程；
直线过中椭圆的右焦点与交于，两点，．
若在轴上，则是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是，说明理由；
若，证明：动点恒在一条定直线上，并求出该直线方程．
19.本小题分
“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：
石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；
两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局现有人玩游戏．
分别求人，人玩一轮游戏，平局的概率、；
求人玩一轮游戏，平局的概率结果用表示：
设当时，玩轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】或
14.【答案】
15.【答案】
喜欢体育运动 不喜欢体育运动 合计
男
女
合计
认为是否喜欢体育运动与性别有关联；
的分布列为
数学期望为．
16.【答案】解：当时，，两边取对数可得：，即，
又因为，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，；
当时，，
则，所以，
所以，
又由，可得，所以，
则，
所以．
17.【答案】

18.【答案】由，，得，，
故，，即，
设，则，化简有：，
故椭圆的方程为：
由，，，，，
联立．
由，
；设，
，
由，得，
故，即动点恒在定直线上
19.【答案】；

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