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2025-2026学年北京市牛栏山一中教育集团高二（下）期末
数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.随机变量的分布列如下表：
则( )
A. B. C. D.
4.电商工作室要从甲、乙、丙人中选择人，分别担任带货主播和运营助理，则不同的选法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
5.现有个潮玩盲盒，其中个是隐藏款，另外个是普通款现随机选购个，令为选中隐藏款的个数，则( )
A. B. C. D.
6.下列各图反映了数列的前项和与项数之间的函数关系，其中说明数列可能为等差数列的是
A. B.
C. D.
7.设事件，相互独立，且，则下列命题正确的是( )
A. B.
C. D.
8.若数列与都是等比数列，则“与均为递增数列”是“数列为递增数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.如图，直线为曲线的一条切线，则函数在上( )
A. 有个极小值，有个极大值
B. 有个极小值，有个极大值
C. 有个单调递增区间，个单调递减区间
D. 有个单调递增区间，个单调递减区间
10.已知正整数数列：，，，各项互不相等，且满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.数列的前项和为，若，则 ．
12.若随机变量服从两点分布，其中，则 ．
13.若等差数列的前项和为，且，，则的最大值为 用数字作答
14.在一项水稻胚芽实验中，研究人员从某培养皿中随机抽取样本进行检测培养皿内共有个水稻胚芽样本，其中有个目标胚芽和个非目标胚芽若某研究员计划进行两次不放回的随机抽样，每次抽取一个胚芽样本则第一次抽取到目标胚芽的概率为 ；两次都抽取到目标胚芽的概率为 ．
15.无穷数列满足，则下列结论正确的是 ．
若，，则为单调递增数列；
记，若，则为单调递增数列；
若，则对任意，存在正整数，当时，；
存在正数，使得对任意均成立．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知等差数列与等比数列满足，．
求数列与的通项公式；
求数列的前项和；
若数列中的最大项是第项，请直接写出的值．
17.本小题分
已知．
求的值和含的项的系数；
求的值；
已知，求的值．
18.本小题分
已知和分别是函数的极值点．
求，的值及函数的单调区间；
若恰有两个不同的零点，求的值．
19.本小题分
某校计划于暑假开展“知行共奔赴，青春赴山海”游学活动，共有北京、西安、成都、南京、杭州五个地点可供选择，每位学生选择其中一个地点为了解本校学生的游学意向，采用分层抽样从全校初中生和全校高中生中各随机抽取名学生，对其选择的游学目的地进行统计调查，各目的地选择人数如下表：
北京 西安 成都 南京 杭州
初中生
高中生
假设每位学生选择游学目的地的结果互不影响，用频率估计概率．
从五个地点中随机选择一个，估计该地点全校初中生选择比例高于全校高中生选择比例的概率；
从全校初中生中随机抽取人，从全校高中生中随机抽取人，记这人中选择“北京”作为游学目的地的人数为，估计的数学期望；
若从该校初中生中随机抽取人，记这人中选择“北京”的人数为；从该校高中生中随机抽取人，记这人中选择“北京”的人数为比较第问中随机变量的方差与，三者的大小关系结论不要求证明
20.本小题分
已知直线是函数的一条切线．
求的值；
设实数使得对恒成立，求的值；
证明：对任意的，，均有．
21.本小题分
给定单调递增正整数数列：，，，，若非空集合满足以下条件：
对于任意的，且，有；
对于任意的，且，有，则称集合为数列的一个“集”．
已知数列：，，，直接写出的一个“集”；
已知是数列：，，的一个“集”，且中恰有个不同元素，求的最小值；
若数列：，，，存在“集”，求的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】
16.【答案】，；，
，

17.【答案】；

18.【答案】，，的单调递增区间为，，的单调递减区间为
当且仅当或时，有两个不同的零点
19.【答案】

20.【答案】
证明：，
所以．
令，
所以，
所以时，，单调递减，即单调递减．
令且，．
所以．
因为，所以，
由在上单调递减，
所以．
所以，单调递增．
又．
所以时，恒成立得证，
即对任意，，均有
21.【答案】

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