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2025-2026学年内蒙古阿拉善盟高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知为虚数单位，，则( )
A. B. C. D.
2.数据，，，，，，，的第百分位数为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，且，则向量与夹角的大小为( )
A. B. C. D.
4.平行四边形的两条对角线相交于点，且，，则( )
A. B. C. D.
5.如图所示，边长为的正方形是某一个图形的直观图，则原图形的周长是( )
A. B. C. D.
6.投掷一枚均匀的骰子，记事件：“朝上的点数大于”，：“朝上的点数为或”，则下列选项正确的是( )
A. 与互斥 B. 与对立 C. D.
7.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关下面四幅频率分布直方图中，最能说明平均数大于中位数的是( )
A. B.
C. D.
8.如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中不正确的是( )
A. 若，，且，，则
B. 若平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则
C. 若，，则
D. 若，，则
10.在中，角，，的对边分别为，，，，，，且满足，则下列结论正确的是( )
A. B. 的面积为
C. D. 为锐角三角形
11.已知三棱锥的各顶点都在球上，点，分别是，的中点，平面，，，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的四个面均为直角三角形
B. 球的体积为
C. 直线与平面所成角的正切值是
D. 点到平面的距离是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校有老师人，男学生人，女学生人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本；已知从女学生中抽取的人数为人，则 ______．
13.已知平面向量与与满足，，且在方向上的投影向量为，则 ．
14.“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台如图所示，在一个盛满米的“方斗”容器中，，，若从中取出米后，米的高度下降一半，则剩余的米的质量为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．
16.本小题分
增强青少年体质，促进青少年健康成长，是关系国家和民族未来的大事某高中为了解本校高一年级学生体育锻炼情况，随机抽取每天体育锻炼时间在单位：分钟的名学生，统计他们每天体育锻炼的时间作为样本并绘制成如下的频率分布直方图，已知样本中体育锻炼时间在的有名学生．
求，的值；
估计这名学生每天体育锻炼时间的中位数和平均值；同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
17.本小题分
某沙稻研究中心利用旱直播技术在沙漠试验田种植甲、乙两个新品种水稻，随机各抽取块试验田，其亩产量数据单位：如下：
甲
乙
利用均值和极差对甲、乙的产量进行评价；
产量的变异系数是一个用于评估产量稳定性和变异程度的指标，越小，产量越稳定，生产的风险也越小，其计算公式为，根据产量的变异系数，你认为哪个品种更适合推广？
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，平面，平面平面．
证明：平面；
当为何值时，二面角的余弦值为．
19.本小题分
某商场开展促销活动，每消费满元可获得一次抽奖机会抽奖箱装有个红球、个白球、个蓝球，这些球除颜色外完全相同，抽奖规则如下：一次性随机摸出个球，若摸出个红球，可获得一等奖；若摸出个红球和个蓝球，可获得二等奖．
已知甲在该商场消费了元，求甲获得一等奖的概率；
为加大促销力度，在原规则的基础上，当顾客在该商场消费满元时，若顾客两次抽奖均摸出蓝球，则额外获得一个二等奖已知乙在该商场消费了元，记“乙至少获得一个一等奖”为事件，“乙恰好获得一个二等奖”为事件．
求事件发生的概率；
判断事件与是否相互独立，并说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】令与交于点，连接，因为，分别为，中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
正方体中，平面，
所以，
因为正方体中，四边形为正方形，所以，
因为，是平面内两相交直线，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面
16.【答案】，
中位数为分钟，平均值为分钟
17.【答案】甲品种的产量略低乙品种，但比较稳定；乙品种的产量较高，但波动较大；
甲品种的产量更稳定，生产的风险也更小，更适合推广．
18.【答案】：因为平面，平面，所以．
过点作，交于点．
因为平面平面，平面平面，所以平面．
又平面，所以．
因为，平面，，所以平面．
因为底面是菱形，所以，所以平面

19.【答案】
；事件与不相互独立；理由：因为，，，所以，所以事件与不相互独立
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