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2025-2026学年吉林省长春力旺高中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.样本数据，，，，的上四分位数为( )
A. B. C. D.
2.已知，计算( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则( )
A. B. C. D.
4.一个圆台的轴截面是一个底角为的等腰梯形，则这个圆台的侧面积与轴截面面积的比值为( )
A. B. C. D.
5.袋子中有个大小质地完全相同的球，其中个白球，个黄球，从中随机抽取个球，则取出的个球中至少有个白球的概率是( )
A. B. C. D.
6.已知正三棱台上下底面边长分别为，，高为，则它的表面积为( )
A. B. C. D.
7.如图，水平地面上有两座高塔，为测量塔高，选择水平地面上一点和另一座塔的塔顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得现已知塔高，则塔高( )
A.
B.
C.
D.
8.已知是圆的内接三角形，若，且的最大值为，则圆的半径为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. ，
C. 若，则 D. 若，则
10.如图，和都垂直于平面，且，，点在上，则( )
A. 平面平面
B. 存在点，使得平面
C. 存在点，使得平面平面
D. 存在点，使得平面平面
11.在中，角，，的对边分别是，，，若，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D. 的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是 ．
13.在中，角，，所对的边为，，若，，则外接圆的面积为 ．
14.一个正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，其内部有一个半径为的能自由滚动的球，则在该三棱柱内，球任意滚动过程中始终不能到达的部分的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩满分分，成绩均不低于分分成六组：、、、，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
试估计样本成绩的平均数同一组数据用该组数据的中间值代替和中位数；
已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差．
16.本小题分
如图，在六面体中，上、下底面平行且均为矩形，侧棱延长后相交于，两点．
证明：平面；
若，，，，平面与平面的距离为，求六面体的体积．
17.本小题分
数据传输包括发送与接收两个环节在某数据传输中，数据是由数字和组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字发送数字时，收到的数字是的概率为，收到的数字是的概率为；发送数字时，收到的数字是的概率为，收到的数字是的概率为假设每次数字的传输相互独立，且．
若发送的数据为“”，且，，求接收到的两个数字中有且只有一个正确的概率；
用表示收到的数字串，将中数字的个数记为，如“”，则，对应的概率记为若发送的数据为：“”，且，求．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，为正三角形，，在平面内的射影在线段上，是的中点．
证明：平面平面；
求与平面所成角的正弦值；
为线段上的动点，已知的最小值为，记四面体与四面体的公共部分为，用平面去截的外接球球面，求所得交线在侧面内的部分的弧长．
19.本小题分
如图，已知的内角，，所对的边分别为，，，且，动点在的外接圆上，且点和点位于边的两侧，连接，已知，．
判断的形状；
若，求四边形的面积；
求的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】 平均数为，中位数为 ，
16.【答案】证明：由已知，又平面，平面，
所以面．
又平面平面，平面，
所以．
又平面，平面，
所以面

17.【答案】

18.【答案】证明：取的中点，连接，，，
因为，分别为，的中点，所以，所以，
所以平面即为平面，
因为为正三角形，故A，
又因为在平面内的射影在上，故平面平面，
又因为平面平面，且平面，
故A平面，因平面，故A，
因为，因此，
即，则，故A，
因为且，平面，
故BC平面，又因为平面，
故平面平面；

19.【答案】等腰三角形
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