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2026年湖南衡阳市衡阳县初中学业水平模拟考试（一）数学试卷
一、单选题
1．下列各数中，比小的数是（）
A．1 B．0 C． D．
2．如图是我们生活中常用的2号电池及其示意图，可以近似看作一个圆柱体上叠放着另一个圆柱体，则其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．据文化和旅游部数据中心测算，年清明节假期天，全国国内出游约亿人次，同比增长．数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．将不等式的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图1，是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，若点先向右平移再向下平移，则点可能移动到下列哪个点的位置（ ）
A． B． C． D．
8．今年是我国“十五五”开局之年，因此2026年春晚主题“骐骥驰骋 势不可挡”紧扣生肖马的奔腾意象，暗含“奇迹”之意，寓意国家发展和个人奋斗的双重奋进．在春晚主题的八个字中，选取一个字，是左右结构字的概率为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，连接交于点，连接，若，，则长为（ ）
A． B．8 C． D．10
10．如图1，点E，F，G，H分别位于正方形的四条边上，，四边形的面积为，y与x之间的函数图象如图2所示，则下列说法错误的是（）
A．的长为1
B．四边形是正方形
C．四边形面积的最小值为
D．当时，y与x之间的函数表达式为
二、填空题
11．分解因式：________．
12．若为正整数，且满足，则__________．
13．如图，点P是反比例函数y＝（k≠0）的图象上任意一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．若△POM的面积等于2，则k的值等于_
14．如图，在正六边形中，连接，相交于点，则的度数为________．
15．《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）：
箭尺读数 1 6 21 31
指示时间 ？
则箭尺读数为时，指示时间应为______．
16．如图，在中，，点D，E，F分别在边，，上，已知，垂直平分．
（1）若，则的度数为________；
（2）下列结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号）
①若D为的中点，则F为的中点；
②若连接，则四边形为菱形；
③若，，则的长为．
三、解答题
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，四边形内接于，且是的直径，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接，过点作的切线与的延长线相交于点，若，求的长．
20．【问题背景】2026年4月23日是第31个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架的数量不少于B种书架数量的．
【问题解决】
(1)求A，B两种书架的单价；
(2)设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式及w的最小值．
21．为践行“健康第一”教育理念，落实中小学生每天综合体育活动时间不低于小时，丰富课后服务体育项目，增加学生户外活动时长，某中学每天除了以课程方式安排小时的集中体育活动外，还鼓励学生利用课余时间积极锻炼、增强体能．为了解该校七年级男生体能情况，随机抽取20名男生进行体能测试，并对测试成绩（单位：分）进行统计分析．
【收集数据】

【整理数据】
该校规定：为不合格，为合格，为良好，为优秀．（成绩用表示）
等次 不合格 合格 良好 优秀 合计
频数（人数）
频率
【分析数据】
此组数据的平均数是，众数是，中位数是．
【解决问题】
(1)填空：________，________，________；
(2)若该校七年级共有男生人，估计体能测试达到优秀的男生有多少人；
(3)体育老师对本次测试数据分析后，准备对成绩排在前一半的男生进行奖励．小林说：“我的测试成绩是分，高于平均数，所以肯定会得到奖励．”你认为小林的说法是否正确？请说明理由．
22．凤凰古城是湖南十大文化遗产之一，沱江作为古城的母亲河，不仅承载着丰富的历史文化底蕴，还以其独特的自然风光和人文景观吸引着无数游客．为了促进古城旅游业发展，古城文旅局计划在端午节期间举办“端午探宝”定向寻宝赛，以古城街巷为场地还原古驿道寻宝路线．如图，已知打卡点C位于打卡点A正东方向2000米，打卡点D在打卡点A的东北方向，打卡点B在打卡点A的南偏东方向，打卡点C在打卡点B的北偏西方向，打卡点C在打卡点D的东南方向．
(1)求打卡点B与打卡点C之间的距离；
(2)比赛中，小衡从打卡点A出发，沿向B点匀速奔跑；小阳从打卡点D出发，沿向B点匀速奔跑，且两人经过A，C两点均不停留．若两人同时出发，速度相同，谁先到达B点？请通过计算说明．
23．综合与探究：
数学活动课上，同学们每人画了一个矩形，然后剪了一个直角三角形纸片并记为，，，将这个直角三角形纸片和矩形按图1摆放，使两个图形的点重合，点在上，点在上，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，观察图形的变化，完成探究活动．
(1)【特例探究】如图2，某生画的矩形恰好是正方形，连接，则线段的数量关系是_________，位置关系是_________；
(2)【问题解决】将图1中直角三角形纸片绕点顺时针旋转，位置如图3所示，连接、，（1）中与的位置关系是否仍成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；
(3)【拓广探索】如图4，若矩形中，，直角三角形纸片中，，，将直角三角形纸片绕点顺时针方向旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
24．如图，是坐标原点，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中．
(1)求b、c的值；
(2)点为抛物线上第一象限内一点，连结，与直线交于点，若，求点D的坐标；
(3)若为抛物线的顶点，平移抛物线使得新顶点为，若又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．探新抛物线与轴是否存在两个不同的交点．若存在，求出这两个交点之间的距离；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
解∶∵，，，，
∴，
∴比小的数是．
2．B
解：从上往下看，可以看到最上面的两个圆面，所以俯视图是两个同心圆组成的图形（两个圆都是实线）．
3．C
解：．
4．C
【详解】选项A，合并同类项时，系数相加，字母及指数不变，
∴，故选项A错误；
选项B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，
∴，故选项B错误；
选项C，同底数幂相除，底数不变，指数相减，
∴，故选项C正确；
选项D，积的乘方，等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，
∴，故选项D错误．
5．A
解：解不等式得：，
在数轴上表示为
6．B
解：∵，
∴,
∵，
∴ ．
7．D
解：设平移后点的坐标为，由平移方向可知平移后点的横坐标满足，纵坐标满足．
A选项，横坐标，故A选项不符合题意；
B选项，横坐标，故B选项不符合题意；
C选项，纵坐标，故C选项不符合题意；
D选项，横坐标，纵坐标，故D选项符合题意．
8．C
解：因为在春晚主题“骐骥驰骋 势不可挡”的八个字中，是左右结构字有5个，
所以左右结构字的概率为．
9．C
解：根据题意，得是的垂直平分线，
，
，
．
10．D
解：由图2可知，当时，，此时点与重合，四边形即为正方形，
正方形的面积为，即，
，
，故A选项说法正确；
四边形是正方形，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
同理可得，，
四边形是正方形，故B选项说法正确；
在中，，
，
，
当时，有最小值，故C选项说法正确；
当时，与的函数表达式为，故D选项说法错误．
11．
解：．
12．
解：∵，
∴，
∴，
∵为正整数，且满足，
∴，
故答案为：．
13．-4
【详解】∵△POM的面积等于2，∴|k|=2．
∵反比例函数图象过第二象限，∴k＜0，∴k=﹣4．
故答案为﹣4．
14．/60度
解：六边形是正六边形，
，，
，，
在中，，
故答案为：．
15．
解：由表格可得，至，读数从变成了；
至，读数从变成了，
∴箭尺每小时匀速上升，
以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为，
∴
设当箭尺读数为时，
解得．
∴从经过8小时后，指示时间为．
16． ①②③
解：（1）∵
∴
∴
∵垂直平分
∴
∴；
（2）①∵D为的中点，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∴F为的中点，故①正确
②如图，
∵垂直平分
∴，
∵
∴
由（1）可得，
∴
∴，
∴
∴四边形为菱形，故②正确；
∵四边形是菱形，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故③正确，
∴正确的有①②③．
17．
解：
．
18．，
解：
，
当时，原式．
19．(1)
证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
．
(2)
【详解】（1）略
（2）解：是的切线，
，即，
，
，
设，则，
，
，
，
在中，，
，
解得，
，
在中，，
的半径，
由（1）知，，
，
的长．
20．(1)A种书架的单价为1200元，B种书架的单价为1000元
(2)，w的最小值为21600
（1）解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为元．
根据题意，得．
解得．
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意．
．
答：A种书架的单价为1200元，B种书架的单价为1000元．
（2）解：∵购买a个A种书架，
∴购买个B种书架．
∵A种书架的数量不少于B种书架数量的，
∴，解得．
根据题意，得．
∵，
∴w随a的增大而增大．
∴当时，w取得最小值，最小值为21600．
答：w与a的函数关系式为，w的最小值为21600．
21．(1)；；；
(2)估计该校七年级男生体能测试达到优秀的有人
(3)小林的说法不正确，
理由：得到奖励的男生成绩应该大于或等于中位数分，小林成绩虽然高于平均数，但是小于中位数，所以小林的说法不正确．
（1）解：由统计表可知，抽查到的人中，达到良好的频率为，
；
由数据可知，出现次数最多的数据是，共出现了次，
这组数据的众数为，
由中位数的定义可知，中位数是把这一组数据按照从小到大排列，第名和第名的平均数，
把这一组数据按照从小到大排列，可得：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、，
可知第名和第名都是分，
这组数据的中位数是；
（2）解：由统计表可知，抽查的人中成绩达到优秀的频率为，
估计该校七年级的名男生，达到优秀的人数为（人）；
（3）解：小林的说法不正确，
理由：得到奖励的男生成绩应该大于或等于中位数分，小林成绩虽然高于平均数，但是小于中位数，所以小林的说法不正确．
22．(1)打卡点B与打卡点C之间的距离为米
(2)小衡先到达B点
（1）解：如图，过点C作于点E．

在中，米，，
∴米．
在中，，
∴（米）．
答：打卡点B与打卡点C之间的距离为米．
（2）解：小衡先到达B点，理由如下：
由（1）知，小衡的路程为米．
如图，过点D作于点F．
由题意可知，
∴为等腰直角三角形．
在中，米，，
∴（米）
在中，米，，
∴（米）．
在中，，，
∴米，．
∴小阳的路程为米．
∵，
∴小衡先到达B点．
23．(1)，
(2)
成立，证明如下：
如图3，令与交于点，延长分别交、于点、，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即；
(3)或．
（1）解：如图2，延长分别交、于点、，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，即；
（2）略
（3）解：如图，连接，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
在中，，，
，
，
①如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时，
同（2）理可证，，
，
，
，
由（2）可知，，
，
，
整理得：
解得：或（舍）；
②如图，当三点在同一直线上，且点在点、之间时，
同①理可得，，，
，
，
整理得：
解得：或（舍）；
综上可知，的长为或．
24．(1)
(2)或；
(3)存在，这两个交点之间的距离为
（1）解：依题意，分别把代入，
得，
解得．
（2）解：由（1）得，
则，
令，则，
∴，
故，
分别过点E、D作如图所示：
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设点的纵坐标为，则点D的纵坐标为，
设的解析式为，
∵，，
∴，
解得，
∴的解析式为，
把代入，
得，
∴，
∴，
设的解析式为，
把，分别代入，
得，
解得，
∴的解析式为，
依题意，把代入，
得，
则，
即点，
∵点为抛物线上第一象限内一点，且，
∴，
整理得，
∴；
此时的，故是符合题意的；
当时，则，此时，
当时，则，此时，
综上：或；
（3）解：存在，过程如下：
由（2）得，
整理
∵为抛物线的顶点，
∴，
∵平移抛物线使得新顶点为，又在原抛物线上，新抛物线与直线交于点，连结．
如图所示：
∴平移后的抛物线的解析式为，
把代入，
得，
∵点在，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
则，
即
∴是等腰三角形，
过点作，
∵，
∴，
则，
∴，
令，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴或，
∴（舍去）或，
∴，
∴平移后的抛物线解析式为，
令则，
∴，
即，
∴，
则，
∴新抛物线与轴存在两个不同的交点，这两个交点之间的距离为．

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