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高一年级2025-2026学年第二学期第三次质量检测数学
一、单选题
1. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为，所以复数的虚部为．
2. 在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】
由题意可知.
3. 在中，，，，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【详解】由正弦定理，，可得，
因，则，故.
4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】因为满足，且，
所以，向量在向量上的投影向量为，
故选：D.
5. 长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】连接，
所以异面直线与所成角是异面直线与所成角是，
因为，所以，
所以，所以.
故选：A
6. 如图所示，为了测量湖中两处亭子间的距离，湖岸边现有相距米的甲 乙两位测量人员，甲测量员在处测量发现亭子位于北偏西亭子位于东北方向，乙测量员在处测量发现亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，则两亭子间的距离为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
【详解】
连接，在中，由条件可得，则，
，
在中，由正弦定理得，
在中，由条件得，且，
在中，由余弦定理得
，
，故A，C，D错误.
故选：B.
7. 三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】如图，连接，设，连接.
因为平面，平面平面，平面， 所以.
在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即.
所以与相似， 则，又在中，由可得.
所以，即.
8. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为，
所以，
所以，
整理得，又，
由正弦定理得，所以
，
所以，
所以，解得，
所以，
因为，
所以，所以.
故选：A.
二、多选题
9. 已知虚部不为的复数互为共轭复数，则（ ）
A. 是实数 B. 是纯虚数
C. D.
【答案】A、B、D
【详解】由题设，，
则，故A，B正确；
又，C选项错误；
又，D选项正确.
故选：ABD
10. 记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A、B
【详解】由正弦定理得，得，则，
由，得，所以，
由余弦定理，得或17，
所以或，
所以的周长为或，
故选：AB．
11. 已知正方体的棱长为，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 三棱锥的体积为定值
B. 存在点，使得平面
C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为
D. 若点是的中点，点是的中点，经过，，三点的正方体的截面周长为
【答案】A、B、D
【详解】对于A，因为为底面内（包括边界）的动点，
所以点到平面的距离是2，
所以，
即三棱锥的体积为定值，所以A正确；
对于B，设，连接，当点为的中点时，，且∥，
所以四边形为平行四边形，所以∥，
因为平面，平面，
所以平面，所以B正确，
对于C，若，则点在以为直径的球面上，球心为的中点，半径为，
因为到平面的距离为，且，
所以以为直径的球与平面无交点，
所以不存在点，使，所以C错误，
对于D，连接，因为点是的中点，点是的中点，
所以∥，，
因为∥，所以∥，
所以经过，，三点的正方体的截面为梯形，
因为，，
所以梯形的周长为，
即经过，，三点的正方体的截面周长为，所以D正确，
故选：ABD
三、填空题
12. 如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是 _____．
【答案】
【详解】根据题意，原图形如下图：
的底边的长为，高为，
其面积为.
故答案为：.
13. 已知向量，的夹角为，，，则___________．
【答案】
【详解】由，得，即，所以.
又，所以，即.
所以.
14. 如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为________．
【答案】
或
【详解】取中点，连接，
又因为，，、分别为、的中点，
所以且，且，
则为异面直线与所成角（或补角），
又因为异面直线与所成角的大小为，所以或，
在中，由余弦定理得，
当，有，解得；
当，有，解得；
因此的长为或.
四、解答题
15. 在中，，，，点在边上，且．
（1）求的值；
（2）求线段的长．
【答案】见解析
【详解】
（1）在中，，
因为，，，所以.
（2）由（1）知，，所以，
在中，，由正弦定理可得，即，
解得.
16. 已知向量.
（1）若，求；
（2）若，求向量与的夹角.
【答案】见解析
【详解】
（1）由题意，是非零向量，则由可设，
因为，所以，解得，
则.
（2）因为，所以，
即，解得，
设向量与的夹角为，
所以，，
又因为，所以.
17. 已知图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是，的中点，.
（1）求证：平面
（2）求证：平面.
【答案】见解析
【详解】证明：（1）取的中点，连接，，
、分别是、的中点，
，
又面，面，所以面
又面，面，所以面
因为，面
面面，
因为面
平面；
（2）底面是矩形，平面，
，，，平面，平面
平面，
平面
，
又，
平面
，、分别是、的中点，
，，面
平面．
18. 如图，在中，已知，，，边上的两条中线相交于点.
（1）求中线的长；
（2）若的平分线为，求的长；
（3）求的余弦值.
【答案】见解析
【详解】
（1）在中，，由为的中点，得，
.
（2）由的平分线为，得，由，
得，
所以.
（3）由是的中点，得，
，
所以的余弦值为.
19. 如图，在三棱柱中，底面中角为直角，，侧面底面.
（1）求证：；
（2）当，直线与平面所成角为时，
（i）求证：平面平面；
（ii）求二面角的正弦值.
【答案】
见解析
【详解】
（1）因为，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
由三棱柱性质得四边形是平行四边形，又因为，
所以是菱形，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）（i）当时，因为，
所以，所以，
由（1）平面，平面，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
（ii）因为平面，平面，
所以直线与平面所成的角为，所以，
因为，且，，，故，
作交于，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
作交于，连接，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
所以是二面角的平面角，
因为即，所以，
因为即，所以，
所以，
所以二面角的正弦值为.

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