资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
分课时学案
课题 3.5一元二次方程的应用第1课时 单元 三 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.能分析增长率、降价百分率、商品利润类问题中的数量关系,正确建立一元二次方程模型并求解. 2.掌握“建模一求解一验根”的解题流程,能根据实际意义检验并舍去不合题意的根. 3.经历运用一元二次方程解决实际问题的过程,提升数学建模、逻辑推理与数学运算素养. 4.体会方程在解决实际问题中的价值,形成规范解题、验根作答的良好学习习惯.
重点 1.分析实际问题中的数量关系,建立增长率、降价、利润类一元二次方程模型. 2.运用一元二次方程解决实际问题,并根据实际意义检验根的合理性.
难点 根据实际问题背景,正确建立数学模型,并对所求根进行合理性检验与取舍.
教学过程
导入新课 复习回顾 1.列方程解应用题的一般步骤是什么？ 2.一元二次方程的解法有哪些？ 情境探究 某学校近两年的藏书量从万册增加到万册,若每年的增长率相同,求该校藏书量的年平均增长率.
新知讲解 探究活动一:增长率问题 一元二次方程模型在数学和实际生活中有着广泛的应用. 思考:某省农作物秸秆资源巨大,但合理利用量十分有限.为推进资源节约集约利用,该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的合理利用率.若今年的利用率为,计划后年的利用率达到,求这两年秸秆利用率的年平均增长率(假定该省每年产生的秸秆总量不变). 由于今年到后年间隔两年,所以上述问题涉及以下等量关系: 今年的利用率×(1+年平均增长率)=明年的利用率. 明年的利用率×(1+年平均增长率)=后年的利用率. 思考:为什么要舍去 方法总结: 探究活动二:降低率问题 例1:为执行国家药品降价政策,给人民群众带来实惠,某药品经过两次降价,每瓶零售价由元降为元.求平均每次降价的百分率. 分析:问题中涉及的等量关系是:原价×(1-平均每次降价的百分率)2=现行售价. 思考:为什么要舍去 方法总结: 探究活动三:销售利润问题 例2:某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品.若每件商品的售价为元,则可卖出件,但物价局限定每件商品的售价不能超过进价的.若该商店计划从这批商品中获取元利润(不计其他成本),问需要卖出多少件商品,此时的售价是多少？ 做一做:利用流程图表示运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤. 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1.某商品原价元,连续两次降价后售价为元,下列所列方程正确的是() A. B. C. D. 2.某校截止到年底,校园绿化面积为平方米.为美化环境,该校计划年底绿化面积达到平方米.利用方程思想,设这两年绿化面积的年平均增长率为,则依题意列方程为　. 3.新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具,某市某品牌新能源汽车经销商至月份统计,该品牌新能源汽车月份销售辆,月份销售辆. (1)求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率; (2)若该品牌新能源汽车的进价为万元/辆,售价为万元/辆,则该经销商至月份共盈利多少万元 4.商场某种商品平均每天可销售件,每件盈利元.为了尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现,每件商品每降价元,商场平均每天可多售出件.据此规律计算:每件商品降价　 　元时,商场日盈利可达到元. 5.某商场将进货价为元的台灯以元售出,平均每月能售出个,调查表明:售价在元内,这种台灯的售价每上涨元,其销售量就将减少个.为了实现平均每月元的销售利润,这种台灯的售价应定为多少 这时应进台灯多少个 6.某校八年级组织一次篮球赛,各班均组队参赛,赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场),共需安排场比赛,则八年级班级的个数为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 7.某工厂生产的某种产品按质量分为个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产件,每件利润元,每提高一个档次,每件利润增加元,但一天产量减少件.若生产的产品一天的总利润为元,且同一天所生产的产品为同一档次,则该产品的质量档次是( ) A.6 B.8 C.10 D.12 8.某工厂两年里的产量增加了,那么平均每年比上一年增加的百分比为　　. 9.距期末考试还有天的时候,为鼓舞干劲,班主任老师要求班上每一位同学要给同组的其他同学写一份拼搏进取的留言,小明所在的“战无不胜”学习小组共写了份留言,请问该学习小组共有学生　　人. 10.某水果商场经销一种高档水果,原价每千克元,连续两次降价后每千克元,若每次下降的百分率相同. (1)求每次下降的百分率; (2)若每千克盈利元,每天可售出千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,商场决定采取适当的涨价措施,若每千克涨价元,日销售量将减少千克,现该商场要保证每天盈利元,且要尽快减少库存,那么每千克应涨价多少元
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
作业设计 基础达标: 1.某市年底森林覆盖率为.为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念,该市大力开展植树造林活动,年底森林覆盖率达到,如果这两年森林覆盖率的年平均增 长率为,那么,符合题意的方程是( ) A. B. C. D. 2.骑行带头盔,安全有保障.“一盔一带”政策的推行致头盔销量大幅增长,从年到年我国头盔销售额从亿元增长到亿元,则我国头盔从年到年平均每年增长率是( ) A.10%B.20%C.30%D.40% 3.某种电器,进货价为每台元,原销售价为每台元,现降价两次但仍盈利,则平均每次降价率为____. 4.有一人患了流感,经过两轮传染后,共有人患了流感,每轮传染中平均每人传染了____个人. 5.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出件,每件盈利元,为扩大销售,尽快减少库存,商场决定釆取降价措施,调查发现,每件衬衫,每降价元,平均每天可多销售件,若商场每天要盈利元,每件衬衫应降价( ) A.5元B.10元C.20元D.10元或20元 6.某专卖店销售一种机床,三月份每台售价为万元,共销售台.根据市场调查知:这种机床每台售价每增加万元,就会少售出台.四月份该专卖店想将销售额提高,则这种机床每台的售价应定为____万元. 7.年月日,在神舟十三号载人飞船上,翟志刚、王亚平、叶光富三位航天员为广大青少年开讲“天宫课堂”第一课,这是中国空间站首次太空授课活动.在此期间,我校“对话太空”兴趣小组举行了航天科普知识有奖竞答活动,并购买“神舟载人飞船”模型作为奖品,学校在商店里了解到:如果一次性购买数量不超过个,每个模型的单价为元；如果一次性购买数量超过个,每多购买一个,每个模型的单价均降低元,但每个模型最低单价不低于元,若学校为购买“神舟载人飞船”模型一次性付给商店元,请求出学校购买“神舟载人飞船”模型的数量. 能力提升: 8.甲商品经过两次连续降价后,售价由原来的每件元降到每件元,设平均每次降价的百分率为；乙商品经过两次连续涨价后,售价由原来的每件元涨到每件元,设平均每次涨价的百分率为,则下面关于的大小关系的说法正确的是( ) A.x>y B.x=yC.x＜y D.无法判断 9.有一个两位数,它的数字和等于,交换数字位置后,得到的新的两位数与原两位数之积为,则原来的两位数为( ) A.26 B.62 C.26或62 D.以上均不对 10.股市规定:股票每天的涨、跌幅均不超过,即当涨了原价的后,便不能再涨,叫作涨停；当跌了原价的后,便不能再跌,叫作跌停.若一支股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为,则满足的方程是____. 11.某菜农在年月底投资元种植大棚黄瓜,春节期间,共采摘黄瓜千克,当天就可以按元/千克的价格售出.若将所采摘的黄瓜先储藏起来,其质量每天损失千克,且每天需支付各种费用共元,但每天每千克的价格能上涨元(储藏时间不超过天).若该菜农想获得元的利润,则需要将采摘的黄瓜储藏____天. 12.直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为元的小商品进行直播销售,如果按每件元销售,每天可卖出件.通过市场调查发现,每件小商品售价每降低元,日销售量增加件. (1)若日利润保持不变,商家想尽快销售完该款商品,每件售价应定为多少元？ (2)小明的线下实体商店也销售同款小商品,标价为每件元.为提高市场竞争力,促进线下销售,小明决定对该商品实行打折销售,使其销售价格不超过(1)中的售价,则该商品至少需打几折销售？ 拓展迁移: 13.随着全球疫情的爆发,医疗物资需求猛增,某企业及时引进一条口罩生产线生产口罩,开工第一天生产口罩盒,第三天生产口罩盒,若每天增长的百分率相同. (1)求每天增长的百分率. (2)经调查发现,条生产线的最大产能是盒/天,但是每增加1条生产线,每条生产线的产能将减少盒/天,现该厂要保证每天生产口罩盒,在增加产能的同时又要节省投入的条件下(生产线越多,投入越大),应该增加几条生产线？ 14.小明以元/个的单价新进一批玩具在网上销售,经统计发现,在一段时间内,销售量(个)与销售单价(元/个)之间的函数关系如图所示. (1)的表达式为________. (2)若某段时间内该商品的销售单价为元/个,则销售利润为________元. (3)要使销售利润达到元,则销售单价应定为多少元/个？
参考答案：
复习回顾:
1.审、设、列、解、验、答.
2.直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
3.设年平均增长率为,列方程:,解得（舍去）,即年平均增长率为.
探究一：
设这两年秸秆利用率的年平均增长率为,则根据等量关系,可列出方程:
.
整理,得.
解得(不合题意,舍去).
因此,这两年秸秆利用率的年平均增长率为.
思考: 增长率不能为负数，代表利用率逐年下降，与题意逐年提升的背景矛盾，不符合实际意义，故舍去。
探究二：
解:设平均每次降价的百分率为,则根据等量关系得.
整理,得.
解得=1.9(不合题意,舍去).
答:平均每次降价的百分率为10%.
思考:降价百分率不能超过100%，1.9代表降价190%，售价会出现负数，不符合商品销售实际，因此舍去。
探究三：
分析:本问题中涉及的等量关系是:(售价-进价)×销售量=利润.
解:根据等量关系得.
整理,得.
解得.
又因为,即售价不能超过元,所以不合题意,应当舍去.故,从而卖出(件).
答:该商店需要卖出件商品,且每件商品的售价是元.
课堂练习：
1.B;2.;
3.解:(1)设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x,
根据题意,得,
所以,
解得(不符合题意,舍去).
答:该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为.
(2)2月份销售该品牌新能源汽车(辆),
(万元).
答:该经销商至月份共盈利万元.
4.,
5.解:设售价定为元,
,
整理,得,
解得(舍去).
(个).
答:台灯的售价定为元,能实现平均每月元的销售利润,这时应进台灯个.
6.B;7.A;8.20%;9.6;
10.解:(1)设每次下降的百分率为,根据题意,得,
解得(舍)或,
答:每次下降的百分率为;
(2)设每千克应涨价元,由题意,得
,
整理,得,
解得,
因为要尽快减少库存,所以符合题意.
答:该商场要保证每天盈利元,且要尽快减少库存,那么每千克应涨价元.
课后提升：
1.B;2.C;3.20%;4.10.5.C;6.3或5;
7.解:(元),,
学校购买“神舟载人飞船”模型的数量超过个.
设学校购买了“神舟载人飞船”模型的数量为个,则每个“神舟载人飞船”模型的价格为元,
依题意得:,
整理得:,
解得:.
当时,,符合题意；
当时,,不符合题意,舍去.
答:学校购买“神舟载人飞船”模型的数量为个.
8.C;9.C;10.;
11.解:设需要将采摘的黄瓜储藏天出售,
,解得(舍去),
即若该菜农想获得元的利润,则需要将采摘的黄瓜储藏天.
12.解:(1)设售价应定为元,则每件的利润为元,日销售量为件,
依题意,得:,
整理,得:,
解得(舍去).
答:售价应定为元；
(2)设该商品需要打折销售,
由题意,得,
解得,
答:该商品至少需打折销售.
13.解:(1)设每天增长的百分率为,
依题意得:,
(不合题意,舍去).
答:每天增长的百分率为.
(2)设增加条生产线,则每条生产线的产量为盒/天,
依题意得:,
整理得:,
解得.
又要节省投入,.
答:应该增加条生产线.
14.解:(1)当时,设直线的表达式为,
把代入,可得
,解得,
故直线的表达式为.
答案:
(2)把代入,得,
故销售利润为:(元).
答案:
(3)若销售利润达到元,
若,则,
解得,
若,则,
解得(不合题意),
所以要使销售利润达到元,销售单价应定为每个元或元.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑