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分课时学案
课题 3.5一元二次方程的应用第2课时 单元 三 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.能通过图形分析准确表示相关线段长度,建立面积、动点类一元二次方程模型并正确求解。 2.掌握图形类问题中验根的方法与依据,能根据几何意义舍去不合理解。 3.体会数形结合、转化与化归思想,提升数学建模与几何直观能力。 4.形成规范解题、主动验根、反思作答的良好学习习惯。
重点 1.分析图形中的数量关系,建立面积类、动点类一元二次方程模型。 2.根据图形实际意义对方程的解进行合理性检验与取舍。
难点 根据几何图形特征与运动过程,准确用含未知数的代数式表示线段长度,建立正确等量关系。
教学过程
导入新课 复习回顾 1.矩形面积公式是什么？三角形面积公式是什么？ 2.若在一个矩形四角各剪去一个边长为的小正方形,剩余部分折成无盖盒子,底面的长和宽如何用表示？
新知讲解 探究活动一:几何图形问题 思考:在一长为、宽为的矩形铁皮的四角剪去四个全等的小正方形后,折成一个无盖的长方体形盒子.如图所示.若已知长方体形盒子的底面积为,则剪去的四个小正方形的边长. 将铁皮截去四个小正方形后,可以得到图.这个长方体形盒子的底面就是图中心位置的大矩形,因此本问题涉及的等量关系是:盒子的底面积=盒子的底面长×盒子的底面宽. 方法总结: 探究活动二:用一元二次方程解决几何图形问题 例3如图,一长为、宽为的矩形地面上修建有同样宽的道路,如图所示,余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为,求道路的宽. 分析:虽然“整个矩形的面积-道路所占面积=绿化面积”,但道路不是规则图形,因此不便于计算.通过平移道路可得到图,此时绿化部分就成了一个新的矩形了,再由本问题涉及的等量关系:矩形的面积=矩形的长×矩形的宽,就可建立一个一元二次方程. 思考:为什么不符合题意？ 方法总结: 探究活动三:用一元二次方程解决几何动点问题 例4:在中,.点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动,且当其中一点到达终点时,另一点也随之停止移动,如图所示.问点出发几秒后,的面积为 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1.某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路(如图),剩余的空地上种植草坪,使草坪的面积为.设道路的宽为,则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 2.我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载了这样一道题:“直田积八百六十四步,只云阔不及长一十二步,问阔及长各几步.”其大意为:一个矩形的面积为平方步,宽比长少步,问宽和长各多少步 设矩形的宽为x步,根据题意,可列方程为　　. 3.如图,某中学有一块长、宽的矩形空地,计划在这块空地面积的一半区域种花,其余部分硬化.小亮同学设计了一个宽度相同的“U”形区域种花,求花带的宽度x的值. 4.如图,在中,,,动点从点出发沿边以的速度向点匀速移动,同时,点从点出发沿边以的速度向点匀速移动,当两点中有一个点到达终点时另一个点也停止运动.运动　　　　s后,面积为( ) A.0.5 B.1 C.5 D.1或5 5.如图,将边长为的正方形沿其对角线剪开,再把沿着方向平移,得到△,若两个三角形重叠部分的面积为,则它移动的距离等于() A.0.5cm B.1cm C.1.5cm D.2cm 6.如图,在矩形中,,点从点出发沿以的速度向点运动;同时,点从点出发沿以的速度向点运动,点运动到点时,点也停止运动;当的面积等于时,运动时间为　　s. 7.一个两位数,十位数字与个位数字之和为,且这两个数字之积等于它们两个数字和的倍,这个两位数是( ) A.36 B.63 C.36或63 D.-36或-63 8.如图,把长,宽的长方形纸板剪掉个小正方形和个小长方形(阴影部分即剪掉部分),将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子,设剪掉的小正方形边长为(纸板的厚度忽略不计),若折成长方体盒子的表面积是,则的值是( ) A.3cm B.4cm C.4.8cm D.5cm 9.如图所示,点阵的层数用表示,点数总和用表示,当时,则的值为( ) A.10 B.11 C.12 D.13 10.如图,用一条长为的绳子围成矩形,设边的长为. (1)直接写出的长和矩形的面积(用代数式表示); (2)矩形的面积是否可以是 请给出你的结论,并用所学知识说明理由.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
课后提升 基础达标: 1.如图,学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形.为便于管理,要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道,使种植面积为平方米,则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米,则根据题意,列方程为( ) A. B. C. D. 2.如图,有一块圆形的花圃,中间有一块正方形水池.测量出除水池外圆内可种植的面积恰好,从水池边到圆周,每边相距.设正方形的边长是,则列出的方程是( ) A. B. C. D. 3.将一条长为的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各自做成一个正方形,若两个正方形的面积之和为12.5cm2,则两段铁丝的长度是( ) A.B.C.D. 4.一个小区用篱笆围成一个直角三角形花坛,花坛的斜边利用足够长的墙,两条直角边所用的篱笆之和恰好为米,围成的花坛如图所示,其中,若所修的直角三角形花坛面积是平方米,则直角三角形的斜边长为____米. 5.如图,某小区有一块长为,宽为的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,求人行通道的宽度. 能力提升: 6.在中,,厘米,厘米,点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动,点从点开始沿边向点以厘米/秒的速度移动,如果点分别从两点同时出发,则经过____秒后,两点间距离为厘米. 7.如图所示,在中,,点从点开始沿边向点以的速度运动,同时,另一点从点开始以的速度沿边向点运动____秒钟后,的面积是面积的. 8.如图,在长方形中,厘米,厘米,点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动；点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动,如果同时出发,用(秒)表示移动的时间,那么: (1)如图,用含的代数式表示=________,=________,并求出当为何值时线段. (2)如图,在不考虑点的情况下,连接,问:当为何值时,的面积等于长方形面积的. 9.如图,由块相同的小长方形地砖拼成面积为的长方形,则长方形的周长为( ) A.5mB.5.2mC.6mD.6.2m 10.如图,将边长为的正方形沿其对角线剪开,再把沿着方向平移,得到,若两个三角形重叠部分的面积为,则它移动的距离等于( ) A.0.5cmB.1cmC.1.5cmD.2cm 11.如图,张大叔从市场上买回一块矩形铁皮,他将此铁皮的四个角各剪去一个边长为米的正方形后,剩下的部分刚好能围成一个容积为立方米的无盖长方体箱子,且此长方体箱子的底面长比宽多米.现已知购买这种铁皮每平方米需元钱,问张大叔购买这张矩形铁皮共花了____元. 12.如图,在中,,点是的中点,动点从点出发以每秒的速度沿运动,设点运动的时间是秒,那么当=____时,的面积等于. 拓展迁移: 13.如图,一块长米宽米的地毯,为了美观设计了两横、两纵的配色条纹(图中阴影部分),已知配色条纹的宽度相同,所占面积是整个地毯面积的. (1)求配色条纹的宽度. (2)如果地毯配色条纹部分每平方米造价元,其余部分每平方米造价元,求地毯的总造价.
参考答案：
复习回顾:
1.矩形面积=长×宽；三角形面积=×底×高。
2.底面长=原长 ,底面宽=原宽 。
探究一：
解:设剪去的小正方形的边长为,则无盖长方体形盒子的底面长为,宽为.
根据等量关系,可以列出方程
.
整理,得.
解得.
如果剪去的小正方形的边长为,那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为,这超过了矩形铁皮的长().因此不合题意,应当舍去.
因此,截去的小正方形的边长为.
探究二：
解:设道路宽为,则新矩形的长为,宽为.
根据等量关系得.
整理,得.
解得（不合题意,舍去）.
答:道路宽为.
思考: 矩形地面的长为、宽为,因为,道路的宽不能大于地面的宽,所以不符合题意.
探究三：
解:设点出发xs后可使的面积为.
根据题意得.
则由可得.
整理,得.
解得.
答:点同时出发后可使的面积为.
课堂练习：
1.C;2.;
3.解:花带的宽度为,则硬化的部分长为,宽为,
依题意得,
整理得,
解得.
当时,,符合题意;
当时,,不符合题意,舍去.的值为.
4.B;5.B;6.2;7.C;8.D;9.B
10.解:(1)根据题意,知边的长为,
矩形的面积为;
(2)若矩形的面积是,则.
,
这个方程无解,
矩形的面积不可以是.
课后提升：
1.C;2.D;3.D;4.15;
5.解:设人行通道的宽度为,将两块矩形绿地合在一起长为,宽为,
由已知得:,
整理得:,
解得,
当时,,不符合题意舍去,即.
答:人行通道的宽度为.
6.;
7.解:在中,,
.
设秒钟后,的面积是面积的,
依题意得:,
解得(不合题意,舍去).
8.解:(1)由题意得:,
则,
当时,,解得.
(2),
,解得:.
答:当时,的面积等于长方形面积的.
9.B;10.B;11.350;12.或或;
13.解:(1)设配色条纹的宽度为米.依题意得,
解得:(不符合题意,舍去),.
答:配色条纹宽度为米.
(2)地毯配色条纹造价:(元),
地毯其余部分造价:(元),
总造价为(元).
答:地毯的总造价是元.
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