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2025-2026学年山东省济南市市中区泉海学校八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题
1.下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 绿色饮品 B. 绿色食品
C. 有机食品 D. 速冻食品
2.下列变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
3.如图，在中，是斜边上的中线，若，则( )
A.
B.
C.
D.
4.下列说法中正确的是( )
A. 四边相等的四边形是正方形
B. 一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线相等的平行四边形是矩形
5.若分式方程有增根，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为 ，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
8.如图，将绕点顺时针旋转变为，则下列说法不一定正确的是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在三角形中，将三角形沿所在直线向右平移，所得图形对应为三角形，若要使成立，则平移的距离是．
A. B. C. 或 D. 或
10.如图，已知四边形中，，，点、分别是边、的中点，连接，，则的长度是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
11.若分式有意义，则实数的取值范围是______．
12.因式分解 ．
13.如图，菱形的对角线与相交于点，若，，则菱形的面积为______．
14.如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽长为，则水渠的宽度为
15.如图，在菱形中，，，对角线，相交于点，点是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转，得到中，连接，则的最小值是 ．
三、解答题
16.解方程：
；
．
17.先化简，再求值：，然后再从，，中选一个你喜欢的数，求式子的值．
18.如图，，是平行四边形的对角线上两点，且，与相交于点求证：．
19.“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，月份游客人数约为万人次，月份游客人数约为万人次．
求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
若增长率保持不变，请求出月份的游客人数．
20.如图，在四边形中，，平分，，为中点，连接．
求证：四边形为菱形；
若，，求四边形的面积．
21.如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
平移到，其中点的对应点的坐标为，请在图中画出；点平移后对应点的坐标为______；
请画出绕原点逆时针旋转得到的；
在的条件下，求点经过的路径长．
22.某家电子产品商城计划购机、两种不同型号的平板电脑，每台型平板电脑的购进价格比型多元，用万元购买型的台数与用万元购买型的台数相等．
求、两种型号的购进单价分别是多少？
该商城计划购进、两种不同型号的平板电脑共台，售卖、两型平板电脑的单价分别为元、元，要求购进型平板电脑的数量不超过型的倍，如何购进、两型平板电脑，才能使总利润最高？最高是多少？
23.如果关于的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．
判断方程是否是“邻近根方程”；
已知关于的方程是常数是“邻近根方程”，求的值；
若关于的方程是常数，且是“邻近根方程”，令，试求的最大值．
24.【建立模型】
如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，，求证：≌．
【类比迁移】
如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点．
写出点的坐标是______；
求直线的解析式；
写出的面积是______．
25.在菱形中，，点在对角线上运动点不与点，点重合，，以点为顶点作菱形；且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点．
【特例感知】
如图，当，时，则，，之间满足的数量关系是______；
【类比探究】
如图，菱形的边长为，，求的值用含的代数式表示；
【拓展应用】
在的条件下，连接，，，求的长度．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】原分式方程无解
，
17.【答案】解：原式
，
由题意得：且，
和，
当时，原式．
18.【答案】证明见解析．
19.【答案】解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
由题意可知，万人次，
答：月份的游客人数为万人次．
20.【答案】见解析；
．
21.【答案】作图见解析，；
作图见解析；
．
22.【答案】种型号的购进单价是元，种型号的购进单价是元 购进型平板电脑台，型平板电脑台，才能使总利润最高，最高是元
23.【答案】方程是“邻近根方程”，理由：
在方程中，
，
，，
，
方程是“邻近根方程”．
或；
的最大值为
24.【答案】证明见解答过程；
；
直线的解析式为；
．
25.【答案】；
如图，过点作，交于，
四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为，，
，，
、均为等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
≌，
，
，
；
连接交于，
四边形是菱形，
，即，
，
，
，
当点在线段上时，如图，过点作于，
则，
，
由知：，
，
，
；
当点在线段上时，如图，
则，
，
，
；
综上所述，的长度为或．
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