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安徽安庆市部分校2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
2．直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列，，，若，则（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
4．已知函数，则（ ）
A． B． C．3 D．5
5．在的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．35 B．15 C．-35 D．-15
6．某生产线的管理人员通过对以往数据的分析发现，每天生产线启动时，初始状态良好的概率为．当生产线初始状态良好时，第一件产品合格的概率为；否则，第一件产品合格的概率为．某天生产线启动时，生产出的第一件产品是合格品，则当天生产线初始状态良好的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且，发现有两组数据与误差较大，去掉这两组数据后，重新求得经验回归直线的斜率为1.4，那么当时，的值为（ ）
A．9.6 B．10 C．10.6 D．9.4
8．在平面直角坐标系中，曲线：，其中.给出下列四个结论：
①曲线关于轴对称；
②设，在曲线上，则；
③当时，记曲线上的点到直线的距离为，则；
④对于任意，存在使得直线与曲线的公共点个数为3.
其中所有正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知数列的通项公式，则其前项和取最小值时，（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
10．在三棱锥中，底面，，用一平面截该三棱锥分别与棱，，，相交于点，，，，如图所示，记向量为平面的一个法向量，下列条件中，使的是（ ）
A．若 B．若 C．若 D．若
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，.点P是双曲线C上位于第一象限的动点，当轴时，为等腰直角三角形，直线（c为双曲线C的半焦距），则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的离心率为2
B．仅存在两个k的值，使得直线l与双曲线C仅有一个交点
C．若直线l与双曲线C相交于点M，N，则直线，，，的斜率之积为定值
D．设直线l与y轴的交点为T，则的面积小于
三、填空题
12．若直线的斜率为，倾斜角为，而，则的取值范围是__________．
13．已知随机变量有三个不同的取值，分别是0，1，，其中，又，，则随机变量方差的最小值为_______．
14．对于函数，，若函数的零点为，的零点为，当存在，满足，则，称为亲密函数.若，互为亲密函数，则实数的取值范围是__________.
四、解答题
15．已知数列的首项，且满足．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)若，求满足条件的最大整数．
16．如图，在直三棱柱中，M、P分别为，的中点，点Q在上，且.
(1)求证：平面；
(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值.
17．“村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、.
(1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率；
(2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望.
18．已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8
(1)求椭圆C的方程;
(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点
①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由.
②求面积的最大值.
19．已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ．
(1)设，求集合；
(2)设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件；
(3)设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】一个点关于轴对称的点的坐标是只有横坐标不变，纵坐标和竖坐标改变成原来的相反数，
点关于轴对称的点的坐标为.
故选：C.
2．C
【详解】由直线与互相垂直，可得，解得，
将代入直线，得到，
联立方程组，解得，交点坐标为.
故选：C
3．C
【详解】由，，得等差数列的公差为，
所以，所以，
又数列的公差不为，所以数列为单调数列，
所以结合，可得，故．
4．A
【详解】由题得，，令，因为，所以，则
.
5．C
【详解】在的展开式中，
含的项为，
所以所求系数为.
6．D
【详解】用表示生产线初始状态良好，表示第一件产品是合格品，
则，，，从而，
可知；
因此．
故选：D
7．A
【详解】由和，得．
所以去掉数据与后得到的新数据的平均数，，
由题意可设去掉两组数据后的经验回归方程为，
代入，求得，
故去掉与这两组数据后求得的经验回归方程为．
将代入经验回归方程，得．
故选：A.
8．C
【详解】设曲线上任意一点，则，故也在曲线上，故曲线关于轴对称，①正确，
当时，，当时，，作出曲线的大致图象如下：
取，在上取点，此时，故②错误，
曲线为曲线的右侧，
当时，，此时曲线为双曲线的一部分，
由于双曲线的一条渐近线方程为，则渐近线到直线的距离为，
当时，曲线为，此时曲线为圆的一部分，
此时圆心到直线的距离为1，
因为，则圆上的点到直线的最小距离为，因此；③正确，
当，直线恒过点，当时，直线与曲线C只有两个交点；
当时，易得该直线与曲线C在x轴上方有一个交点，
当时，联立，化简得，
若要满足题意，则，
所以当时，该直线与曲线C在x轴下方有两个个交点，
由对称性可得，当时，对于任意，直线与曲线的公共点个数为3，故④正确，
故选：C
9．BC
【详解】由于可知是递增数列，
当时，，当时，，当时，，
所以，即的最小值为或，
则的前项和取最小值时，或12.
10．ACD
【详解】依题意，向量是平面的法向量，
对于A，由，得平面，而平面，则，
由平面，平面，得，又平面，
因此平面，又平面，则，A正确；
对于B，由，得平面，而平面，则，
由平面，平面，得，又平面，
因此平面，又平面，则，假设，
而平面，则，而不在平面内，则平面，
平面平面，平面，则必有，当时，由，
得，由选项A知，此时不一定平行，因此不一定平行，B错误；
对于C，由，得平面，而平面，则，
由平面，平面，得，又平面，
因此平面，又平面，则，C正确；
对于D，由，得平面，而平面，则，
由平面，平面，得，又平面，
因此平面，又平面，则，而平面，
于是平面，又平面，则，D正确.
11．ACD
【详解】A选项，当轴时，点的横坐标为，代入得．
由于点位于第一象限，故点的坐标为，
因为为等腰直角三角形，所以，即，
又，则，解得（负根舍去），故A正确；
B选项，直线过定点，若直线与双曲线仅有一个公共点，
则与渐近线平行或与双曲线相切，故符合条件的的值有4个，故B错误；
C选项，设点的坐标为，则，
由于在上，故有，
于是，同理，
故直线，，，的斜率之积为9，C正确；
D选项，令得，故，所以，
因为，所以双曲线的渐近线方程为，
故直线与渐近线平行，如果点与右顶点重合，
则的面积，
因为点P位于第一象限，所以的面积小于，D正确.
12．
【详解】当时，，所以；
当时，，即；
所以的取值范围是.
13．/0.125
【详解】由，，得，
所以随机变量的数学期望，
则方差
当 时，取到最小值，
故答案为：
14．
【详解】函数的导函数为，
故单调递增，其唯一零点为.
根据亲密函数的定义，存在的零点满足，即.
的零点满足.令，则，且.
问题转化为求函数在上的值域.
，可知在上单调递增，在上单调递减.
所以，.
故的取值范围是.
15．(1)证明：由题意，数列满足，可得，
可得，
由，所以，
所以．
所以数列是首项为，公比为的等比数列；
(2)99．
【详解】（1）略
（2）由（1）可得，所以．
设数列的前项和为，
则．
若，即，
因为函数为单调递增函数，
所以满足的最大整数的值为99．
16．(1)取的中点R，连接PR、RQ，
由P为的中点知，
因为平面， 平面，所以平面，
由M为的中点且，知，所以，
因为平面，平面，所以平面.
因为，平面，所以平面平面.
又因平面PRQ，所以 平面.
(2)
【详解】（1）略
（2）取的中点，由知，
以为坐标原点， 、所在的直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为， ，所以，
则，，，，，，
所以，
由得，所以.
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，
所以平面的一个法向量为.
因为平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
17．(1)
(2)的分布列为：
1 8 15
【详解】（1）设“甲同学所选的题目回答正确”，
设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、
“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，
根据题意得，，，
，，；
所以
（2）由题意可知，的可能取值为，1，8，15
则，
，
，
，
所以的分布列为：
1 8 15
所以.
18．(1)
(2)①直线AD恒过定点；②
【详解】（1）由椭圆定义得，
故的周长为，解得，
又，解得，故，
故椭圆方程为；
（2）①由题意得，
设直线，，
则联立得，
设，
，
则，
，
故，
由对称性可知，
则直线的斜率为，
直线的方程为，
由对称性可知，直线若过定点，则定点在轴上，
令得，又，
故
，
故直线AD恒过定点，定点坐标为；
②过点作⊥轴，交于点，
直线方程为，令得，
故，所以，
则，
，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，
故的面积最大值为.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由定义得，
而，，，
故解得，，
综上，．
（2）必要性：若函数为偶函数，，
则对任意的，有，
对上式两边同时求导，可得：，
故函数是奇函数，，
若，则，即，
进而有，即，
故对任意，，故必要性成立；
不充分性：不妨取，，
此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立，
综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件.
（3）由对任意且，都有，
可得：对任意 且，都有，
即函数在上是不减函数，即恒成立，
由，可得：，
设，
则，
则对恒成立，即对恒成立，
令，，故，
故函数在和是减函数，在是增函数，
大致图像如图，，
（i）当时，不等式可化为，此时，
（ⅱ）当时，不等式可化为，
此时，故；
（ⅲ）当时，不等式可化为，
此时，故；
综上，实数的取值范围是．

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