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1.2一定是直角三角形吗
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A． B． C． D．
2．分别以下列各组数为一个三角形的三条边长，其中不能构成直角三角形的是（ ）
A．6，8，10 B．5，12，13 C．4，5，6 D．8，15，17
3．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2026 C．2025 D．2024
4．如图，为内一点，，，，，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．12 B．14 C．24 D．26
5．若一个三角形的三条边长之比为，周长为，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．若a，b，c为一组勾股数，则下列各组数中仍为勾股数的是（ ）
A．a， B． C． D．
7．在中，，，的对边分别为a，b，c，且，则（　　）
A．为直角 B．为直角 C．为直角 D．是锐角
8．在如图的网格中，以为一边画，则满足条件的格点C共有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
9．分别以为边长作一个三角形，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
10．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．13，14，15 B．6，8，11 C．，， D．5，12，13
11．下列各组数是勾股数的是（ ）
A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．，，
12．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．b2﹣c2＝a2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝9：12：15
二、填空题
13．如图所示，已知，，，则的长为 __________．
14．如图，在中，，，，点B是延长线上的点，连接，若，则的长为______．

15．如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，…，按此规律，则的值为______．（结果用含的式子表示）

16．若a，12，13是一组勾股数，则__________．
17．如图是一个零件的示意图，测量，，，，若，则_________．
三、解答题
18．2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年，“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离，便快速确定了．
(1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离确定．
(2)若平均每平方米空地的绿化费用为150元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？
19．如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积．
20．数学探究课上李老师出这样一道题：“等边中有一点，且，，，试求的度数．”小明和小军一起讨论时发现了一种求度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断．
(1)在图中画出绕点A顺时针旋转后的(尺规作图)；
(2)试判断的形状，并说明理由；
(3)试判断的形状，并说明理由；
(4)由（2）（3）两问可知，_________．
21．如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上．
(1)画出关于点成中心对称的；
(2)点的坐标为______；
(3)四边形是______．（填矩形、菱形、正方形或平行四边形）
(4)在轴上找一点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标：______
22．如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船的速度是，货船的速度是，货船沿南偏东方向航行，后，货船到达B处，客船到达C处，此时两船相距．求客船航行的方向．
23．如图，，，，，．求：四边形的面积．
24．早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”．
(1)请把下列三组勾股数补充完整：
①________，8，10；②5，________，13；③7，24，________．
(2)小铭发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数可以写成，，如，，．
①请你帮小铭证明这三个数，，是勾股数组；
②如果24，45，51是满足上述小铭发现的规律的勾股数组，求的值．
《1.2一定是直角三角形吗》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B D D C A A B D
题号 11 12
答案 C D
1．D
【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解．
【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
D、，是“勾股数”，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数．
2．C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，利用勾股定理的逆定理，验证每组数中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形．
【详解】解：A、，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，
∴，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，，
∴，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．B
【分析】此题考查了勾股定理，找出规律是解题的关键．根据题意可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【详解】解：由勾股定理可知，“生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和=原来正方形的面积，所有正方形面积和为；
“生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和=第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为；
……；
∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是；
∴经过2025次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2026；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理是解题关键．在直角三角形中，，，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，从而求出，即可得出阴影部分的面积．
【详解】解：，，，
，，
，，
，
是直角三角形，，
，
图中阴影部分的面积为，
故选：D
5．D
【分析】设三边长为，，，根据周长求出，再验证是否为直角三角形，最后计算面积．
本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
【详解】解：∵三边之比为，
∴设三边分别为，，．
∵周长为，
∴，
∴．
∴三边分别为，，．
∵，
∴三角形为直角三角形，直角边为和．
∴面积为．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股数的定义，若原数满足，则各选项需验证是否满足类似关系．
【详解】解：原勾股数满足．若每个数均乘以2，得到，则：
，
等式成立，故仍为勾股数，故选项C成立，符合题意；
A：．例如，原勾股数代入后为，但，不成立；
B：．以代入得，但，不成立；
D：．以代入得，但，不成立；
故选：C．
7．A
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：∵，
，
，
是直角三角形，
为直角，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．A
【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定，根据网格的特点，分为斜边，以及分别为直角顶点，分类讨论，即可求解．
【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选：A．
9．B
【分析】本题考查三角形分类，勾股定理逆定理的运用，根据勾股定理逆定理判断三角形类型．
【详解】解：∵，，
∴ ，
故该三角形为直角三角形．
故选：B．
10．D
【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数．欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：A．∵，∴不是勾股数，不符合题意；
B．∵，∴不是勾股数，不符合题意；
C．∵都不是整数，∴不是勾股数，不符合题意；
D．∵，∴5，12，13是勾股数，符合题意
故选D．
11．C
【分析】本题主要考查了勾股数的识别，若三个正整数满足较小的两个正整数的平方和等于最大数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此求解即可．
【详解】解：A、∵，
∴2，3，5这组数不是勾股数，故此选项不符合题意；
B、∵和不是正整数，
∴，2，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴8，15，17这组数是勾股数，故此选项符合题意；
D、∵，，这三个数都不是正整数，
∴，，这组数不是勾股数，故此选项不符合题意；
故选：C．
12．D
【分析】根据勾股定理逆定理可判断出A、B是否是直角三角形，根据三角形内角和定理可得C、D是否是直角三角形．
【详解】解：b2﹣c2＝a2
则b2＝a2+c2
△ABC是直角三角形，故选项A不符合题意；
a：b：c＝3：4：5，
设a＝3x，b＝4x，c＝5x，
a2+b2＝c2，
△ABC是直角三角形，故选项B不符合题意；
∠C＝∠A﹣∠B，
则∠A＝∠B+∠C，
∠A＝90°，
△ABC是直角三角形，故选项C不符合题意；
∠A：∠B：∠C＝9：12：15，
设∠A、∠B、∠C分别为9x、12x、15x，
则9x+12x+15x＝180°，
解得，x＝5°，
则∠A、∠B、∠C分别为45°，60°，75°，
△ABC不是直角三角形，故选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用以及三角形内角和定理，正确利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论．
【详解】解：如图，延长至点E，使，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，，再由勾股定理求出答案．
【详解】解：在中，，，，
，
即 ，
所以三角形是直角三角形，，
在直角三角形中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．
15．
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，解题的关键是根据勾股定理与正方形面积的关键找出规律．
根据勾股定理可得，从而得到，依次类推，即可得到，找出规律，进而得到的值．
【详解】解：如图所示，为等腰直角三角形，

则．
，
即，
同理可得：，
，
故答案为：．
16．5
【分析】分a为最长边，13为最长边两种情况讨论，根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
【详解】解：①a为最长边， ，a不是整数，不能构成勾股数，不符合题意．
②13为最长边， ，三边都是正整数，符合题意；
故答案为5．
【点睛】此题考查勾股数，解题关键在于掌握勾股定理的含义以及勾股数为正整数．
17．90°
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出AC的长，然后在△ACD中，根据勾股定理的逆定理即可判断△ACD是直角三角形，进而求出∠ACD的度数．
【详解】∵∠ABC=90°，AB=4cm，BC=3cm，
∴在Rt△ABC中，
由勾股定理得：cm，
在△ACD中，
∵AC2+CD2=52+122=169=132=AD2，
∴△ACD是直角三角形，
即：∠ACD=90°．
故答案为：90°．
【点睛】此题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
18．(1)测量的是点，之间的距离；理由见解析．
(2)绿化这片空地共需要元．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可判断；
（2）由（1）中的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再利用三角形的面积公式，最后计算费用即可．
【详解】（1）解：测量的是点，之间的距离；
依据是：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形．（或：勾股定理的逆定理）．
（2）如图，连接，
，，，
，
由勾股定理，得，
又，，
，
是直角三角形，
．
．
绿化费用为：（元）．
答：绿化这片空地共需要元．
【点睛】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出的形状是解答此题的关键．
19．
【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理及其逆定理，利用所给条件准确运算是解决本题的关键．
【详解】解：在中，，，
,
在中，，
，
即,
,
的面积为,
的面积为,
阴影部分面积为，
故阴影部分面积为24．
20．(1)见解析
(2)是等边三角形；理由见解析
(3)为直角三角形，理由见解析
(4)
【分析】（1）以点为圆心为半径作弧，再以点为圆心长为半径作弧，两弧交于点，连接，，则即为所作；
（2）连接，由旋转的性质可得，则是等边三角形；
（3）由勾股定理的逆定理即可得到为直角三角形；
（4）由（2）（3）可得，，再根据进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，即为所作，
（2）解：是等边三角形；理由如下：
如图，连接，由旋转的性质可得，
则是等边三角形；
（3）解：为直角三角形，理由如下：
由（2）得是等边三角形，
∴，
由旋转的性质可得，
，
∴为直角三角形；
（4）解：由（2）可得是等边三角形，
，
由（3）可得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图—旋转变换，旋转的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定与性质，是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)（5，3）
(3)矩形
(4)（－2，0）或（－6，0）
【分析】（1）直接利用中心对称的性质结合关于点对称图形的性质得出答案；
（2）利用所画图形得出对应点坐标；
（3）利用勾股定理以及逆定理结合矩形的判定方法得出四边形的形状；
（4）设点D（a，0），根据平行四边形的性质可得AD=BC，可得到关于a的方程，即可求解．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵点B（－3，－3），且和关于点成中心对称，
∴（5，3）；
故答案为：（5，3）
（3）解：根据题意得：，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是直角三角形，即，
∴四边形是矩形；
故答案为：矩形
（4）解：设点D（a，0），
∵在轴上找一点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，
∴，，
∵点B（－3，－3），C（－1，－3），A（－4，0），
∴BC=2，
∴，
解得：a=－2或－6，
∴点D的坐标为（－2，0）或（－6，0）．
故答案为：（－2，0）或（－6，0）．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定以及中心对称变换，勾股定理，平行四边形的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
22．北偏东
【分析】证明是直角三角形，即可求解．
【详解】解：由题意，得，，．
，
是直角三角形，且．
货船沿南偏东方向航行，
客船航行的方向为北偏东．
23．
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，先利用勾股定理求出，然后利用勾股定理的逆定理判断出是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴三角形是直角三角形，
∴．
24．(1)6，12，25
(2)① 见解析；②
【分析】本题考查勾股数的定义，以及整式的运算等，理解题意，准确结合材料定义进行分析是解题关键．
（1）根据勾股数的定义求解即可；
（2）①根据勾股数的定义，分别计算各整式的平方，然后判断等式是否成立即可；
②先对原三个数约去公因数化简，然后拆分化简后的偶数，根据化简后剩余的两个数依次确定出m，n的值即可求解．
【详解】（1）解：①6，8，10；②5，12，13；③7，24，25．
故答案为：6，12，25；
（2）①证明：，，
，
∴，，是勾股数；
②解：把24，45，51约去，化简得：8，15，17，
偶数，，,
即，，,
，，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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