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1.3勾股定理的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
2．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（ ）

A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm
3．如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
4．小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变形，准备采用如下方法：如图，先测量门的边和的长，再测量点A和点C之间的距离，由此可推断是不是直角，这样做的依据是（ ）
A．勾股定理
B．若三角形的三边长满足，则这个三角形是直角三角形
C．三角形内角和定理
D．直角三角形的两锐角互余
5．如图，将直角边，的直角纸片折叠，使点与点重合，折痕为，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．如图，中，，，，点D在上，将沿折叠，点A落在点处，与相交于点E，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少？若设门对角线长为x尺，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．一架长的梯子斜立在竖直的墙上，这里梯脚距离墙底端，如果梯子的顶端下滑，则梯脚将水平移动（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在行距、列距都是1的的方格网中，将任意连接两个格点的线段称作“格点线”，则“格点线”的长度不可能等于（ ）

A． B． C． D．
10．在正方形网格中画格点三角形，下列四个三角形，是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在边长为1的正方形网格中，点，都在格点上，则线段的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
13．如图，长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，，若一只蚂蚁从A点开始沿图中3个侧面（即沿）爬行到达P点，则蚂蚁爬行的最短路径长为______．
14．如图，一个圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点处有一只蚂蚁，想沿盒壁爬行吃到正对面中部点处的食物，那么它至少需要爬行_____．（蚂蚁的大小忽略不计）
15．如图所示的一块地，已知，，，，，则这块地的面积为_______．
16．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______．
17．一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面周长为12cm，高为8cm，则蚂蚁所走过的最短路径是______cm．
三、解答题
18．某会展中心在会展期间准备将高、长、宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？
19．如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H，（A，H，B在一条直线上），并修一条路CH．测得千米，千米，千米．
（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明．
（2）求原来的路线AC的长．
20．画图题，请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个单元格的边长为．
(1)请在图中设计一个直角三角形，使它三边中有两边边长是无理数；
(2)请在图中设计一个直角三角形，使它的三边边长都是无理数．
21．某邮轮从A港出发向西航行，折向北航行，平均航速均为20千米/时．问该邮轮在什么位置？请先画出航线示意图，然后量出邮轮相对于A港的方位，并算出距离（方位角精确到度）．
22．为了响应国家生态文明建设的号召，提升居民生活品质，营造更加宜居和谐的居住环境，幸福家园小区全面启动了绿化升级工程，以“生态、美观、实用”为原则，科学规划，精心布局，打造多功能的绿色空间．社区在住宅楼和临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知，，，，技术人员通过测量确定了．求这片绿地的面积．
23．勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．图1为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，把两个全等的直角三角形拼成如图1所示的形状，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示证明勾股定理．
(1)如图1，，，直角边分别为a，b，斜边为c，请根据图1证明勾股定理
(2)如图2，，，，，，求阴影部分的面积；
(3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，使现测得千米，千米，千米，求新修路的长．
24．如图，在3×3网格中，每个小正方形的边长都为1，的顶点均在网格的格点（网格线的交点）上．
(1)填空：_______，_____，_____；
(2)是直角三角形吗？请作出判断，并说明理由．
《1.3勾股定理的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B B B B C B D C C
题号 11 12
答案 B C
1．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
【详解】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度，
∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是．
故选：C．
2．B
【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．
【详解】三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，

则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．
可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，
由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，
解得x=25．
故选B．
【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
3．B
【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，以及勾股定理的应用．首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即可解得．
【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示，
圆柱的底面周长为，
．
，，
，
在中，，
，
即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，如果，则可判断是直角三角形，由此可推断是否为直角．
【详解】解：先测量门的边和的长，再测量点A和点C间的距离，用勾股定理的逆定理判断：若满足，则可判断是直角三角形，即为直角；若，则不是直角．
故选：B．
5．B
【分析】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，比较简单．设，先根据翻折变换的性质可得到，则，再根据勾股定理即可求解，再利用线段和差计算．
【详解】解：设，则，
是沿直线翻折而成，
，
是直角三角形，
，
即，
解得，
∴
故选：B．
6．C
【分析】首先利用勾股定理求出，然后确定取最大值时最小，然后利用垂线段最短解决问题．
【详解】∵中，，，，
∴，
∵，，
∴当最小时，最大，
当时最小，
而，
∴的最小值为，
∴的最大值为．
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换，灵活运用勾股定理及翻折不变性是解题关键．
7．B
【分析】根据题中所给的条件可知，竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高、宽、对角线长．
【详解】解：根据勾股定理可得：
x2=（x-4）2+（x-2）2，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用，正确运用勾股定理，将数学思想运用到实际问题中是解答本题的关键，难度一般．
8．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，数量掌握勾股定理是解题的关键．
通过勾股定理计算初始墙高和移动后梯脚离墙的距离，求差即可得到移动距离．
【详解】初始状态：设墙高为，
∵ ，
∴ ，
∴ m．
移动后：顶端下滑 2m，新墙高为 m，
设新梯脚离墙距离为，
∵ ，
∴ ，
∴ m．
∴ 梯脚移动距离为m．
9．C
【分析】根据题意和各个选项中的数据，可以得到哪个数据不可能是“格点线”的长度，从而可以解答本题．
【详解】解：，故可能是“格点线”的长度，故此选项不符合题意；
，故可能是“格点线”的长度，故此选项不符合题意；
，故不可能是“格点线”的长度，故此选项符合题意故；
，故可能是“格点线”的长度，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的知识解答．
10．C
【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
利用勾股定理、勾股定理的逆定理即可判断．
【详解】解：A．∵，，，
∴三角形不是直角三角形；
B．∵，，，，
∴三角形不是直角三角形；
C．∵，，，，
∴三角形是直角三角形；
D．∵，，，,
∴三角形不是直角三角形．
故选：C．
11．B
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，抓住鱼竿的长度不变是解题的关键．
在和中，分别用勾股定理求出和，即可求出渔线水平方向移动的距离的值．
【详解】解：在中，
，，
．
根据题意可得，
，
在中，
，
．
鱼线水平方向移动的距离是，
故选：B．
12．C
【分析】本题考查了勾股定理，建立格点三角形，利用勾股定理求解的长度即可．
【详解】解：如图所示：
，
故选：C．
13．5
【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：将长方体展开，连接A、P，如图，当点M、N在线段上时，根据“两点之间线段最短”，得最短路径为线段的长，
∵长方体的底面边长分别为和，高为，点P在棱上，且，
∴，，
∴，
即蚂蚁爬行的最短路径长为．
故答案为：5．
14．26
【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，作出B关于边的对称点D，然后利用勾股定理求出的长，再算出时间．
【详解】解：如图所示：
作B关于边的对称点D，连接，蚂蚁走的最短路径是，
∵底面周长为，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：26．
15．96
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理的应用，得到是直角三角形是解题的关键．同时考查了直角三角形的面积公式．
连接，先由勾股定理求出，再由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，然后由三角形面积即可得出结论．．
【详解】解：如图，连接．
，，，
，
又，，
，
是直角三角形，，
这块地的面积的面积的面积．
故答案为：96．
16．
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，过点作，上取点，，使， 通过勾股定理求出，，则受噪音影响共有，然后求出时间即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作，上取点，，使，
由题意可得，，
当火车到点时对处产生噪音影响，此时，
由勾股定理得：，，
∴受噪音影响共有，
∴点处受噪音影响的时间为，
故答案为：．
17．
【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】解：如图，线段即为所求，
由题意，得：，
∴；
即蚂蚁走过的最短路径为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理求最短路径．
18．1020
【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解．
【详解】解：由勾股定理得，
则地毯总长为，
则地毯的总面积为（平方米），
所以铺完这个楼道至少需要（元）．
故答案为：1020．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．
19．（1）是，见解析；（2）千米
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得是直角三角形，然后根据点到直线的距离中，垂线段最短即可解答；
（2）设，则，在中，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）是；
理由是：在中，
∵，
∴，
∴，
∴CH是从村庄C到河边的最近路；
（2）设，则，
在中，
，
∴，
解得：，
答：原来的路线AC的长为千米
【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，点到直线的最短距离，灵活应用勾股定理的逆定理和定理是解题的关键．
20．(1)画图见解析（答案不唯一）；
(2)画图见解析（答案不唯一）．
【分析】此题考查了勾股定理与无理数，勾股定理逆定理，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据网格与勾股定理即可画图；
（）根据网格与勾股定理即可画图．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
理由：，，
∴，
∴为直角三角形，
∴满足条件；
（2）解：如图，即为所求；
理由：，，
∴，
∴为直角三角形，
∴即为所求．
21．该邮轮在北偏西方向，距离为50千米
【分析】根据题意作出图象，然后结合图形利用勾股定理求出距离，再利用量角器量出角度即可确定相应位置．
【详解】解：如图所示，邮轮沿着路线航行，
∵邮轮从A港出发向西航行，折向北航行，平均航速均为20千米/时，
∴千米；千米，
∵向正北航行，
∴，
∴千米，
用量角器测量，
∴，
该邮轮相对于A港在北偏西方向，距离为50千米．
【点睛】题目主要考查方位角与勾股定理解三角形，理解题意，作出相应图形是解题关键．
22．这片绿地的面积是
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理等知识．
连接，勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，，然后由三角形面积公式即可得出结论．
【详解】解：如图，连接，
在中，，
，
，，
，
是直角三角形，，
，
，
，
答：这片绿地的面积是．
23．(1)
证明：，
，
，
，
，即，
，
，
，即；
(2)24
(3)1.2
【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理；
（2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积；
（3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可．
【详解】（1）略
（2）解：，，，
有勾股定理得，，
，，
，
，
，
答：阴影部分面积为24；
（3）解：设千米，则千米，
，
，
在中，，
在中，，
，即，
整理得，，
解得，，
千米，
（千米），
答：新修路的长为1.2千米．
24．(1)，，
(2)
是直角三角形，理由如下：
∵，，
∴，
∴是直角三角形．
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（）利用勾股定理计算即可；
（）利用勾股定理的逆定理判断即可；
【详解】（1）解：由网格得，，，，
故答案为：，，；
（2）略
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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