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1.1探索勾股定理
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直角三角形的两条直角边分别是3和4，则斜边长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．以上都不对
2．若一个直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长为20，则这个三角形的面积是（ ）
A．96 B．48 C．128 D．100
3．在如图所示的“赵爽弦图”中，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形，分别以点为圆心，长为半径作弧，若，，则图中阴影部分的面积为（）
A． B． C． D．
4．新情境 如图，儿童三人制足球球门侧面是两个全等的直角三角形和，其中，已知球门的长，宽，高，现需给球门铺网，则球门一侧长方形面需要铺网的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图中左图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2中右图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）

A．74 B．76 C．78 D．80
6．若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（　　）
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
7．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记，，．若，．则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．9 C． D．
8．如图，一棵大树32米（树干与地面垂直）在一次强台风中于离地面B处折断倒下，倒下后的树顶C与树根A的距离为16米，则的距离为（ ）
A．10米 B．12米 C．8米 D．16米
9．如图，在四边形中，，，，，则（ ）．
A．20 B．25 C．35 D．30
10．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽将“勾股形”分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示长方形是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为（ ）
A．52 B．104 C．48 D．96
11．如图，一张长方形纸片剪去一个角后剩下一个梯形，则这个梯形的周长为（　　）
A．30 B．32 C．34 D．36
12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（　　）
A．13 B．14 C．15 D．16
二、填空题
13．如图，《九章算术》中有这样一道古题：今有一竖直的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有二尺（绳索比木柱长2尺），牵着绳索退行，在距木柱底部6尺（）处时绳索用尽，则木柱长为__________尺．
14．如图，在四边形ABCD中，，分别以四边形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，和．若，，，则的值是________．
15．在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是__________．（填“甲”或“乙”）
16．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_____米．
17．中，，上的高为12，则的长为_____
三、解答题
18．我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出红外线测距仪，测得汽车与他相距400米，10秒后，汽车与他相距500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？
19．已知为锐角， ，求，的值．
20．有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物．
（1）你认为小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路线最短，请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．
（2）求小虫爬行的最短路线长（不计缸壁厚度）．
21．白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．诗中隐含着一个有趣的数学问题：诗中将军在观望烽火之后从山脚的A点出发，奔向小河旁边的P点饮马，饮马后再到B点宿营，若A，B到水平直线l（l表示小河）的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4．
(1)请作出使和最小的点P．
(2)请求出最小值．
22．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有开门去阃（kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？”题目大意是：如图〔图（2）为图（1）的平面示意图〕，推开双门，点C和点D距离门槛都为1尺，双门间隙的距离为2寸，求的长．（注：1尺寸）
23．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下：
把两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如图1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于点F，点E在边AB上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB＝b、BA＝a，斜边长为AC＝c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理
(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；
(2)如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为多少千米．
24．绿都农场有一块菜地如图所示，现测得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求这块菜地的面积．
《1.1探索勾股定理》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B B B B D B B C
题号 11 12
答案 B A
1．A
【分析】本题主要考查了勾股定理，根据勾股定理，直角三角形的斜边长为两条直角边平方和的平方根求解即可．
【详解】解：已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，
设斜边长为．根据勾股定理：
，
故选：A．
2．A
【分析】根据题意，设直角三角形的两个直角边分别为，，根据勾股定理求得，即可求解．
【详解】解：根据题意，设直角三角形的两个直角边分别为，
由勾股定理得
解得，
∴直角三角形的两个直角边分别为、，
∴这个三角形的面积；
故选A．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，直角三角形中，两个直角边的平方和等于斜边的平方．
3．B
【分析】先利用全等直角三角形的性质，得出线段之间的数量关系，求出小正方形边长，再分别计算扇形面积和小正方形中相关三角形（或直接小正方形）面积，通过面积和差求出阴影部分面积．本题主要考查赵爽弦图的性质、扇形面积公式，熟练掌握全等三角形对应边关系求小正方形边长，以及利用“扇形面积和-重叠部分面积（小正方形）”计算阴影面积是解题关键．
【详解】解：根据题意可得，
小正方形的边长．
∴
故选：．
4．B
【分析】本题主要考查了勾股定理以及长方形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先利用勾股定理求出的长度，再根据长方形面积公式求出长方形的面积．
【详解】解：∵ 在中，，，，
∴ ．
又∵ 长方形中，，
∴ 长方形的面积为．
故选：B．
5．B
【分析】通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长．
【详解】如图，根据题意，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴这个风车的外围周长是，
故选B．

【点睛】本题考查勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
6．B
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
题目没有明确斜边或直角边，故要分情况讨论：当12为直角边时，当12是斜边时，解答即可．
【详解】解：当12为直角边时，第三边长为，
当12为斜边时，第三边长为，
∴第三边长为13或，
故选：B．
7．D
【分析】由勾股定理可知,即可求解．
本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题关键．
【详解】由勾股定理可知,
,
,
由图形可知，阴影部分的面积为．
故选:．
8．B
【分析】设，则，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：设，则，
由勾股定理得，
即，
整理得，解得，
即的距离为12米．
9．B
【分析】根据勾股定理求得的长度，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：
由勾股定理可得：
故选B
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的性质等知识，理解题意是关键；由题意得，，设，则，在中利用勾股定理建立方程即可求解．
【详解】解：如图，由题意得四边形是正方形，则，
由题意得，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
∴．
故选：C．
11．B
【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理求出的长，进一步求出梯形的周长即可．
【详解】解：由图和题意，得：，
∴，
∴，
∴这个梯形的周长为；
故选B．
12．A
【分析】根据小正方形的面积为5可得（a-b）2= a2-2ab+b2=5，再根据（a+b）2＝21可得a2+2ab+b2=21，从而可得大正方形的面积为a2+b2=13．
【详解】解：如图所示：
∵（a+b）2=21，
∴a2+2ab+b2=21①，
∵小正方形的面积为5，
∴（a-b）2= a2-2ab+b2=5②，
①+②得：2a2+2b2=26，
∴大正方形的面积为a2+b2=13，
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，勾股定理．能正确表示大正方形和小正方形的面积是解题关键．
13．8
【分析】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．设木柱长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：设木柱长为x尺，根据题意得：
，
则，
解得：，
答：木柱长为尺．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了勾股定理的应用．
连接，根据勾股定理可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，连接，

由题意可知：，
在直角三角形和中，
，
即，
∵，
∴．
故答案为：．
15．乙
【分析】本题考查了列代数式及勾股定理与完全平方公式的验证，理解题意，结合图形求解是解题关键．根据图形列代数式即可得出结果．
【详解】解：甲出的结果为：，不符合题意；
乙得出的结果为：，即，符合题意；
故答案为：乙．
16．
10
【分析】先求出两棵树的高度差，再结合两树的水平距离构造直角三角形，最后用勾股定理求出树梢间的直线距离，即小鸟飞行的最短距离．
【详解】解：两棵树的高度差为（米）
两树水平距离为8米，根据勾股定理，小鸟飞行的最短距离为:
（米）.
故答案为：10．
17．或11
【分析】此题主要考查了三角形高的性质和勾股定理，根据题意利用分类讨论正确画出图形是解题关键．由于三角形的高的位置随三角形的形状改变而变化，分别根据题意画出当点D在线段上、点D在线段的延长线上时的图形，分别利用勾股定理得出答案即可．
【详解】解：设边上的高为，
当点D在线段上时，
如图1所示：
在中，，，
根据勾股定理：；
在中，，，
根据勾股定理：；
∴；
当D在线段的延长线上时，
如图2所示：
同理可知：，，
∴；
综上所述：或11，
故答案为：或11．
18．速度为30米每秒
【分析】根据勾股定理求得的长度，再根据速度等于路程除以时间即可求得敌方汽车的速度．
【详解】，
，
米每秒，
答：敌方汽车的速度为30米每秒．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
19．，
【分析】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；锐角的正切等于对边比邻边．设，，根据勾股定理得，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．
【详解】解：如图，，，，

设，．
根据勾股定理，得，
∴．
∴，．
20．（1）见解析；（2）100cm
【分析】(1)做出A关于BC的对称点A’，连接A’G，与BC交于点Q，由两点之间线段最短，此时A’G最短，即AQ+QG最短；
(2)A’G为直角△A’EG的斜边，根据勾股定理求解即可．
【详解】解：(1)如下图所示，
作点A关于BC所在直线的对称点，连接，与交于点，
由两点之间线段最短，此时A’G最短，
则为最短路线．
(2)∵，
∴，
∴．
在中，，，
∴．
由对称性可知，
∴．
故小虫爬行的最短路线长为100cm．
【点睛】本题考查的是利用勾股定理求最短路径问题，本题的关键是根据对称性作出A的对称点A’，再根据两点之间线段最短，从而可找到路径求出解．
21．(1)见解析
(2)5
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题以及勾股定理．
（1）作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小；
（2）由（1）可得的最小值，过点B作于点C，设与直线交于点O，再利用勾股定理求解，即可求得答案．
【详解】（1）解：作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小；
（2）解：由（1），
∴，
过点B作于点C，设与直线交于点O，
则，
∴，
∴，
∴最小值．
22．寸
【分析】本题考查勾股定理，取的中点，由题意可知：，寸，设寸，则：寸，根据勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：取的中点，由题意可知：，寸，
设寸，则：寸，寸，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：，
∴寸．
23．(1)见解析
(2)两个村庄相距41千米．
【分析】（1）根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．
（2）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，从而得到DE=AD-AE=24-16=8千米，利用勾股定理求得CD两地之间的距离．
【详解】（1）解：∵S梯形ABCD=a（a+b），S△EBC=b（a-b），S四边形AECD=c2，
它们满足的关系式为：a（a+b）=b（a-b）+c2，
即a2+b2=c2；
（2）解：如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴BC=AE，CE=AB，
∴DE=AD-AE=25-16=9千米，
∴CD= =41（千米），
∴两个村庄相距41千米．
【点睛】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形DEF是解本题的难点．
24．24m2
【分析】连接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的长，再利用勾股定理的逆定理证明△CAB为直角三角形，然后根据菜地的面积=S△CAB-S△ADC进行计算即可解答．
【详解】
解： 如图，连接AC，
∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，
∴AC＝
＝
＝5m．
∴SRt△ADC＝＝6m2．
在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m，
∴，
∴△CAB为直角三角形，且∠CAB＝90°，
∴SRt△CAB＝＝30m2，
∴菜地的面积＝S△CAB－S△ADC＝24 m2．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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