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5.1认识方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如果，那么下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列式子中变形正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
3．下列变形错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．下列四个式子中，是方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．若是关于x的方程的解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．如果，那么（ ）．
A．等于 B．小于 C．大于
7．是下列哪个方程的解（ ）
A． B． C． D．
8．由等式得到等式，应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
9．下列方程中，（ ）的解是．
A． B． C． D．
10．若，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
12．下列等式的变形正确的是（　　）
A．由可得
B．由可得
C．由可得
D．由可得
二、填空题
13．观察下列一系列方程，完成后面的问题：
第1个方程是，解为；
第2个方程是，解为；
第3个方程是，解为；，
以上方程及其解很有规律，请写出第n个方程及其解：__________．
14．方程，▲处被墨水盖住了，已知该方程的解是，那么▲处的数字是__________．
15．含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做____．
使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做____．
16．已知是关于的方程的解，则______．
17．若，表示非零常数，整式的值随的取值而发生变化．如下表：
0 1 3 …
1 3 5 9 …
则关于的一元一次方程的解是_______．
三、解答题
18．一张长方形纸片，周长是，长是宽的2倍．
(1)设宽为，请列出关于x的方程．
(2)说明是该方程的解，而不是它的解．
19．已知，利用等式的基本性质，求的值．
20．今年4月24日是第十个“中国航天日”，以“海上生明月，九天揽星河”为主题，某校以此来激励同学们参加航空航天知识学习，积极参加学校飞行社团的学习．截止4月底，参加“固定翼”社团的人数比去年同期增加，参加“旋翼”社团的人数比去年同期增加 ，设去年4月底参加“固定翼”社团学习的有人，“旋翼”社团学习的有人．
(1)今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为_____人（用含，的代数式表示）；
(2)若今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数比去年增加，求的值．
21．已知关于的方程的两个解是；
又已知关于的方程的两个解是；
又已知关于的方程的两个解是；
，
小王认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想．
关于的方程的两个解是；并且小王在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小王非常高兴，他向同学提出如下的问题．
(1)关于的方程的两个解是 和 ；
(2)已知关于的方程，则的两个解是多少？
22．在学习等式的基本性质后，有不少同学对策式进行变形后，得出“”的错误结论，但都找不到错误原因，你能帮助他们找到原因吗？错误的解答过程如下：解：将等式变形，得（第一步）
所以（第二步） ．
(1)等式变形产生错误的步骤是第 步．
(2)产生错误的原因是什么？
(3)对于等式基本性质的应用，你认为还需要注意什么？写出一点即可．
《5.1认识方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D C A C A B D A
题号 11 12
答案 D B
1．B
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式两边同时加上或者减去同一个数，等式仍成立；或者等式两边同时乘上或者除去同一个数（不为0），等式仍成立，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、∵，∴不成立，故该选项是错误的；
B、∵，∴，故该选项是正确的；
C、∵，∴不成立，故该选项是错误的；
D、∵，∴不成立，故该选项是错误的，故该选项是错误的；
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了等式的性质，熟记等式的性质是解题的关键．根据等式的性质：等式的两边都加上或减去同一个数，结果不变，等式的两边都乘以或除以同一个不为零的数，结果不变，对各项进行逐一分析即可.
【详解】解：A、∵，
∴ ，故本选项不符合题意；
B、∵，
∴两边都除以得：，故本选项符合题意；
C、∵，
∴两边都乘以3得：，故本选项不符合题意；
D、∵，
∴两边都加得：，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．D
【分析】根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A项 ，则，等式左右两边同时得：，故本选项正确.
B项 ，所以，，则等式左右两边同时除以得：，故本选项正确.
C项、，等式两边同时乘以x得：，故本选项正确.
D项、，当时，m、n为任意实数，当时，m=n，故本选项错误.
故选：D.
【点睛】本题考查了等式的性质，注意：等式的性质是：①等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．
4．C
【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断即可．本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：根据含有未知数的等式叫做方程，判断是方程，其余不是，
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，理解方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值以及解方程的方法是解决问题的关键．根据方程解的定义，把代入方程，即可得到一个关于的方程，从而求得的值．
【详解】解：把代入方程得，
解得，
故选：A．
6．C
【分析】题目主要考查等式的性质，理解题意，根据等式的性质判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．
把分别代入方程，逐项判断即可．
【详解】解：A.当 时，，故该选项符合题意；
B. 当 时，，故该选项不符合题意；
C. 当 时，，故该选项不符合题意；
D. 当 时，，故该选项不符合题意；
故选：A ．
8．B
【分析】本题考查等式的性质，等式两边同时除以同一个不为零的数，等式仍然成立，据此得到求解即可．
【详解】解：∵由等式得到，需要两边同时除以，
∴，即．
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了方程的解的定义，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，熟知方程的解的定义是解题关键．根据方程解的定义逐项代入即可判断．
【详解】解：当时，左边，左边右边，所以不是原方程的解，故原选项不合题意；
当时，左边，左边右边，所以不是原方程的解，故原选项不符合题意；
当时，左边，左边右边，所以不是原方程的解，故原选项不合题意；
当时，左边，左边右边，所以是原方程的解，故原选项合题意．
故选：．
10．A
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题关键是利用等式性质熟练将比例式与乘积式进行互相转化．把比例式转化为乘积式，逐项判断即可．
【详解】A、由可得：，符合题意；
B、由可得：，不符合题意；
C、由可得：，不符合题意；
D、由可得：，不符合题意；
故选：A．
11．D
【分析】本题考查了方程的解，能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
逐一代入计算即可．
【详解】解：A．时；
B．时；
C．时；
D．时；
故选：D．
12．B
【分析】本题考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．利用等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等，依次进行判断即可．
【详解】解：A中，由，利用等式的性质1，两边都减去，得，故选项错误，故不符合题意；
B中，由，利用等式的性质2，两边都乘以，得，故选项正确，故符合题意；
C中，由，先利用等式的性质1，两边都加，得，故选项错误，故不符合题意；
D中，由，利用等式的性质2，两边都乘以，得，故选项错误，故不符合题意；
故选：B．
13．，解为
【分析】本题考查了解一元一次方程的解，弄清楚题目中的规律是解题关键．
把方程和解变形即可得出规律．
【详解】解：第1个方程是，解为；
第2个方程是，解为；
第3个方程是，解为；，
由此可得出第n个方程为，解为．
故答案为：，解为．
14．
【分析】把x=0代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字．
【详解】把x=0代入方程，得3+▲=0，
解得▲=-3．
故答案为：-3．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
15． 一元一次方程 方程的解
【解析】略
16．
【分析】本题考查了一元一次方程解的定义，代数式求值，由一元一次方程解的定义可得，进而代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的方程的解，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键．将关于的一元一次方程化为，然后根据表格得出当时，，即可求出关于的一元一次方程的解．
【详解】解：关于的一元一次方程可化为，
由表格可知，当时，，
关于的一元一次方程的解为．
故答案为：．
18．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查根据实际问题列方程以及验证方程解的能力．
（1）利用长方形周长公式和长与宽的关系列出方程；
（2）通过代入数值验证是否为方程的解．
【详解】（1）解：∵长是宽的2倍，宽为，
∴长为，
∵长方形的周长(长+宽)，周长为，
∴方程为；
（2）解：当时，
代入方程左边：，
∴左边=右边，
∴是该方程的解．
当时，
代入方程左边：，
∴左边≠右边，
∴不是该方程的解．
19．．
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【详解】解：，
根据等式的基本性质，两边同时加，得
，
即，
根据等式的基本性质，两边同时除以，得
，
即．
20．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了列代数式，等式的性质，正确求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数是解题的关键．
（1）分别求出今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的人数，二者求和即可得到答案；
（2）根据题意可得，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，今年参加“固定翼”社团的人数为人，今年参加“旋翼”社团的人数为人，
∴今年参加“固定翼”和“旋翼”社团的总人数为人；
（2）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴．
21．(1)11，
(2)，
【分析】（1）根据规律可直接得到答案；
（2）将原方程进行变形，变成即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于的方程的两个解是，
∴方程的两个解是，，
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
【点睛】本题考查方程的解，解题的关键是将方程进行正确的变形，根据方程的定义求出方程的解．
22．(1)二
(2)没考虑的情况
(3)等式两边必须是相同的操作（同加同减，同乘同除），且是同一个数或同一个式子，等式两边同时除以一个数时，要确保这个数不能为0（答案不唯一，合理即可）
【分析】本题主要考查等式的性质，理解并掌握等式的性质是解题的关键．
（1）根据等式的性质判定即可；
（2）根据等式的性质判定即可；
（3）根据等式的性质判定即可．
【详解】（1）解：等式变形产生错误的步骤是第二步，
故答案为：二；
（2）解：在第二步中，等式两边同时除以，没有考虑的情况，当时，根据等式的性质2，这不合理，
∴错误原因：没考虑的情况；
（3）解：运用等式的性质时，等式两边必须是相同的操作（同加同减，同乘同除），且是同一个数或同一个式子，等式两边同时除以一个数时，要确保这个数不能为0（答案不唯一，合理即可）．
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