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平行线与相交线的模型
【三线八角模型】
已知 图示 结论(性质)
直线AB、CD被直线EF所截且AB、CD不平行 (1)同位角有4组，如：∠1与∠5、∠2与∠6、∠3与∠7、∠4与∠8； (2)内错角有2组，如：∠3与∠5、∠6与∠8； (3)同旁内角有2组，如：∠3与∠6、∠4与∠5； (4)对顶角有4组，如：∠1与∠3、∠2与∠4、∠5与∠7、∠6与∠8.
直线AB、CD被直线EF所截，且AB∥CD (1)同位角相等：∠1=∠5、∠2=∠6、∠3=∠7、∠4=∠8； (2)内错角相等：∠3=∠5、∠6=∠8； (3)同旁内角互补：∠3+∠6=180°、∠4+∠5=180°； (4)对顶角相等：∠1=∠3、∠2=∠4、∠5=∠7、∠6=∠8.
例1如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是_______.
例2如上右图，．若，则的大小为_______.
例3 如图，已知，点E在线段AD上(不与点A，点D重合)，连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝_______.
例4 如图，直线，，，则_______.
【铅笔头模型】
已知 图示 结论(性质) 证明方法
AB∥DE ∠B+∠C+∠E = 360° 遇拐点做平行线(方法不唯一)
AB∥DE ∠B+∠M+∠N+∠E= 540°
a∥b ∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×(n-1)=180°×(拐点数+1)
例1 如图，如果ABCD，那么∠B＋∠F＋∠E＋∠D＝ °．
例2 问题情境：如图1，，，，求的度数．
思路点拨：
小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；
小丽的思路是：如图3，连接，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出的度数；
小芳的思路是：如图4，延长交的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出的度数．
问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的的度数为　 　°；
问题迁移：
(1)如图5，，点P在射线上运动，当点P在A、B两点之间运动时，，．、、之间有何数量关系？请说明理由；
(2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出、、间的数量关系．
【锯齿型模型（猪蹄模型）】
已知 图示 结论(性质) 证明方法
AB∥DE ∠B+∠E=∠C 遇拐点做平行线(方法不唯一)
AB∥DE ∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
a∥b 所有朝左角之和等于所有朝右角的和
例1 如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为_______.
例2 如上右图，直线，，则 ．
例3 问题情境：如图1，已知∥，．求的度数．
经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得．
问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动， ，．
(1)当点P在A、B两点之间运动时， 、、之间有何数量关系？请说明理由．
(2)如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出、、之间的数量关系．
(3)问题拓展：如图4，∥，是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为 _______．
例4 如图1，四边形为一张长方形纸片．
(1)如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角()，则__________°．
(2)如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角()，则__________°．
(3)如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角()，则___________°．
(4)根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是____________°．
【翘脚模型】
已知 图示 结论(性质) 证明方法
AB∥DE ∠1=∠2+∠3 遇拐点做平行线(方法不唯一)
AB∥DE ∠1+∠3-∠2=180°
例1 如图，AB∥CD，，，则 ．
例2 如上右图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式 ．
例3 ①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是( )
例4 已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．
(1)如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；
(2)如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　 　．
(3)如图3，在(2)的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．
【三角板拼接模型】
例1将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则的度数为_______.

例2 如上中图，将一副直角三角板如图放置，已知，，，则 °．
例3 如上右图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是_______.
例4一副三角板如图所示叠放，其中，，，且，则 度．
例5 一副直角三角板如图放置，点E在边的延长线上，，则的度数为 ．

【证明题练习】
1．如图，已知，平分交延长线于点E，与相交于点F，，求证：．
2．如图，，，，你能判断出和的关系吗 说明的理由．
3．如图，已知，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由
(2)若，求的度数
4．如图，点E，F分别在上，，垂足为点O，，，试说明．
5．如图，和的平分线交于点，的延长线交于点，且．
(1)求证：；
(2)猜想与的关系并证明．
6．如图，点，和分别在三角形的边，和上，点在上运动，，．探究和的数量关系，并说明理由．
下面是小明同学的解答过程：结论：和互补．理由如下：
（已知），
（_______）．
（ ）．
（已知），
（等量代换）．
（ ）．
（______）．
_____（平角的定义），
（ ）．
即和互补．
请把小明的解答过程补充完整，在括号内填写理由或数学式．
7．如图，点E、F分别在AB、CD上，于点O，，，求证：．请填空．
证明：∵（已知），
∴（_____）．
又∵，
∴（_____）．
∴（_____）．
∴．
又∵
∴（_____）．
又∵，
∴（_____），
∴（_____）．
8．如图，已知，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的度数．
9．如图，已知四边形ABCD中，∠D＝100°，AC平分∠BCD，且∠ACB＝40°，∠BAC＝70°．
(1)AD与BC平行吗？试写出推理过程；
(2)求∠DAC和∠EAD的度数．
10．如图，在四边形中，，是上一点，平分交的延长线于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，试说明：．

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