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高中物理模型盘点（七）天体运动模型
物理模型盘点——开普勒行星运动定律
【模型概述】
定律 内容 图示
开普勒 第一定律 (轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒 第二定律 (面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒 第三定律 (周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即＝k
1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则(　　)
A.v1＞v2，v1＝ B.v1＞v2，v1＞
C.v1＜v2，v1＝ D.v1＜v2，v1＞
【答案　B】
【解析】　卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1＞v2。
若卫星以近地点时的半径做圆周运动，则有＝m，得运行速度v近＝，
由于卫星在近地点做离心运动，则v1＞v近，即v1＞，选项B正确。
物理模型盘点——天体质量和密度的估算
【模型概述】
题型概述
1. 利用万有引力等于重力可以估算地球质量，若测量出绕天体运行卫星的周期和轨道半径可以估算天体的质量，若知道天体的半径，可以估算出天体的密度。高考有关天体质量和密度的估算考查频率较高。
2.考虑星球自转时星球表面上的物体所受重力为万有引力的分力；忽略自转时重力等于万有引力．
3.一定要区分研究对象是做环绕运动的天体，还是在星球表面上随星球一块自转的物体．做环绕运动的天体受到的万有引力全部提供向心力，星球表面上的物体受到的万有引力只有很少一部分用来提供向心力．
二、估算中心天体质量和密度的两条思路和三个误区
(1)两条思路
①利用天体表面的重力加速度和天体半径估算
由G＝mg天体得M＝，再由ρ＝，V＝πR3得ρ＝。
②已知天体做匀速圆周运动的轨道半径和周期，由G＝mr得M＝，再结合ρ＝，V＝πR3得ρ＝，在中心天体表面做匀速圆周运动时，r＝R，则ρ＝。
列表看思路
利用中心天体的半径和 表面的重力加速度g计算 由G＝mg求出M＝， 进而求得ρ＝＝＝。
利用环绕天体的轨道半径r 和周期T计算 由G＝mr，可得出M＝。 若环绕天体绕中心天体表面做匀速圆周运动，轨道半径r＝R，则ρ＝＝
(2)三个常见误区
①天体质量和密度的估算是指中心天体的质量和密度的估算，而非环绕天体的。
②注意区分轨道半径r和中心天体的半径R。
③在考虑自转问题时，只有两极才有＝mg天体。
2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（　　）
A. 6×105m B. 6×106m C. 6×107m D. 6×108m
【答案】C
【解析】忽略火星自转则①
可知
设与为1.8×105s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为，由万引力提供向心力可知②
设近火点到火星中心为③
设远火点到火星中心为④
由开普勒第三定律可知⑤
由以上分析可得
故选C。
物理模型盘点——行星模型
［模型概述］
所谓“行星”模型指卫星绕中心天体，或核外电子绕原子旋转。它们隶属圆周运动，但涉及到力、电、能知识，属于每年高考必考内容。
［模型要点］
人造卫星的运动属于宏观现象，氢原子中电子的运动属于微观现象，由于支配卫星和电子运动的力遵循平方反比律，即，故它们在物理模型上和运动规律的描述上有相似点。
公式 类似
适用条件 质点 点电荷 都是理想模型
研究对象 有质量的两个物体 带有电荷的两个物体 类似
相互作用 引力与引力场 电场力与静电场 都是场作用
方向 两质点连线上 两点电荷的连线上 相同
实际应用 两物体间的距离比物体本身线度大得多 两带电体间的距离比带电体本身线度大得多 相同
适用对象 引力场 静电场 不同
［特别说明］
一. 线速度与轨道半径的关系
设地球的质量为M，卫星质量为m，卫星在半径为r的轨道上运行，其线速度为v，可知，从而
设质量为、带电量为e的电子在第n条可能轨道上运动，其线速度大小为v，则有，从而
可见，卫星或电子的线速度都与轨道半径的平方根成反比。
二. 动能与轨道半径的关系
卫星运动的动能，由得，氢原子核外电子运动的动能为：，可见，在这两类现象中，卫星与电子的动能都与轨道半径成反比
三. 运动周期与轨道半径的关系
对卫星而言，，得.(同理可推导V、与半径的关系。对电子仍适用)
四. 能量与轨道半径的关系
运动物体能量等于其动能与势能之和，即，在变轨问题中，从离地球较远轨道向离地球较近轨道运动，万有引力做正功，势能减少，动能增大，总能量减少。反之呢
五. 地球同步卫星
1. 地球同步卫星的轨道平面：非同步人造地球卫星其轨道平面可与地轴有任意夹角且过地心，而同步卫星一定位于赤道的正上方
2. 地球同步卫星的周期：地球同步卫星的运转周期与地球自转周期相同。
3. 地球同步卫星的轨道半径：据牛顿第二定律有与地球自转角速度相同，所以地球同步卫星的轨道半径一定,其离地面高度也是一定的
4. 地球同步卫星的线速度：为定值，绕行方向与地球自转方向相同
［误区点拨］
天体运动问题：人造卫星的轨道半径与中心天体半径的区别；人造卫星的发射速度和运行速度；卫星的稳定运行和变轨运动；赤道上的物体与近地卫星的区别；卫星与同步卫星的区别：人造地球卫星的发射速度是指把卫星从地球上发射出去的速度，速度越大，发射得越远，发射的最小速度，混淆连续物和卫星群：连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，双星系统中的向心力中的距离与圆周运动中的距离的差别。
利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是
A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
【答案】D
【解析】在地球表面附近，在不考虑地球自转的情况下，物体所受重力等于地球对物体的万有引力，有，可得，A能求出地球质量。根据万有引力提供卫星、月球、地球做圆周运动的向心力，由，，解得；由，解得；由，会消去两边的M；故BC能求出地球质量，D不能求出。
【考点定位】万有引力定律的应用
【名师点睛】利用万有引力定律求天体质量时，只能求“中心天体”的质量，无法求“环绕天体”的质量。
2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道（可视为圆轨道）运行。与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的
A．周期变大 B．速率变大
C．动能变大 D．向心加速度变大
【答案】C
【考点定位】万有引力定律的应用、动能
【名师点睛】万有引力与航天试题，涉及的公式和物理量非常多，理解万有引力提供做圆周运动的向心力，适当选用公式，是解题的关键。要知道周期、线速度、角速度、向心加速度只与轨道半径有关，但动能还与卫星的质量有关。
“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空，与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距离地面约380 km的圆轨道上飞行，则其
（A）角速度小于地球自转角速度
（B）线速度小于第一宇宙速度
（C）周期小于地球自转周期
（D）向心加速度小于地面的重力加速度
【答案】BCD
【考点定位】天体运动
【名师点睛】卫星绕地球做圆周运动，考查万有引力提供向心力．与地球自转角速度、周期的比较，要借助同步卫星，天舟一号与同步卫星有相同的规律，而同步卫星与地球自转的角速度相同．
如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q到N的运动过程中
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
【答案】CD
【解析】从P到Q的时间为T0，根据开普勒行星运动第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知P到M所用的时间小于T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒行星运动第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确；故选CD。
【考点定位】开普勒行星运动定律；机械能守恒的条件
【名师点睛】此题主要考查学生对开普勒行星运动定律的理解；关键是知道离太阳越近的位置行星运动的速率越大；远离太阳运动时，引力做负功，动能减小，引力势能增加，机械能不变。
8．我国自主研制的首艘货运飞船“天舟一号”发射升空后，与已经在轨运行的“天宫二号”成功对接形成组合体。假设组合体在距地面高度为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知地球的半径为R，地球表面处重力加速度为g，且不考虑地球自转的影响。则组合体运动的线速度大小为__________，向心加速度大小为___________。
【答案】
【考点定位】万有引力定律的应用
【名师点睛】本题难度不大，应知道在地球表面附近物体所受重力和万有引力近似相等，即“黄金代换”。
物理模型盘点——近地卫星模型
【模型概述】近地卫星是贴着地球表面转动卫星，其中万有引力提供向心力，可计算出运行速度等于第一宇宙速度，运行周期大约84分钟。
若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则， ，
知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期
物理模型盘点——同步卫星模型
【模型概述】
一、地球同步卫星
1．定义：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星．
2．“七个一定”的特点：
(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h.
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．
(4)高度一定：由G＝m(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝3.6×107 m.
(5)速率一定：v＝ ＝3.1×103 m/s.
(6)向心加速度一定：由G＝ma得a＝＝gh＝0.23 m/s2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度．
(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向相同．
二、解决同步卫星问题的“四点”注意
1．基本关系：要抓住：G＝ma＝m＝mrω2＝mr.
2．重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．
3．物理规律：
(1)不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期．
(2)不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．
(3)不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上．
4．重要条件：
(1)地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球的表面半径约为6.4×103 km，表面重力加速度g约为9.8 m/s2.
(2)月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．
(3)人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s.
2020年6 月 23 日，北斗三号最后一颗全球组网卫星发射成功，北斗三号 30 颗组网卫星已全部到位，北斗三号全球卫星导航系统星座部署全面完成。北斗三号全球卫星导航系统由 MEO 卫星（地球中圆轨道卫星）、IGSO 卫星（倾斜地球同步轨道卫星）和 GEO 卫星（地球静止轨道卫星）三种不同轨道的卫星组成。关于GEO 卫星论述正确的是（ ）
A．卫星处于平衡状态 B．卫星的高度是一定的
C．卫星的速度是不变的 D．卫星的速度大于第一宇宙速度
【答案】B
【解析】GEO 卫星是同步卫星，故不是处于平衡状态，选项A错误；根据万有引力提供向心力，列出等式： ，其中R为地球半径，h为同步卫星离地面的高度．由于同步卫星的周期必须与地球自转周期相同，所以T为一定值，根据上面等式得出：同步卫星离地面的高度h也为一定值．由于轨道半径一定，则线速度的大小也一定，但是速度方向不断变化，故B正确，C错误．根据可知，同步卫星的速度小于第一宇宙速度，选项D错误；故选B.
物理模型盘点——万有引力等于重力模型
【模型概述】三种情况重力等于万有引力：
1：地球附近物体
2：忽略自转
3：南北极点
我国将在今年择机执行“天问1号”火星探测任务。质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程。已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力。若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为（　　）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】忽略星球的自转，万有引力等于重力，则，解得，着陆器做匀减速直线运动，根据运动学公式可知，解得，匀减速过程，根据牛顿第二定律得，解得着陆器受到的制动力大小为，ACD错误，B正确。故选B。
物理模型盘点——卫星模型相关物理量讨论
【模型概述】
模型规律
1.由v＝ 得出的速度是卫星在圆形轨道上运行时的速度，而发射航天器的发射速度要符合三个宇宙速度．
2.做圆周运动的卫星的向心力由地球对它的万有引力提供，并指向它们轨道的圆心——地心．
3.在赤道上随地球自转的物体不是卫星，它随地球自转所需向心力由万有引力和地面支持力的合力提供．
二、环绕天体绕中心天体做圆周运动的规律
(1)一种模型：无论是自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看做质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动，万有引力提供其做圆周运动的向心力。
(2)两条思路
①万有引力提供向心力，即＝m＝mrω2＝mr·()2＝ma；
②天体对其表面物体的万有引力近似等于重力，即＝mg天体。
(3)三点提醒
①a、v、ω、T、r只要一个量发生变化，其他量也发生变化；
②a、v、ω、T与环绕天体的质量无关；
③对于人造地球卫星，当r＝R地时，v＝7.9 km/s为第一宇宙速度。
(4)四点注意
①同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期。
②所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上。
③注意同步卫星与地球赤道上物体的区别与联系。
④区别轨道半径与距天体表面的高度。
金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火。已知它们的轨道半径R金A. a金>a地>a火 B. a火>a地>a金
C. v地>v火>v金 D. v火>v地>v金
【答案】A
【解析】AB．由万有引力提供向心力可知轨道半径越小,向心加速度越大,故知A项正确，B错误；
CD．由得可知轨道半径越小,运行速率越大,故C、D都错误。
物理模型盘点——三种天体运动速度比较
【模型概述】
椭圆轨道上比较速度：利用开普勒第二定律（面积定律）近日点速度大，远日点速度小；从近日点到远日点做离心运动，从远日点到近日点做近心运动。
同一中心天体运动的卫星模型，利用结论“高轨低速周期长”结论，即轨道半径越大速度越小。
变轨位置：利用曲率半径大速度大，半径小速度小的原理。
两颗人造卫星绕地球逆时针运动，卫星1、卫星2分别沿圆轨道、椭圆轨道运动，圆的半径与椭圆的半长轴相等，两轨道相交于A、B两点，某时刻两卫星与地球在同一直线上，如图所示，下列说法中正确的是(　　)
A．两卫星在图示位置的速度v2＝v1
B．两卫星在A处的加速度大小相等
C．两颗卫星在A或B点处可能相遇
D．两卫星永远不可能相遇
【参考答案】BD
【名师解析】v2为椭圆轨道的远地点速度，速度最小，v1表示做匀速圆周运动的速度，v1>v2，故A错误；两个轨道上的卫星运动到A点时，所受的万有引力产生加速度a＝GM/r2，加速度相同．故B正确；椭圆的半长轴与圆轨道的半径相同，根据开普勒第三定律知，两颗卫星的运动周期相等，则不会相遇，故D正确，C错误．
物理模型盘点——双星模型　多星模型
1．模型特征
(1)多星系统的条件
①各星彼此相距较近。
②各星绕同一圆心做匀速圆周运动。
(2)多星系统的结构
类型 双星模型 三星模型
结构图
向心力 由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等 运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供
运动参量 各行星转动方向相同，周期、角速度相等
2．双星问题的“两等”“两不等”
(1)双星问题的“两等”
①它们的角速度相等。
②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的。
(2)“两不等”
①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。
②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。
3.双星与多星模型对比及解题思路
“双星”模型 “三星”模型 “四星”模型
情境图
运动特点 转动方向、周期、角速度相同，运动半径一般不等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等 转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同，圆周运动半径相等
受力特点 两星间的万有引力提供两星做圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力 各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动的向心力
规律 ＝m1ω2r1＝m2ω2r2 ＋＝ma向×cos 30°×2＝ma向 ×2cos 45°＋＝ma向 ×2×cos 30°＋＝ma向
关键点 m1r1＝m2r2 r1＋r2＝L r＝ r＝L或r＝
双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　)
A.T　　　　　　　　　 B．T
C.T D．T
解析：　双星间的万有引力提供向心力。
设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r。
对质量为m的恒星：G＝m2·r
对质量为M的恒星：G＝M2(L－r)
得G＝·L
即T2＝
则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝T，选项B正确。
答案：　B
[即学即练]
(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则(　　)
A．每颗星做圆周运动的线速度为
B．每颗星做圆周运动的角速度为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
解析：　每颗星受到的合力为F＝2Gsin 60°＝G，轨道半径为r＝R，由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r＝m，解得a＝，v＝ ，ω＝ ，T＝2π ，显然加速度a与m有关，故A、B、C正确。
答案：　ABC
方法技巧　多星问题的解题技巧,
1挖掘一个隐含条件：不论双星还是三星在圆周上运动天体的角速度或周期相等；
2注意向心力来源分析：双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，三星或多星做圆周运动，向心力往往是多个星的万有引力的合力来提供；
3区别两个长度关系：圆周运动的轨道半径和万有引力中两天体的距离是不同的，不能误认。
物理模型盘点——黑洞模型
【模型概述】所谓“黑洞”，就是这样一种天体：它的引力场是如此之强，就连光也不能逃脱出来。
科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（　　）
B． C． D．
【答案】B
【解析】可以近似把S2看成匀速圆周运动，由图可知，S2绕黑洞的周期T=16年，地球的公转周期T0=1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是
地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知
解得太阳的质量为
同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知
解得黑洞的质量为
综上可得
故选B。
物理模型盘点——暗物质
【模型概述】暗物质(Dark Matter)是一种比电子和光子还要小的物质，不带电荷，不与电子发生干扰，能够穿越电磁波和引力场，是宇宙的重要组成部分。暗物质的密度非常小，但是数量庞大，因此它的总质量很大，它们代表了宇宙中26%的物质含量，其中人类可见的只占宇宙总物质量的5%不到(约4.9%)。暗物质无法直接观测得到，但它能干扰星体发出的光波或引力，其存在能被明显地感受到。
我国发射的“悟空”探测卫星,多年来积极开展了人类对暗物质的观测研究.现发现宇宙空间中两颗质量分别为m和3m的星球绕其连线某点转动时,理论计算的周期与实际观测周期不符,且;科学家认为,在两星球之间存在暗物质.假设以3m的星球其圆周转动为直径的球体空间中均匀分布着暗物质,那么该暗物质质量与另外的一星球(m)质量之比为(　　)
A．2:3 B．3:2 C．16:25 D．25:16
【答案】B
【解析】设两星球间距为L,则根据万有引力定律:＝3m·
若有暗物质,因均匀分布,根据万有引力定律:＋＝3m·
其中
联立解得:＝
A. 2:3与分析不符，故A错误。
B. 3:2与分析相符，故B正确。
C. 16:25与分析不符，故C错误。
D. 25:16与分析不符，故D错误。
物理模型盘点——卫星变轨
【模型概述】1、卫星发射及变轨过程概述：人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道,如图所示。
(1)为了节省能量,在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
(2)在A点(近地点)点火加速,由于速度变大,万有引力不足以提供向心力,卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2、物理量的比较：
速度:如图所示,设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3,在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB。在A点加速,则vA>v1,在B点加速,则v3>vB,又因v1>v3,故有vA>v1>v3>vB。
加速度:因为在A点,卫星只受到万有引力作用,故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点,卫星的加速度都相同,同理,经过B点加速度也相同。
周期:设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3,轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3,由开普勒第三定律=k可知T13、变轨问题的两种常见形式
(1)渐变：由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动。
①关键要点：轨道半径r减小(近心运动)。
这种变轨运动的起因是阻力使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做近心运动，即轨道半径r将减小。
②各个物理参量的变化：当轨道半径r减小时，卫星线速度v、角速度ω、向心加速度a增大，周期T减小。
(2)突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的轨道。
发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道I，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，在P点第一次点火加速，在短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
如图所示，一飞行器围绕地球沿半径为的圆轨道1运动，经点时，启动推进器短时间向后喷气使其变轨，轨道2、3是与轨道1相切于点的可能轨道，则飞行器（　　）
A．变轨后将沿轨道3运动
B．变轨后相对于变轨前运行周期变大
C．变轨前、后在两轨道上运动时经点的速度大小相等
D．变轨前经过点的加速度大于变轨后经过点的加速度
【答案】B
【解析】根据题意，飞行器经过点时，推进器向后喷气，飞行器线速度将增大，做离心运动，则轨道半径变大，变轨后将沿轨道2运动，由开普勒第三定律可知，运行周期变大，变轨前、后在两轨道上运动经点时，地球对飞行器的万有引力相等，故加速度相等，故B正确，ACD错误。
故选B。
物理模型盘点——常数的应用
【模型概述】开普勒第三定律，通过学习牛顿万有引力定律可以知道=，这个规律在解题过程中可以当做结论应用，使用模型是卫星圆周运动、椭圆运动都可以，对于双星模型也可以=，其中R代表两个星体之间距离，T代表一个星体周期（两个星体周期相同），M代表的是两个星体质量之和。
开普勒行星运动定律为万有引力定律的发现奠定了基础，根据开普勒定律，以下说法中正确的是（　　）
A．开普勒定律只适用于行星绕太阳的运动，不适用于卫星绕地球的运动
B．若某一人造地球卫星的轨道是椭圆，则地球处在该椭圆的一个焦点上
C．开普勒第三定律中的k值，不仅与中心天体有关，还与绕中心天体运动的行星（或卫星）有关
D．在探究太阳对行星的引力规律时，得到了开普勒第三定律，它是可以在实验室中得到证明的
【答案】B
【解析】A．开普勒行星运动三定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，故A错误；
B．根据开普勒第一定律，若人造地球卫星的轨道是椭圆，则地球在椭圆的一个焦点上，故B正确；
C．开普勒第三定律式中的k值，与中心天体的质量有关，与绕中心天体运动的行星（或卫星）无关，故C错误；
D．开普勒第三定律是开普勒在观察太阳系行星运动时得到的规律，在实验中不能验证，故D错误。
故选B。
利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯。目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的倍。假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（ ）
1h B. 4h C. 8h D. 16h
【答案】B
【解析】地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由 可得，则卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出图。由几何关系得，卫星的轨道半径为 ①
由开普勒第三定律 ，代入题中数据，得②
由①②解得
物理模型盘点——三星一线模型
【思想方法】两星再次在中心天体同侧一条线上时间间隔t=；两星再次在一条线上，在中心天体异侧时间t=
当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日：5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断中正确的是（　　）
地球 火星 木星
轨道半径（AU） 1.0 1.5 5.2
土星 天王星 海王星
轨道半径（AU） 9.5 19 30
A．各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最长
【参考答案】.B
【命题意图】 本题以国产科幻电影《流浪地球》切入，以“行星冲日”为情景，考查开普勒第三定律、万有引力定律、圆周运动的追击问题及其相关的知识点。
【解题思路】根据题述，“行星冲日”实质上是角速度大（周期小）的行星转过的圆弧所对的圆心角比角速度小（周期大）的行星转过的圆弧所对的圆心角多出2π（多转一圈），所以不可能各地外行星每年都出现冲日现象，选项A错误；对木星和地球，由开普勒第三定律，==141，解得木星绕太阳运动周期大约为T木=12年。设相邻两次出现木星冲日现象的时间间隔为t，由-=1解得t=年。题述2014年1月6日出现木星冲日现象，则在2015年2月一定会再次出现木星冲日现象，选项B正确；对天王星和地球，由开普勒第三定律，==6859，解得天王星绕太阳运动周期大约为T天=81.3年。设相邻两次出现天王星冲日现象的时间间隔为t1，由-=1解得t1=年。天王星相邻两次冲日的时间间隔稍小于木星相邻两次冲日的时间间隔，选项C错误；对海王星和地球，由开普勒第三定律，==27000，解得海王星绕太阳运动周期大约为T海=163.1年。设相邻两次出现海王星冲日现象的时间间隔为t2，由-=1解得t2=年。比较可知，地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，选项D错误。
【方法归纳】“行星冲日”时间间隔的计算可迁移圆周运动的追击问题解题思路列方程解答。
【归纳总结】
解答天体的相距最近和最远有两种思路：
（1）根据转过的角度列方程。两颗卫星从同一半径同时开始同向绕中心天体运动，再次相距最近时，轨道半径较小的卫星比轨道半径较大的卫星多转过2π弧度；相距最远时，轨道半径较小的卫星比轨道半径较大的卫星多转过π弧度。
（2）根据转过的圈数列方程。两颗卫星从同一半径同时开始同向绕中心天体运动，再次相距最近时，轨道半径较小的卫星比轨道半径较大的卫星多转过1圈；相距最远时，轨道半径较小的卫星比轨道半径较大的卫星多转过0.5圈。
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