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人教版九上数学AI赋能完全备课 教学课件
27.1 反比例函数的概念
第27章 反比例函数
1. 理解反比例函数的概念，判断两个变量之间的关系是否为反比例函数关系.（重点）
2. 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式.（重点）
3. 体会并理解函数是刻画变量之间关系的数学模型.（难点）
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生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定的情况下，当 R 变大时，电流 I 变小，灯光就变暗；相反，当 R 变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗
下列问题中，变量之间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.
【合作探究】
(1) 京沪高铁全程为 1 318 km，某次列车的平均速度 v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化；
探究点1：反比例函数的概念
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长 y (单位：m) 随另一边长 x (单位：m) 的变化而变化；
(3) 李明计划在一段时间内使用完 5 GB 手机流量，平均每天使用的流量 Q (单位：GB) 随使用完流量的总时间 t (单位：天) 的变化而变化.
探究点1：反比例函数的概念
观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？
问题：
都具有 的形式，其中 是非零常数.
分式
分子
一般地，形如 (k 为常数，k ≠ 0) 的函数，叫作反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
探究点1：反比例函数的概念
反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？
思考：
因为 x 作为分母，不能等于零，所以自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.
例如，在前面得到的第一个解析式
中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的
值时，v 都有唯一确定的值与其相对应.
探究点1：反比例函数的概念
反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？
想一想：
反比例函数的三种表达方式(注意 k ≠ 0)：
探究点1：反比例函数的概念
1. 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
是，k = 3
不是
不是
不是
是，
【练一练】
y = 3x - 1
y = 3x-1
探究点1：反比例函数的概念
例1 已知函数 是反比例函数，求 m 的值.
所以
m2 + 2m - 4 = －1，
m - 1≠0.
解得 m = -3.
解：因为 是反比例函数，
方法总结：已知某个函数为反比例函数，则自变量的次数为－1，且系数不等于0.
探究点1：反比例函数的概念
2. 已知函数 是反比例函数，
则 k 必须满足 .
1. 当 m = 时， 是反比例函数.
k≠2 且 k≠－1
±1
指数为 -1
系数不为0
【练一练】
探究点1：反比例函数的概念
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时，y = 6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 . 把 x = 2 和 y = 6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 这就是待定系数法.
解：设 . 因为当 x = 2 时，y = 6，所以
解得 k =12.
因此
探究点2：确定反比例函数的解析式
(2) 当 x = 4 时，求 y 的值.
解：把 x = 4 代入 ，得
归纳：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
①设出含有待定系数的反比例函数解析式；
②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；
③解方程，求出待定系数；
④写出反比例函数解析式.
探究点2：确定反比例函数的解析式
2. 已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y = 4 ，
所以 ，解得 k = 16，因此 .
(2) 当 x = 7 时，
探究点2：确定反比例函数的解析式
例3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为 100 km/h 时，视野的度数.
探究点3：建立简单的反比例函数模型
当 v = 100 时，f = 40.
所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度.
解：设 . 由题意知，当 v = 50 时，f = 80，
解得 k = 4000.
因此
所以
探究点3：建立简单的反比例函数模型
例4 如图，已知菱形 ABCD 的面积为 180 平方厘米，设它的两条对角线 AC，BD 的长分别为 x cm，y cm. 写出变量 y 与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.
A
B
C
D
解：因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，
所以 S菱形 ABCD
所以变量 y 与 x 之间的关系式为
，它是反比例函数.
探究点3：建立简单的反比例函数模型
根据实际问题建立反比例函数模型
用待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数：定义/三种表达方式
反比例函数
1. [高频易错]反比例函数 y＝－ 中比例系数 k 为(　 )
A. －3 B. 2
C. － D. －
D
2. [教材变式] 下列函数：① y＝；② 3xy＝1；
③ y＝；④ y＝. 其中 y 是 x 的反比例函数的
有 (填序号).
3. 若 y＝ 是反比例函数，则 m 满足的条件
是 .
①②③　
m≠　
4. [教材变式]已知甲、乙两地相距 200 km，汽
车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间 t (单
位：h) 关于行驶速度 v (单位：km/h)的函数解析式
是 .
t＝(v＞0)　
(1)写出 y 关于 x 的函数解析式；：(2)当y＝2时，－＝2，解得x＝－6.
解：(1)∵变量 y 与 x 成反比例，
∴设 y＝ (k≠0).∵当 x＝2 时，y＝－6，
∴k＝2×(－6)＝－12.
∴ y 关于 x 的函数解析式是 y＝－.
解：(2)当 y＝2 时，－＝2，解得 x＝－6.
5. [教材变式]已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x＝2 时，y＝－6.
(2)当 y＝2 时，求 x 的值.
6. 已知 y = y1+y2，y1与 (x－1) 成正比例，y2 与 (x + 1) 成反比例，当 x=0 时，y =－3；当 x =1 时，y = －1，求：
(1) y 关于 x 的函数关系式；
解：依题意设 y1 = k1(x－1) (k1≠0)， (k2≠0)，
则 .
∵ x = 0 时，y =－3；x =1 时，y = －1，
－3=－k1+k2 ，
，
解得 k1=1，k2=－2.
∴
∴
(2) 当 x = 时，求 y 的值.
解：把 x = 代入 (1) 中函数关系式，得 y =
Thanks!
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