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人教版九上数学AI赋能完全备课 教学课件
27.2 反比例函数的图象和性质
第27章 反比例函数
第1课时 反比例函数的图象和性质(1)
1. 进一步熟悉作函数图象的主要步骤，掌握反比例函数图象的作法.(重点)
2. 掌握反比例函数的图象与性质，理解反比例函数图象的增减性. (难点)
3. 通过归纳与概括探究反比例函数性质的过程，培养和发展的交流、合作和探究能力，提高的观察、识图能力.
回顾一次函数、二次函数的图象和性质的研究过程：
如何研究反比例函数的图象和性质？
先画出函数的图象
函数的性质
利用图象，
结合函数的解析式
描点法
列
表
描
点
连
线
函数 正比例函数
表达式
图象形状
k>0
k<0
位置
增减性
位置
增减性
y = kx(k是常数，k≠0）
直线（经过原点）
一、三象限
从左到右上升
y 随 x 的增大而增大
二、四象限
从左到右下降
y随 x 的增大而减小
反比例函数
？
探究点：反比例函数的图象和性质
探究
对于反比例函数 与 ，结合它们的解析式，分析自变量的取值范围，以及 y 随 x 的变化而变化的规律，你能想象一下它们图象的位置和形状吗？你能画出它们图象的示意图吗？
用描点法画出反比例函数 与 的图象，看看它们是否与你画出的示意图大致相同.
探究点：反比例函数的图象和性质
提示：画函数的图象步骤一般是：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
解：列表如右：
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
… -1 3 1 …
… -2 -3 6 2 …
-1
3
1
例1 画出反比例函数 与 的图象.
-3
-6
描点：以表中各组对应值作为坐标，在平面直角坐标系中描绘出相应的点．
连线：用平滑的曲线顺次连接描出的点，就得到函数 　与 的图象.
探究点：反比例函数的图象和性质
观察这两个函数图象，回答问题：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内随着 x 的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
分别位于第一、三象限
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
探究点：反比例函数的图象和性质
(3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？
O
x
y
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
归纳：
探究点：反比例函数的图象和性质
1. 反比例函数 的图象大致是 ( )
C
A.
x
y
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
y
B.
x
o
图象在第一、第三象限
【练一练】
探究点：反比例函数的图象和性质
例2 反比例函数 的图象上有两点 A (x1，y1)，B (x2，y2)，且 A，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x1＞x2，则 y1 与 y2 的大小关系为 ( )
A. y1 > y2
B. y1 = y2
C. y1 < y2
D. 无法确定
C
提示：因为 8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分上，根据 x1＞x2，可知 y1，y2 的大小关系.
探究点：反比例函数的图象和性质
当 k =－2，－4，－6 时，反比例函数 的图象有哪些共同特征？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
【观察与思考】
探究点：反比例函数的图象和性质
回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0) 的图象和性质吗？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
探究点：反比例函数的图象和性质
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
归纳：
探究点：反比例函数的图象和性质
(2) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
反比例函数 的图特征和性质如下：
【归纳总结】
探究点：反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线.
k 的正负决定了反比例函数的图象所在的象限和增减性
2.点(2，y1)和(3，y2)在函数 的图象上，则 y1 y2 (填“>”“<”或“=”).
<
-2＜0，在每个象限，y 随 x 的增大而增大
【练一练】
探究点：反比例函数的图象和性质
例 3 已知反比例函数 ，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大，求 a 的值.
解：由题意得 a2 + a－7=－1，且 a－1 < 0．
解得 a=－3.
探究点：反比例函数的图象和性质
3. 已知反比例函数 在每一个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
解：由题意得 | m |－4 = －1，且 3m－8＞0．
解得 m = 3.
【练一练】
探究点：反比例函数的图象和性质
反比例函数 (k≠0) k k > 0 k < 0
图象
性质
图象位于第一、第三象限
图象位于第二、第四象限
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每一个象限内，y 随x 的增大而增大
1. 若某反比例函数 y＝ 的图象经过点(－2，3)，则该函数图象位于(　B　)
A. 第一、第二象限
B. 第二、第四象限
C. 第一、第三象限
D. 第三、第四象限
B
2.[一题多法(性质法/图象法/代入法)] 已知点 P(1，m)，Q(2，n)是反比例函数 y＝ 图象上的两点，则(　D　)
A. m＜n＜0 B. n＜m＜0
C. 0＜m＜n D. 0＜n＜m
D
草图通关
点P，Q所在象限：第 象限
一　
3. 已知反比例函数 y＝ (k＞0，x＞0) 的图象如
图所示，当 1≤x≤2 时，y 的取值范围
是 .
2≤y≤4　
4. 已知反比例函数y＝，图中已经画出了
此函数图象的其中一支.根据图中所给信息解答
下列问题.
(1)[作图通关]请把这个反比例函数图象的另一支补
充完整；
解：(1)如图所示.
4.已知反比例函数y＝，图中已经画出了
此函数图象的其中一支.根据图中所给信息解答
下列问题.
(2)[开放题]写出这个反比例函数具有的一条性质.
解：(2)该反比例函数的图象关于直线y＝x对称
(答案不唯一，合理即可).
解：(2)该反比例函数的图象
关于直线 y＝x 对称
(答案不唯一，合理即可).
5. 已知反比例函数 y = mxm －5，它的两个分支分别在
第一、第三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm －5 的两个分支分别在第
一、第三象限，
所以有
m2－5=－1，
m＞0，
解得 m=2.
【能力提升】
6.已知点 (a－1，y1)，(a＋1，y2)在反比例函数 (k＞0) 的图象上，若 y1＜y2，求 a 的取值范围.
解：由 k＞0 知在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
① 当这两点在图象的同一支上时，
∵y1＜y2，∴a－1＞a+1，无解；
②当这两点分别位于图象的两支上时，
∵y1＜y2，∴ y1＜0＜y2.
∴a－1＜0，a+1＞0， 解得－1＜a＜1.
故 a 的取值范围为－1＜a＜1．
Thanks!
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