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人教版九上数学AI赋能完全备课 教学课件
27.3 实际问题与反比例函数
第27章 反比例函数
第1课时 实际问题中的反比例函数(1)
1．经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题；(重点)
2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．(难点)
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拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛. 假设面条粗细(横截面积)均匀，如果他要把体积为 15 cm3 的面团做成拉面，那么你能写出面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 S (单位：cm2) 的函数关系式吗？
你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？
例1 港口的起重机每小时可往一艘轮船上装载 700 t 货物，一艘轮船的货物装载完毕恰好用了 9 h.
(1) 此轮船到达另一港口后开始卸货，起重机平均卸载速度 v (单位：t/h) 与卸载完所有货物的总时间 t (单位：h) 之间有怎样的函数关系？
分析：根据“平均装载速度×装载总时间＝货物总量”，可以求出轮船装载货物的总量.
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
解：(1) 轮船上的货物总量为 700×9 = 6300 ( t )，所以 v 关于 t 的函数解析式为
分析：根据“平均装载速度＝货物总量÷装载总时间”，得到 v 关于 t 的函数解析式.
(2) 由于遇到紧急情况，要求轮船上的货物不超过 6 h 卸载完毕，那么起重机平均每小时至少要卸载多少货物？
(2) 把 t＝6 代入 ，得
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
从结果可以看出，如果全部货物恰好用 6 h 卸载完，那么平均每小时卸载 1 050 t. 对于函数 .
当 t > 0 时，t 越小，v 越大. 因此，若货物不超过
6小时卸载完，则平均每小时至少要卸载 1050 t 货物.
想一想：第 (2) 问和第 (3) 问与过去所学的解分式方
程和求代数式的值的问题有何联系？
第 (2) 问实际上是已知函数 v 的值，求自变量
t 的取值，第 (3) 问则是与第 (2) 问相反．
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
1. 某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 立方米的生活垃圾运走．
(1) 假如每天能运 x 立方米，所需时间为 y 天，写出 y
与 x 之间的函数关系式；
解：
【练一练】
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
(2) 若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的
拖拉机要用多少天才能运完？
解：x =12×5 = 60，代入函数解析式得
答：若每辆拖拉机一天能运 12 立方米，则 5 辆这样的拖拉机要用 20 天才能运完.
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
(3) 在 (2) 的情况下，运了 8 天后，剩下的任务要在不
超过 6 天的时间内完成，那么至少需要增加多少辆
这样的拖拉机才能按时完成任务？
解：运了 8 天后剩余的垃圾有
1200－8×60 = 720 (立方米).
剩下的任务要在不超过6天的时间完成，则每天
至少运 720÷6 = 120 (立方米)，
所以需要的拖拉机数量是 120÷12 = 10 (辆)，
即至少需要增加拖拉机 10－5 = 5 (辆).
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
2. 一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以 80千米/时 的平均速度用 6 小时达到乙地.
(1) 甲、乙两地相距多少千米？
解：80×6 = 480 (千米).
答：甲、乙两地相距 480 千米.
(2) 当他按原路匀速返回时，汽车的速度 v 与时间 t
有怎样的函数关系？
解：由题意得 vt = 480，
整理得 (t ＞0).
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
【归纳总结】
反比例函数的实际应用一般步骤：
(1) 确定函数关系，设出 ；
(2) 根据题目中的已知条件列出方程，求出 ；
(3) 写出函数解析式，并注意自变量的 ；
(4) 利用反比例函数的图象和性质解决实际问题.
函数解析式
k 值　
取值范围
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
古希腊科学家阿基米德(公元前287—前212 ) 发现：若杠杆上两物体到支点的距离与其所受重力成反比，则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 杠杆原理为：
阻力×阻力臂 = 动力×动力臂.
阻力
动力
阻力臂
动力臂
支点
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
例2 某工人欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
(1) 动力 F (单位：N) 与动力臂 l (单位：m)有怎样的函数关系 当动力臂为 1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力
对于函数 ，当 l =1.5 m 时，F = 400 N，此
时杠杆平衡. 因此，撬动石头至少需要 400 N 的力.
解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5，
所以 F 关于 l 的函数解析式为
当 l =1.5 m 时，
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动
力臂 l 至少要加长多少
(2) 对于函数 ，当 l＞0，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F = 200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量.
将 F = 400× = 200 代入 ，得
由 200 = ，得
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂的长度就应该不小于 3 m，则动力臂至少要加长
3－1.5 =1.5 (m).
想一想：用反比例函数的知识解释：在使用撬棍时，为什么动力臂越长就越省力
根据杠杆平衡条件 F1×L1 = F2×L2，撬同一物体时，阻力与阻力臂的乘积 F2×L2 为定值 k，即 ，动力 F1 与动力臂 L1 成反比例关系. 当动力臂 L1 越长，动力 F1 越小，因此越省力.
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
3. 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力 F 一定时，随着木板面积 S (m2) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 也随之变化变化. 如果人和木板对湿地地面的压力 F 合计为 600 N，那么：
(1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？
解：由 ，得
p 是 S 的反比例函数．
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
(2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
解：当 S ＝ 0.2 m2 时，
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
故当木板面积为 0.2 m2 时，压强是 3000 Pa．
(3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？
解：当 p = 6000 时，由 得
对于函数 ，当 S ＞0 时，S 越大，p 越小.
因此，若要求压强不超过 6000 Pa，则木板面积至少要 0.1 m2.
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
4. 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为
110 Ω ～ 220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系
U
~
解：根据电学知识，
当 U = 220 时，得
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
(2) 这个用电器功率的范围是多少
解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.
把电阻的最小值 R = 110 代入解析式，
得到功率的最大值
把电阻的最大值 R = 220 代入解析式，
得到功率的最小值
因此用电器功率的范围为 220 W ~ 440 W.
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
其他学科中的反比例函数:
① 电压 U 一定时，电流强度 I 与电阻 R 成反比例函数关系，解析式为 ；
② 压力F一定时，压强 p 与受力面积 S 成反比
例函数关系，解析式为 ；
③ 气体质量 m 一定时，密度 ρ 与体积 V 成反比
例函数关系，解析式为 .
I＝　
ρ＝　
p＝　
探究点：反比例函数在实际生活中的应用
实际问题中的反比例函数
实际问题与反比例函数
反比例函数与其他学科知识的综合
1.当电压为220V时(电压＝电流×电阻)，通过
电路的电流I(A)关于电路中电阻R(Ω)的函数解析式
为(　A　)
A. I＝ B. I＝220R
C. I＝ D. R＝220I
A
2. 若购买 x kg 的水果需要 24 元，则购买该水果
的单价 y (单位：元/kg) 与 x 之间的关系式是(　A　)
A. y＝ (x＞0)
B. y＝ (x为自然数)
C. y＝ (x为整数)
D. y＝ (x为正整数)
A
3. 收音机刻度盘的波长 λ 和频率 f 分别是用米和
千赫兹为单位标刻的，波长 λ 和频率 f 满足函数解析
式 f＝，这说明波长 λ 越大，频率 f 就越 .
4. 在一定范围内，某种物品的需求量与供应量成反比例.现已知当需求量为 800 t 时，市场供应量为
10000 t，则当市场供应量为 16000 t 时的需求量
是 .
小　
500t　
5. [教材变式]某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把 1200 m3的生活垃圾运走.
(1)假如每天能运 x m3，所需时间为 y 天，写出 y 关于x 的函数解析式；
解：(1)∵xy＝1200，∴y＝(x＞0).
(2)若每辆拖拉机一天能运 12 m3，则 5 辆这样的拖拉
机要多少天才能运完？天才能运完.
解：(1)∵xy＝1200，∴y＝(x＞0).
(2)x＝12×5＝60，代入函数解析式得 y＝＝20.
答：5 辆这样的拖拉机要 20 天才能运完.
Thanks!
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