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人教版九上数学AI赋能完全备课 教学课件
27.3 实际问题与反比例函数
第27章 反比例函数
第3课时 应用探究：
建立反比例函数模型解决实际问题
1. 理解实际问题中“近似函数模型”的意义，掌握用反比例函数拟合实际数据的方法，能归纳建立函数模型解决实际问题的步骤. (重点)
2. 通过分析实验数据，经历“观察数据→画散点图→选函数模型→求解析式→应用”的过程，提升数据建模能力.(难点)
3. 体会数学模型在实际问题中的“近似性”，感受数学与物理等学科的联系，培养严谨的数据分析思维.
探究点：建立反比例函数模型模型解决实际问题
【合作探究】某物理实验小组研案气体的压强 p (单位：kPa)与体积 V(单位：mL)的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了 6 组数据.
序号 1 2 3 4 5 6
体积V/mL 20 18 16 14 12 10
压强p/kPa 100 112 123 145 163 201
气体的压强力 p 与体积 V 是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为 132 kPa时，气体的体积为多少(结果保留小数点后两位).
序号 1 2 3 4 5 6
体积V/mL 20 18 16 14 12 10
压强p/kPa 100 112 123 145 163 201
思考1：随着体积 V 的变化，压强 p 有什么变化规律？
反向变化不等于反比例函数，需进一步验证
思考2：这种“反向变化”，就一定是反比例函数关系吗？我们之前学过的一次函数 y = -x + 5，也是 x 增大、 y 减小，它是反比例函数吗？
V 减小，p 增大；V 增大，p ，减小呈反向变化
探究点：建立反比例函数模型模型解决实际问题
(1)为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图.
10
12
14
16
18
20
V/mL
100
140
160
180
200
p/kPa
120
思考3：观察这个散点图，这些点的分布趋势，和我们学过的哪种函数的图象相似？
像反比例函数的一支，即双曲线的第一象限分支
追问：由此，我们可以做出什么猜想？
探究点：建立反比例函数模型模型解决实际问题
k
(2) 建立模型. 设函数解析式为 p = (V＞0)，
根据表中的数据，分别求出 k 的值，列出表.
思考4：如果只用一组数据来计算 k，能准确描述所有实验数据吗？
序号 1 2 3 4 5 6
体积 V/mL 20 18 16 14 12 10
压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201
2000
2016
1968
2030
1956
2010
探究点：建立反比例函数模型模型解决实际问题
序号 1 2 3 4 5 6
体积V/mL 20 18 16 14 12 10
压强p/kPa 100 112 123 145 163 201
k 2000 2016 1968 2030 1956 2010
计算所有 k 值的来均值，得
k＝ (2000+2016+1968+2030+1956+2010)≈1997.
我们把这个平均值1997作为的值，就得到一个函数模型
p =
探究点：建立反比例函数模型模型解决实际问题
【归纳总结】
建立函数模型的一般步骤：
收集数据：获取实际问题中的变量对应数据；
分析数据：画散点图，观察数据的变化规律；
选择模型：根据散点图特征，选择合适的函数模型；
确定解析式：用数据求函数参数(如求 k 的平均值)，得到近似/精确解析式；
验证与应用：用模型解释或解决实际问题.
探究点：建立反比例函数模型模型解决实际问题
建立反比例函数模型解决实际问题
收集数据
→画散点图、分析规律
→选函数模型
→求参数，确定解析式
→验证＋应用
【思维激活】
在一次综合实践活动中，数学兴趣小组提出一个问
题：如果一个矩形的面积为定值，周长是否存在最
大值或最小值？
【思维引导】
由矩形面积为定值的条件联想到学过的反比例函数
相关内容，为此先在平面直角坐标系中画出反比例
函数的图象(如图①).
如图①，在该反比例函数图象上任取一点A，作出
矩形ABOC. 为探究它的周长的最大值或最小值情
况，点A取不同位置时，分别测量AB和AC的长，得
到部分数据如下：
AB … 1.00 1.50 2.00 3.
00 3.
50 4.
00 5.
00 6.
00 …
AB＋
AC … 7.00 5.50 5.00 5.
00 5.
21 5.
50 6.
20 7.
00 …
【思维呈现】
(1)矩形ABOC的面积为 ；
(2)根据上面表格中的数据，以AB的长为横坐标，
AB＋AC的和为纵坐标，在图②的平面直角坐标系
中描出表中各组数值所对应的点(AB，AB＋AC)，
并用平滑的曲线连接；
6　
解：如图②所示.
(3)根据以上信息，判断AB＋AC存在最 值(填
“大”或“小”)，此时矩形ABOC的周长C1约
为 (结果保留小数点后一位)；
【思维拓展】
(4)若一个面积为6的圆的周长记为C2，则
C1 C2(填“＞”“＜”或“＝”).
小　
9.8　
＞　
Thanks!
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