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高中物理模型盘点（八）等效场 磁偏转模型
物理模型盘点——等效场模型
［模型概述］
复合场是高中物理中的热点问题，常见的有重力场与电场、重力场与磁场、重力场与电磁场等等，对复合场问题的处理过程其实就是一种物理思维方法
［模型要点］
物体仅在重力场中运动是最简单，也是学生最为熟悉的运动类型，但是物体在复合场中的运动又是我们在综合性试题中经常遇到的问题，如果我们能化“复合场”为“重力场”，不仅能起到“柳暗花明”的效果，同时也是一种思想的体现。如何实现这一思想方法呢？
如物体在恒力场中，我们可以先求出合力F，在根据求出等效场的加速度。将物体的运动转化为落体、抛体或圆周运动等，然后根据物体的运动情景采用对应的规律
如图所示，一条长为L的细线上端固定，下端拴一个质量为m的带电小球，将它置于一方向水平向右，场强为正的匀强电场中，已知当细线离开竖直位置偏角α时，小球处于平衡状态。
（1）若使细线的偏角由α增大到，然后将小球由静止释放。则应为多大，才能使细线到达竖直位置时小球的速度刚好为零？
（2）若α角很小，那么（1）问中带电小球由静止释放在到达竖直位置需多少时间？
方法：带电小球在空间同时受到重力和电场力的作用，这两个力都是恒力，将两个力合成，并称合力为“等效重力”。“等效重力”的大小为： =，等效重力加速度为:，方向与竖直方向成α角，如图所示。
这样一个“等效重力场”可代替原来的重力场和静电场，类比重力场中的规律即可
思考：若将小球向左上方提起，使摆线呈水平状态，然后由静止释放，则小球下摆过程中在哪一点的速率最大？最大速率为多大？它摆向右侧时最大偏角为多大？
点评：由于引入了“等效重力场”的概念，就把重力场和电场两个场相复合的问题简化为只有一个场的问题。从而将重力场中的相关规律有效地迁移过来。值得指出的是，由于重力场和电场都是匀强场，即电荷在空间各处受到的重力及电场力都是恒力，所以，上述等效是允许且具有意义的，如果电场不是匀强电场或换成匀强磁场，则不能进行如上的等效变换，带电粒子在电场中的运动问题，实质是力学问题，其解题的一般步骤仍然为：确定研究对象；进行受力分析（注意重力是否能忽略）；根据粒子的运动情况，运用力与运动关系、功能关系、能量守恒关系列出方程式求解。
［误区点拨］
在应用公式时要注意g与的区别；对于竖直面内的圆周运动模型，则要从受力情形出发，分清“地理最高点”和“物理最高点”，弄清有几个场力；竖直面内若作匀速圆周运动，则必须根据作匀速圆周运动的条件，找出隐含条件；同时还要注意线轨类问题的约束条件
如图所示，质量为m、带电荷量为的微粒在O点以初速度与水平方向成角射出，微粒在运动中所受阻力的大小恒为f。
(1)如果在某一方向上加一定大小的匀强电场后，能保证微粒将沿方向做直线运动，试求所加匀强电场的最小值；
(2)若加上大小一定，方向水平向左的匀强电场，仍能保证微粒沿方向做直线运动，并经过一段时间后又返回O点，求微粒回到O点时的速率。
【答案】(1)；(2)
【详解】(1)对微粒进行受力分析如图一所示：
要保证微粒仍沿v0方向作直线运动，必须使微粒在垂直v0的y方向所受合力为零，则所加电场方向沿垂直于v0方向时，电场强度E最小，且有
所以
(2)当加上水平向左的匀强电场后，微粒受力分析如图二所示，仍保证微粒沿v0方向作直线运动，
则有
设微粒沿v0方向的最大位移为s，由动能定理得
粒子从点射出到回到点的过程中，由动能定理得
以上三式联立解得
【即学即练】如图所示，在的竖直匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道与一水平绝缘轨道在N点平滑相接，半圆形轨道平面与电场线平行，其半径，N为半圆形轨通最低点，P为圆弧的中点，一带负电的小滑块质量，与水平轨道间的动摩擦因数，位于N点右侧1.5m的M处，g取，求：
（1）小滑块从M点到Q点重力和电场力分别做的功；
（2）要使小滑块恰能运动到半圆形轨道的最高点Q，则小滑块应以多大的初速度向左运动？
（3）在第（2）问的情况下，小滑块通过P点时对轨道的压力是多大？
【答案】(1) ， (2) (3) 0.6N，方向水平向左
【详解】(1)小滑块从M点到Q点重力做的功：
代入数据解得：
电场力做的功：
代入数据解得：
(2)设滑块恰好到达Q点时速度为v，则由在Q点合力提供向心力知：
滑块从M开始运动到达Q点过程中，由动能定理得：
代入数据联立解得：；
(3)设滑块到达P点时速度为，则从开始运动至到达P点过程中，由动能定理得：
又因为在P点时，轨道对小滑块的支持力提供向心力得：
代入数据联立解得：，方向水平向右；
由牛顿第三定律知小滑块通过P点时对轨道的压力是0.6N，方向水平向左。
答：（1）小滑块从M点到Q点重力和电场力分别做的功，；
（2）要使小滑块恰能运动到半圆形轨道的最高点Q，则小滑块应以向左运动.
（3）小滑块通过P点时对轨道的压力是，方向水平向右.
物理模型盘点——磁偏转模型
［模型概述］
带电粒子在垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动。但从近年的高考来看，带电粒子垂直进入有界磁场中发生偏转更多，其中运动的空间还可以是组合形式的，如匀强磁场与真空组合、匀强磁场、匀强电场组合等，这样就引发出临界问题、数学等诸多综合性问题。
从圆的完整性来看：完整的圆周运动和一段圆弧运动，即不完整的圆周运动。无论何种问题，其重点均在圆心、半径的确定上，而绝大多数的问题不是一个循环就能够得出结果的，需要有一个从定性到定量的过程。
三步解题法：
①画轨迹：已知轨迹上的两点位置及其中一点的速度方向；已知轨迹上的一点位置及其速度方向和另外一条速度方向线。
②定圆心:
(1)已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲所示，图中P为入射点，M为出射点)．
(2)已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)．
③找联系：速度与轨道半径相联系：往往构成一个直角三角形，可用几何知识（勾股定理或用三角函数）已知角度与圆心角相联系：常用的结论是“一个角两边分别与另一个角的两个边垂直，两角相等”；圆心角与速度偏向角的关系；时间与周期相联系： (或)
带电粒子在有界磁场中运动的几种常见情形
直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
平行边界(存在临界条件，如图所示)
(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)
③利用带电粒子只受洛伦兹力时遵循的半径及周期公式联系
［误区点拨］
洛伦兹力永远与速度垂直、不做功；重力、电场力做功与路径无关，只由初末位置决定，当重力、电场力做功不为零时，粒子动能变化。因而洛伦兹力也随速率的变化而变化，洛伦兹力的变化导致了所受合外力变化，从而引起加速度变化，使粒子做变加速运动。
“电偏转”和“磁偏转”的比较
垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转)
情景图
受力 FB＝qv0B大小不变，方向总指向圆心，方向变化，FB为变力 FE＝qE，FE大小、方向不变，为恒力
运动 规律 匀速圆周运动 r＝，T＝ 类平抛运动 vx＝v0，vy＝t x＝v0t，y＝t2
在如图所示宽度范围内，用场强为E的匀强电场可使初速度是v0的某种正粒子偏转θ角．在同样宽度范围内，若改用方向垂直于纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，使该粒子穿过该区域，并使偏转角也为θ(不计粒子的重力)，问：
(1)匀强磁场的磁感应强度是多大？
(2)粒子穿过电场和磁场的时间之比是多大？
如图，空间存在方向垂直于纸面（xOy平面）向里的磁场。在x≥0区域，磁感应强度的大小为B0；x<0区域，磁感应强度的大小为λB0（常数λ>1）。一质量为m、电荷量为q（q>0）的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子的速度方向再次沿x轴正向时，求（不计重力）
（1）粒子运动的时间；
（2）粒子与O点间的距离。
【答案】（1） （2）
【解析】（1）在匀强磁场中，带电粒子做圆周运动。设在x≥0区域，圆周半径为R1；在x<0区域，圆周半径为R2。由洛伦兹力公式及牛顿定律得
①
②
粒子速度方向转过180°时，所用时间t1为③
粒子再转过180°时，所用时间t2为④
联立①②③④式得，所求时间为⑤
（2）由几何关系及①②式得，所求距离为⑥
【考点定位】带电粒子在磁场中的运动
【名师点睛】对于带电粒子在磁场中运动问题，解题时常要分析带电粒子受到的洛伦兹力的情况，找到粒子做圆周运动的圆心及半径，画出运动轨迹可以使运动过程清晰明了，同时要善于运用几何知识帮助分析和求解。
平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在垂直于平面向里的匀强磁场，第Ⅲ现象存在沿y轴负方向的匀强电场，如图所示。一带负电的粒子从电场中的Q点以速度v0沿x轴正方向开始运动，Q点到y轴的距离为到x轴距离的2倍。粒子从坐标原点O离开电场进入磁场，最终从x轴上的P点射出磁场，P点到y轴距离与Q点到y轴距离相等。不计粒子重力，问：
（1）粒子到达O点时速度的大小和方向；
（2）电场强度和磁感应强度的大小之比。
【答案】（1），方向与x轴方向的夹角为45°角斜向上 （2）
【解析】（1）粒子在电场中由Q到O做类平抛运动，设O点速度v与+x方向夹角为α，Q点到x轴的距离为L，到y轴的距离为2L，粒子的加速度为a，运动时间为t，根据类平抛运动的规律，有：
x方向：
y方向：
粒子到达O点时沿y轴方向的分速度为：
又：
解得：，即，粒子到达O点时速度方向与x轴方向的夹角为45°角斜向上。
粒子到达O点时的速度大小为
粒子源问题
(一)动态放缩法
适用条件 速度方向一定、大小不同 粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径与粒子速度大小有关
轨迹圆圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
带电粒子在矩形有界匀强磁场中运动的临界问题
带电粒子在矩形有界匀强磁场中运动的特点：
(1)若粒子射入的初速度方向和矩形磁场某边界垂直，如图甲所示。
①当粒子速度较小时，粒子将在磁场中做半个圆周运动后从原边界射出磁场区域；
②当粒子速度在某一范围内时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从侧面边界飞出磁场；
③当粒子速度较大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从对面边界飞出磁场。
(2)若粒子射入的初速度方向和矩形磁场某边界成一夹角，如图乙所示。
①当粒子速度较小时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从原边界飞出磁场；
②当粒子速度在某一范围内时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从上侧面边界飞出磁场；
③当粒子速度较大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从右侧面边界飞出磁场；
④当粒子速度更大时，粒子将在磁场中做部分圆周运动后从下侧面边界飞出磁场。
综合以上分析可知，求解带电粒子在矩形有界匀强磁场区域运动的时间范围、速度范围等的问题时，寻找“相切或相交”的临界点是解决问题的关键；另外可知在磁场边界上还有粒子不能达到的区域即“盲区”。
(二)定圆旋转法
适用条件 速度大小一定，方向不同 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度大小为v0，则圆周运动半径为r＝，如图所示
轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径r＝的圆上
界定 方法 将半径为r＝的轨迹圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
(1)解决带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，关键在于运用动态思维，寻找临界点，确定临界状态，根据粒子的速度方向，找出半径方向，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹，定好圆心，建立几何关系。粒子射出或不射出磁场的临界状态是粒子运动轨迹与磁场边界相切。
(2)要重视分析时的尺规作图，规范而准确的作图可突出几何关系，使抽象的物理问题更形象、直观。
(三)平移圆法
适用条件 速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的带电粒子，它们进入匀强磁场时，做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r＝，如图所示
轨迹圆圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线
界定方法 将半径为r＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
题型一： 动态放缩圆
如图所示，正方形区域abcd内(含边界)有垂直纸面向里的匀强磁场，ab＝l，Oa＝0.4l，大量带正电的粒子从O点沿与ab边成37°的方向以不同的初速度v0射入磁场，不计粒子重力和粒子间的相互作用，已知带电粒子的质量为m，电荷量为q，磁场的磁感应强度大小为B，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
(1)求带电粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若带电粒子从ad边离开磁场，求v0的取值范围。
[解析]　(1)粒子从ab边离开磁场时，在磁场中运动的时间最长，如图1所示，有qBv0＝
又T＝
解得T＝
又由几何关系得θ＝74°，则粒子在磁场中运动的最长时间t＝T＝。
(2)当粒子轨迹与ad边相切时，如图2所示，设此时初速度为v01，轨道半径为R1，由几何关系可得
R1＋R1sin37°＝0.4l
又qBv01＝
解得v01＝；
当粒子运动轨迹与cd边相切时，如图3所示，设此时初速度为v02，轨道半径为R2，由几何关系可得R2＋R2cos37°＝l
又qBv02＝
解得v02＝
综上可得[答案]　(1)　(2)题型二：旋转圆
(多选)如图所示，在荧屏MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直纸面向里。距离荧屏d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射速度为v、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，不计粒子的重力，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则(　　)
A．粒子能打到荧屏MN上的区域长度为2d
B．能打到荧屏MN上最左侧的粒子所用的时间为
C．粒子从发射到打到荧屏MN上的最长时间为
D．同一时刻发射的粒子打到荧屏MN上的最大时间差为
[解析]　打在荧屏MN上的粒子轨迹的临界状态如图1所示，根据几何关系知，带电粒子能打到荧屏MN上的区域长度为：l＝AB＝R＋R＝(1＋)R＝(1＋)d，故A错误；由运动轨迹图可知，能打到荧屏MN上最左侧的粒子偏转了半个周期，故所用时间为：t＝T，又T＝，解得：t＝，故B正确；在磁场中运动时间最长(优弧1)和最短(劣弧2)的粒子的运动轨迹如图2所示，粒子做完整圆周运动的周期T＝，由几何关系可知，最长时间：t1＝T＝，最短时间：t2＝T＝，根据题意得同一时刻发射的粒子打到荧屏MN上的最大时间差：Δt＝t1－t2＝，故C错误，D正确。
[答案]　B
题型三：平移圆
(多选)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝。现垂直AB边射入一束质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v的带正电粒子。已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t0，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为t0(不计重力)，则下列说法中正确的是(　　)
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t0
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为
C．粒子在磁场中运动的轨道半径为d
D．粒子进入磁场时速度大小为
[解析]　根据题意，粒子垂直AB边射入，垂直AC边射出时经过四分之一个周期，即T＝t0，解得T＝4t0，A正确；洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，解得R＝，粒子运动的周期T＝＝＝4t0，可解得该匀强磁场的磁感应强度大小为B＝，B正确；当粒子轨迹与BC边相切时，粒子在磁场中运动的时间最长，为t0＝T，则在磁场中转过的圆心角为120°，如图所示，根据几何关系可知Rsin＋＝d，解得R＝d，C正确；根据T＝可知，v＝＝＝，D错误。
[答案]　ABC
在磁场中运动的时间、长度极值
【模型概述】
①求最远距离：直径是最远的距离
②求时间：
最短的弧长对应最短的时间，同时是最短的弦长；
最长的弧长对应最长的时间，不一定是最长的弦长。
一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示， 为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径.一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率.不计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（ ）
A. B. C. D.
【解析】　粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决定
设轨迹交半圆于e点，ce中垂线交bc于O点，
则O点为轨迹圆心，如图所示.
圆心角θ＝π＋2β，当β最大时，θ有最大值，
由几何知识分析可知，当ce与相切时，β最大，

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