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高中物理模型盘点（十五）矢量运算、磁场的应用模型
物理模型盘点——矢量运算模型
［模型概述］
矢量及运算是高中物理的重点和难点之一，常见的矢量有位移、速度、加速度、力、电场强度、磁感应强度等，由于其运算贯穿整个中学物理，我们有必要熟练掌握矢量的运算规律。
［模型要点］
矢量的合成与分解是相互可逆的过程，它是我们进行所有矢量运算时常用的两种方法。
运算法则：遵守平行四边形定则。
物理思想：在合成与分解时贯穿了等效替代的思想。例如“运动的合成与分解”、“等效电路”、“交变电流有效值的定义”等，都要用到“等效替代”的方法。所以只要效果相同，都可以进行“替代”。
总结：。
（2）求两个以上的力的合力，也可以采用平行四边形定则，先求出任意两个力的合力，再求出这个合力跟第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的就是这些力的合力。为方便某些问题的研究，在很多问题中都采用特殊法或正交分解法。
［误区点拨］
（1）在受力分析时要明确合力与分力的关系。“有合无分，有分无合”，不要多添力或少力。
（2）合力可以大于、等于或小于分力，它的大小依赖于两分力之间的夹角的大小，这是矢量的特点。
（3）当两分力F1和F2大小一定时，合力F随着θ角的增大而减小。当两分力间的夹角θ＝0°时，合力最大，等于；当两分力间的夹角θ＝180°时，合力最小，等于。两个力的合力的取值范围是
（4）有n个力，它们合力的最大值是它们的方向相同时的合力，即，而它们的最小值要分下列两种情况讨论：
①若n个力中的最大力大于，则它们合力的最小值是
②若n个力中的最大力小于，则它们合力的最小值是0
［特别说明］
（1）矢量运算一般用平行四边形法则，可推广至三角形法则、多边形法则或正交分解法等，与坐标有关系；而标量运算遵循一般的代数法则，如质量、密度、温度、功、能量、路程、速率、体积、时间、热量、电阻等物理量，无论选取什么坐标系，标量的数值恒保持不变。
（2）矢量和标量的乘积仍为矢量；矢量和矢量的乘积，可构成新的标量，也可构成新的矢量，构成标量的乘积叫标积；构成矢量的乘积叫矢积。如功、功率等的计算是采用两个矢量的标积；洛伦兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。你能找出中学物理中的类似的一些物理量吗
（3）多边形法：将这些矢量的箭尾与箭头依次相连接，然后将第一个矢量的箭尾连到最末一个矢量的箭头的矢量，就是所要求的合矢量。其大小和方向与相加次序无关。矢量减法是矢量加法的逆运算。
（4）矢量的分解虽然是矢量合成的逆运算，但无其他限制，同一个矢量可分解为无数对大小、方向不同的分矢量。因此，把一个矢量分解为两个分矢量时，应根据具体情况分解。如已知两个不平行分矢量的方向或已知一个分矢量的大小和方向，分解是唯一的。
如图所示，三个完全相同的绝缘金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上，c球在xOy坐标系原点O上。a和c带正电，b带负电，a所带电荷量比b所带电荷量少。关于c受到a和b的静电力的合力方向，下列判断正确的是
A. 从原点指向第I象限 B. 从原点指向第II象限
C. 从原点指向第III象限 D. 从原点指向第IV象限
一根轻质弹性绳的两端分别固定在水平天花板上相距80cm的两点上，弹性绳的原长也为80 cm。将一钩码挂在弹性绳的中点，平衡时弹性绳的总长度为100 cm；再将弹性绳的两端缓慢移至天花板上的同一点，则弹性绳的总长度变为（弹性绳的伸长始终处于弹性限度内）
A．86 cm B． 92 cm C． 98 cm D． 104 cm
【答案】B
【考点定位】胡克定律、物体的平衡
【名师点睛】在处理共点力平衡问题时，关键是对物体进行受力分析，再根据正交分解法将各个力分解成两个方向上的力，然后列式求解；如果物体受到三力处于平衡状态，可根据矢量三角形法，将三个力移动到一个三角形中，然后根据正弦定理列式求解。前后两次始终处于静止状态，即合外力为零，在改变绳长的同时，绳与竖直方向的夹角跟着改变。
如图，在磁感应强度大小为B0的匀强磁场中，两长直导线P和Q垂直于纸面固定放置，两者之间的距离为l。在两导线中均通有方向垂直于纸面向里的电流I时，纸面内与两导线距离均为l的a点处的磁感应强度为零。如果让P中的电流反向、其他条件不变，则a点处磁感应强度的大小为
A．0 B． C． D．2B0
【答案】C
【考点定位】磁场叠加、安培定则
【名师点睛】本题关键为利用安培定则判断磁场的方向，在根据几何关系进行磁场的叠加和计算。
如图，在磁感应强度大小为B0的匀强磁场中，两长直导线P和Q垂直于纸面固定放置，两者之间的距离为l。在两导线中均通有方向垂直于纸面向里的电流I时，纸面内与两导线距离均为l的a点处的磁感应强度为零。如果让P中的电流反向、其他条件不变，则a点处磁感应强度的大小为
A．0 B． C． D．2B0
【答案】C
【考点定位】磁场叠加、安培定则
【名师点睛】本题关键为利用安培定则判断磁场的方向，在根据几何关系进行磁场的叠加和计算。
两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图所示，c时两负电荷连线的中点，d点在正电荷的正上方，c、d到正电荷的距离相等，则
A．a点的电场强度比b点的大.
B．a点的电势比b点的高
C．c点的电场强度比d点的大.
D．c点的电势比d点的低.
【解析】逐项判断A.根据电场线的疏密判断，a点电场强度比b大，A正确；B.根据沿电场线电势降低，a点的电势比b低，B错误；C.根据电场的叠加原理，c、d点的电场都是正电荷与两个相同的负电荷形成的电场的叠加，c点两个相同的负电荷形成的电场互相抵消、d点两个相同的负电荷形成的电场方向与正电荷形成的电场方向相反，而c、d点与正电荷距离相等，所以c点电场强度比d大，C正确；D.根据的原理，c、d点与正电荷距离相等，但正电荷到c间电场强度比到d间电场强度大，所以电势降落大，所以c点的电势比d低，D正确。
【答案】ACD
【点评】本题考查电场强度与电势，难度，中等。
物理模型盘点——质谱仪模型
【模型概述】1．质谱仪构造：主要构件有加速电场、偏转磁场和照相底片．
2．运动过程(如图)
(1)带电粒子经过电压为U的加速电场加速，qU＝mv2.
(2)垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中，做匀速圆周运动，r＝，可得r＝.
3．分析：从粒子打在底片D上的位置可以测出圆周的半径r，进而可以算出粒子的比荷．
如图所示，在间距为d的平行极板M、N上加一定的电压，从而在极板间形成一个匀强电场，同时在此区域加一个与匀强电场垂直的匀强磁场B。当带电粒子从进入这一区域后，只有具有某个速度大小的粒子才能从通过，这样的装置叫做速度选择器。带电粒子在进入速度选择器前，先在一加速电场中加速，加在形成此加速电场的两极板P、Q上的电压为。粒子所受的重力忽略不计。
（1）试问：从小孔进入速度选择器的粒子，需要具有怎样的速度才能顺利通过小孔；
（2）带电粒子的电荷量与质量的比叫做比荷，它反映了带电粒子的一个基本属性，在科学研究中具有重要的意义、试借助本题提供的物理量，计算出该带电粒子比荷的表达式。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设只有速度大小为v的带电粒子才能顺利通过速度选择器。进入速度选择器时，带电粒子受到的电场力方向与洛伦兹力方向沿同一直线且方向相反，故两力平衡时，粒子才沿做匀速直线运动，从小孔通过。因此有
其中，电场强度为
由两式解得
（2）设带电粒子的电荷量为q，质量为m，在加速电场中加速后，以速度大小v从小孔飞出进入速度选择器。由动能定理得
将
代入即得该粒子的比荷为
物理模型盘点——电磁流量计模型
［模型概述］
带电粒子在电磁场中运动时受到电场力、洛伦兹力有时还有考虑重力的作用，发生偏转或做直线运动，处理方法有很多共同的特点，同时在高考中也连年不断，实际应用有电磁流量计、速度选择器、质谱仪、磁流体发电机、霍尔效应等，所以我们特设模型为“电磁流量计”模型。
［模型特征］
“电磁流量计”模型设计到两种情况：一种是粒子处于直线运动状态；另一种是曲线运动状态。处于直线运动线索：合外力为0，粒子将做匀速直线运动或静止：当带电粒子所受的合外力与运动方向在同一条直线上时，粒子将做变速直线运动。处于曲线运动状态线索：当带电粒子所受的合外力充当向心力时，粒子将做匀速圆周运动；当带电粒子所受的合外力的大小、方向均是不断变化的，则粒子将做变加速运动，这类问题一般只能用能量关系处理。所以分析带电粒子在电场、磁场中运动，主要是三条思路：
（1）力和运动的关系。根据带电粒子所受的力，运用牛顿第二定律并结合运动学规律求解。
（2）功能关系。根据场力及其他外力对带电粒子做功引起的能量变化或全过程中的功能关系，可确定带电粒子的运动情况，这条线索不但适用于均匀场，也适用于非均匀场。因此要熟悉各种力做功的特点
(3)能量守恒关系
为了测量某化工厂的污水排放量，技术人员在充满污水的排污管末端安装了一电磁流量计，如图甲所示，流量计管道和排污管的内径分别为10cm和20cm。电磁流量计的测量原理如图乙所示，在非磁性材料做成的圆管道处加一磁感应强度大小为B的匀强磁场区域，当管道中的污水流过此磁场区域时，测出管壁上下M、N两点的电势差U，就可知道管中污水的流量。现通过流量计测得的该厂的排污流量为85m3/h，已知该流量计能够测量的流经其内部的液体的最大速度为12m/s。则（　　）
A．M点的电势一定低于N点的电势
B．该厂排污管内污水的速度约为0.75m/s
C．电势差U与磁感应强度B的比值约为1.2m2/s
D．该电磁流量计能够测量的最大流量约为340m3/h
【答案】BD
【详解】A．根据左手定则可知，正电荷进入磁场区域时会向上偏转，负电荷向下偏转，所以M点的电势一定高于N点的电势，故A错误；
B．流量计测得排污量为85m3/h，流量计半径为r=5cm=0.05m，排污管的半径R=10cm=0.1m，则
可得
故B正确；
C．当粒子在电磁流量计中受力平衡时，有
可知
故C错误；
D．当流量最大时，最大速度为，有
所以最大流量为
故D正确。
故选BD。
【即学即练】如图所示是电磁流量计的示意图。圆管由非磁性材料制成，空间有匀强磁场。当管中的导电液体流过磁场区域时，测出管壁上MN两点的电动势E，就可以知道管中液体的流量q——单位时间内流过管道横截面的液体的体积。已知管的直径为d，磁感应强度为B，则关于q的表达式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
最终正负电荷在电场力和洛伦兹力的作用下处于平衡，有qvB=q
则v=
流量q=vS=
故选B。
物理模型盘点——速度选择器
［模型概述］
速度选择器 ：路径不发生偏转的离子的条件是，即，能通过速度选择器的带电粒子必是速度为该值的粒子，与它带多少电和电性、质量均无关。
如图所示为速度选择器示意图，为其两个极板。某带电粒子电荷量为q，以速度v0从S1射入，恰能沿虚线从S2射出。不计粒子重力，下列说法正确的是（　　）
A．该粒子一定带正电
B．该粒子以速度v0从S2射入，也能沿虚线从S1射出
C．该粒子以速度2v0从S1射入，仍能沿虚线从S2射出
D．该粒子电荷量变为2q，以速度v0从S1射入，仍能沿虚线从S2射出
【答案】D
【详解】A．因上下极板的极性不确定，则不能确定粒子的电性，选项A错误；
B．该粒子以速度v0从S2射入，只有洛伦兹力方向改变，而电场力方向不变，受力不平衡，因而不沿虚线运动，故B错误；
C．该粒子以速度2v0从S1射入，洛伦兹力变大，而电场力不变，则粒子不能沿虚线从S2射出，选项C错误；
D．根据
可知
则该粒子电荷量变为2q，以速度v0从S1射入，仍能沿虚线从S2射出，选项D正确。
故选D。
物理模型盘点——磁流体发电机
［模型概述］磁流体发电机（霍尔效应）：如图所示的是磁流体发电机原理图，其原理是：等离子气体喷入磁场，正、负离子在洛伦兹力作用下发生上下偏转而聚集到两极板上，在两极板上产生电势差。设A、B平行金属板的面积为S，相距L，等离子气体的电阻率为，喷入气体速度为v，板间磁场的磁感应强度为B，板外电阻为R，当等离子气体匀速通过A、B板间时，A、B板上聚集的电荷最多，板间电势差最大，即为电源电动势。此时离子受力平衡：，电动势。
［误区点拨］
处理带电粒子在场中的运动问题应注意是否考虑带电粒子的重力。这要依据具体情况而定，质子、α粒子、离子等微观粒子，一般不考虑重力；液滴、尘埃、小球等宏观带电粒子由题设条件决定，一般把装置在空间的方位介绍的很明确的，都应考虑重力。
在题目中有明确交待的是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较简单。若是直接看不出是否要考虑重力，根据题目的隐含条件来判断。但在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果，先进行定性确定再决定是否要考虑重力。
电场力可以对电荷做功，能改变电荷的功能；洛伦兹力不能对电荷做功，不能改变电荷的动能。
关于下列四幅图的说法正确的是（　　）
A．图甲是回旋加速器的示意图，要想带电粒子获得的最大动能增大，可增加电压
B．图乙是磁流体发电机的示意图，可以判断出B极板是发电机的负极，极板是发电机的正极
C．图丙是速度选择器的示意图，带电粒子（不计重力）能够自右向左沿直线匀速通过速度选择器的条件是，即
D．图丁是质谱仪的示意图，粒子打在底片上的位置越靠近狭缝说明粒子的比荷越大
【答案】D
【详解】A．甲图中，根据
可知
粒子获得的最大动能为
所以要想粒子获得的最大动能增大，可增加D形盒的半径R和增大磁感应强度B，增加电压U不能增大最大初动能，故A错误；
B．乙图中根据左手定则，正电荷向下偏转，所以B极板带正电，为发电机的正极，A极板是发电机的负极，故B错误；
C．丙图中，电子从右向左运动通过复合场时，电场力竖直向上，根据左手定则，洛伦兹力方向也向上，所以不是速度选择器，故C错误；
D．由
可得
知R越小，说明比荷越大，故D正确。
故选D。
物理模型盘点——回旋加速器模型
【模型概述】
1．回旋加速器的构造：两个D形盒，两D形盒接交流电源，D形盒处于垂直于D形盒的匀强磁场中，如图.
2．工作原理
(1)电场的特点及作用
特点：两个D形盒之间的窄缝区域存在周期性变化的电场．
作用：带电粒子经过该区域时被加速．
(2)磁场的特点及作用
特点：D形盒处于与盒面垂直的匀强磁场中．
作用：带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，从而改变运动方向，半个圆周后再次进入电场．
技巧归纳：回旋加速器两D形盒之间有窄缝，中心附近放置粒子源(如质子、氘核或α粒子源)，D形盒间接上交流电源，在狭缝中形成一个交变电场．D形盒上有垂直盒面的匀强磁场(如图所示)．
(1)电场的特点及作用
特点：周期性变化，其周期等于粒子在磁场中做圆周运动的周期．
作用：对带电粒子加速，粒子的动能增大，qU＝ΔEk.
(2)磁场的作用
改变粒子的运动方向．
粒子在一个D形盒中运动半个周期，运动至狭缝进入电场被加速．磁场中qvB＝m，r＝∝v，因此加速后的轨迹半径要大于加速前的轨迹半径．
(3)粒子获得的最大动能
若D形盒的最大半径为R，磁感应强度为B，由r＝得粒子获得的最大速度vm＝，最大动能Ekm＝mvm2＝.
(4)两D形盒窄缝所加的交流电源的周期与粒子做圆周运动的周期相同，粒子经过窄缝处均被加速，一个周期内加速两次．
如图甲所示是用来加速带电粒子的回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，两盒分别与高频电源相连。带电粒子在磁场中运动的动能Ek随时间t的变化规律如图乙所示。忽略带电粒子在电场中的加速时间，则下列判断中正确的是（　　）
A．在Ek－t图像中应有t4－t3＜t3－t2＜t2－t1
B．加速电压越大，粒子最后获得的动能就越大
C．粒子加速次数越多，粒子最大动能一定越大
D．要想粒子获得的最大动能增大，可增加D形盒的面积
【答案】D
【详解】A．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速度大小无关，因此在Ek－t图中应有
t4－t3＝t3－t2＝t2－t1
选项A错误；
BCD．由粒子做圆周运动的半径r＝＝
可知Ek＝
即粒子获得的最大动能决定于D形盒的半径和匀强磁场的磁感应强度，与加速电压和加速次数无关，当轨道半径r与D形盒半径R相等时就不再继续加速，即要想粒子获得的最大动能增大，可增加D形盒的面积，故BC错误，D正确。
故选D。
物理模型盘点——霍尔元件问题模型
【模型概述】
1.基本知识：
(1)构造：很小的矩形半导体薄片上，制作四个电极E、F、M、N.
(2)霍尔电压：如图，E、F间通入恒定电流I，同时外加与薄片垂直的磁场B，则M、N间出现霍尔电压UH，UH＝k．
(3)作用：把磁感应强度这个磁学量转换为电压这个电学量．
2．霍尔元件的工作原理
霍尔元件就是利用霍尔效应来设计的．一个矩形霍尔材料薄片，在其前、后、左、右分别引出一个电极，如图所示，沿PQ方向通入电流I，垂直于薄片加匀强磁场B，则在
MN间会出现电势差U.设薄片厚度为d，PQ方向长度为l1，
MN方向为l2.薄片中的带电粒子即载流子受到磁场力发生偏转，使N侧与M侧产生电势差，造成材料薄片内部出现电场，载流子同时受到电场力作用．当磁场力与电场力平衡时，MN间电势差达到恒定，q＝qvB.
设一个载流子带电荷量为e，根据电流的微观解释I＝neSv.
整理后，得U＝.令k＝，因为n为材料单位体积的带电粒子个数，e为单个带电粒子的电荷量，它们均为常数，所以U＝k.U与B成正比，这就是为什么霍尔元件能把磁学量转换成电学量的原因了．
如图所示，厚度为h、宽为d的导体板放在垂直于它的磁感应强度为B的匀强磁场中，当电流通过导体板时，在导体板的上侧面A和下侧面A′之间会产生电势差，这种现象称为霍尔效应．实验表明，当磁场不太强时电势差U、电流I和B的关系为U＝k，式中的比例系数k称为霍尔系数．
霍尔效应可解释如下：外部磁场的洛伦兹力使运动的电子聚集在导体板的一侧，在导体板的另一侧出现多余的正电荷，从而形成横向电场，横向电场对电子施加与洛伦兹力方向相反的静电力，当静电力与洛伦兹力达到平衡时，导体板上下两侧之间就会形成稳定的电势差．
设电流I是电子定向运动形成的，电子的平均定向速度为v，电荷量为e，回答下列问题：
(1)达到稳定的状态时，导体板上侧面A的电势______(填“高于”、“低于”或“等于”)下侧面A′的电势．
(2)电子所受的洛伦兹力的大小为________．
(3)当导体板上下两侧之间的电势差为U时，电子所受静电力的大小为________．
(4)由静电力和洛伦兹力平衡的条件，证明霍尔系数k＝，其中n代表导体板单位体积中电子的个数．
解析　(1)首先分析电流通过导体板时的微观物理过程．由于导体板放在垂直于它的磁感应强度为B的匀强磁场中，电流是电子的定向运动形成的，电流方向从左到右，电子运动的方向从右到左，根据左手定则可判断电子受到的洛伦兹力的方向向上，电子向A板聚集，A′板出现多余的正电荷，所以A板电势低于A′板电势，应填“低于”．
(2)电子所受洛伦兹力的大小为F＝evB.
(3)横向电场可认为是匀强电场，电场强度E＝，
电子所受电场力的大小为F＝eE＝e.
(4)电子受到横向静电力与洛伦兹力的作用，
当两力平衡时有e＝evB，可得U＝hvB.
通过导体的电流的微观表达式为I＝nevdh.
由题目给出的霍尔效应公式U＝k
有：hvB＝k.
所以k＝.
答案　(1)低于　(2)evB　(3)　(4)见解析
归纳总结：不能把电子向左定向移动形成向右的电流等效成正电荷向右移动来判定A′和A的电势高低，要按实际电荷的电性、移动方向、磁场方向判定电荷偏转方向，比较电势高低．
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