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北京市丰台区2025-2026学年第二学期期末练习
高二数学
一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.下列散点图中所对应的成对样本数据呈现正相关关系的是( )
A. B.
C. D.
4.下列关于命题“若实数，则”的否定，正确的是( )
A. 若，则
B. 任意实数，满足，则
C. 存在一个实数，满足，则
D. 存在一个实数，满足，则
5.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.在的展开式中，若的系数为，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知随机变量，若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.某中学举办主题为“十八而志承大任，芳华待灼赴海赢”的高三成人礼活动，现有语言类节目个、歌唱类节目个、舞蹈类节目个，共个节目登台演出．若要求同一类型的节目不能连续表演，则不同的节目表演顺序的种数为( )
A. B. C. D.
10.已知集合，且集合，，，满足如下两个条件：
每个集合均恰有个元素；
．
称集合中元素的最大值与最小值之和为的特征数，
则的值可能为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数 ．
12.从集合中依次不放回地随机抽取两个不同的数，分别记为和已知是偶数，则的概率为 ．
13.已知，则展开式中各二项式系数的和为 ； ．
14.已知集合，若集合中恰有两个元素，则的一个取值为 ．
15.曲线在不同两点处的切线斜率分别是，规定为与之间的距离叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”给出下列四个结论：
设函数，则其图象上任意两点之间的“弯曲度”都为；
设函数，则其图象上存在两点之间的“弯曲度”为；
已知与是函数图象上两点，则当时，不存在最大值；
已知与是函数图象上两点，则随着的增大而增大，且，，使得．
其中所有正确结论的序号为 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.年“五一”假期，北京文旅市场持续火热，相关数据显示，颐和园、天坛公园、故宫博物院、景山公园、奥林匹克公园成为北京热度前五的景区．现有名游客，计划在五月五日当天，每人从这个景区中选择个景区参观．
若这名游客选择参观的景区互不相同，那么共有多少种不同的选择方法？
若这名游客中，恰有名游客选择了同一个景区，那么共有多少种不同的选择方法？
17.某班级数学兴趣小组共有名同学，其中名男生，名女生．
该小组甲、乙两名同学参加一项闯关游戏．已知甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响．求甲、乙两人中恰有一人闯关成功的概率；
若从这名同学中随机选出名同学组成一个竞赛小组，设选出的名同学中女生的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
18.已知函数
若，求的极值；
若在区间上的最小值小于零，求的取值范围；
若，设，记在区间上的最大值为当最小时，直接写出一个满足条件的的值．
19.某科技公司为优化旗下的人工智能助手“小智”的性能，针对“语音交互”和“图像识别”两项核心功能设计了相应的优化方案：方案与方案为了解“小智”的全体用户岁及以上对新方案的支持情况，对“小智”的青年用户岁和中老年用户岁及以上进行简单随机抽样，获得数据如下表：
青年用户 中老年用户
支持 不支持 支持 不支持
方案 人 人 人 人
方案 人 人 人 人
假设所有用户对方案是否支持相互独立．用频率估计概率．
分别估计“小智”的青年用户和中老年用户支持方案的概率；
从“小智”的全体青年用户中随机抽取人，全体中老年用户中随机抽取人．估计这人中恰有人支持方案的概率；
用分别表示“小智”的青年用户、中老年用户以及全体用户支持方案，用分别表示“小智”的青年用户、中老年用户以及全体用户不支持方案写出方差，，的大小关系．结论不要求证明
20.已知函数的定义域为，其导函数，且曲线在点处的切线为直线．
若直线与轴平行，求的值；
求证：除切点外，曲线在直线的上方；
若，直线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点．是否存在实数，使得的面积为？若存在，求出满足条件的的个数；若不存在，说明理由．
21.设，考虑正整数数列、、、，将其以为周期构造成无穷数列，即对所有正整数，均有当该无穷数列满足如下两个条件时，我们称其为“数列”：
；
对每个、、、，均有．
当时，判断下列两个数列，是否为“数列”？
、、、、、、、、、、、、；
、、、、、、、、、、、、；
若正整数数列、、、、、、、、为“数列”，则
(ⅰ)求证：对每个、、、，均有；
(ⅱ)求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】答案不唯一，满足即可
15.【答案】
16.【答案】解：根据题意，共有种；
选出两名游客共有种，
这两名游客与其他两名游客有种选法，
故共有种选择方法．

17.【答案】解：记事件：甲同学闯关成功，记事件：乙同学闯关成功，事件：甲、乙两人中恰有一人闯关成功，
则，
又甲同学闯关成功的概率为，乙同学闯关成功的概率为，且两人闯关的结果互不影响，
所以．
易知的可能取值为，
，，，
所以的分布列为
．

18.【答案】解：当时，，则
令得，解得或
列表得
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以的极大值为，极小值为．
，令解得或，
当时，，在上恒成立，
即单调递增，则，符合条件；
当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则，令，
即，因为，所以，解得，
综上所述，的取值范围是或．
由第二问可知，，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
因为，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
，，所以，
此时；
当时，，，
，因为，
当时，；
当时，，此时，
综上所述，，所以当时取最小值，
此时可取．

19.【答案】解：由图表知，方案的青年用户共人，支持方案的青年用户共人，
方案的中老年用户共人，支持方案的中老年用户共人，
所以“小智”的青年用户和中老年用户支持方案的概率分别为、．
由知青年用户支持方案的概率为，中老年用户支持方案的概率为，
则所求概率为．
由题知服从分布，则，其中为对应群体支持方案的概率，
又由题知青年用户支持方案的概率为，所以，
中老年用户支持方案的概率为，所以，
全体用户支持方案的概率为，所以，
又，所以．

20.【答案】解：根据题意可得，因为与轴平行的直线斜率是，所以，解得．
当时，，符合题意，故．
证明：根据题意可得直线的方程，
设函数，，
因为，则，
因为，，，所以，即在单调递增，
又因为，所以当时，，即在上单调递减；
当时，，即在单调递增，因此，
所以除切点外，曲线在直线的上方．
由知，切线的方程，
令得，则，
令得，则，
因为，则，，
所以，整理得，
所以，即在时有解，
设，则，
因为，所以，即，所以，
所以在上单调递减，
因为，，
所以存在唯一的，使得，故在上有且只有个零点，
所以满足条件的，且满足条件的只有个

21.【答案】解：对于数列，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，
且满足，
，，，
，
数列满足，故数列为“数列”；
对于数列，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，
且满足，
，，故数列满足，但不满足，
故数列不是“数列”．
假设存在，使得，
考虑使这个不等式成立的最小的，则，
因为数列的周期性和，所以、、、，
又，可得，
因为，所以，由于是最小的，则，
由条件可知，，则，与矛盾，
故对每个、、、，均有；
由知，
若，则，则成立；
若，则考虑首次出现大于的项，
设存在正整数，使得，
因为，，所以，于是，
记为、、、中大于或等于的项的个数，
易知，，
对于每一个，因为，，
所以大于或等于的项只能存在于、、、，
于是，从而对于每一个，有，
由式和的定义可得
，
在上式两边同时加上、、、，并结合得
．
综上所述，．

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