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2026—2027学年九年级数学上册第一次月考测试卷（1-2章）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分.
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若点在反比例函数的图象上，下列哪个点也在反比例函数图象上（ ）
A． B． C． D．
3．若将一元二次方程转化为的形式，则b的值为（ ）
A．1 B．8 C．9 D．10
4．已知点在反比例函数的图像上，则 与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
6．函数与（）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．近年来，延庆区大力发展低空旅游产业．延庆文旅将分散的长城资源串联成线，打造世界级长城大景区，让更多人领略“空中瞰长城”的震撼，八达岭机场是“空中瞰长城”的起飞地，从2026年3月起客流逐月递增．3月份直升机的总飞行时长约为119.2小时，5月份直升机的总飞行时长约为176.8小时．设直升机每月飞行时长的平均增长率为x，则下列所列的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图是反比例函数的图象，等腰的直角顶点A恰好在图象上，点B和点C分别落在y轴和x轴上，则点A的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分．
9．一元二次方程的解为_________．
10．已知y是关于x的反比例函数，当时，函数y随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值_________．
11．若关于x的一元二次方程有一个根为，则m的值为________．
12．已知近视眼镜镜片的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例．若度的近视眼镜镜片的焦距为米，那么与的函数表达式为______．（不要求写自变量的取值范围）
13．设，分别是一元二次方程的两个根，则________．
14．在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为（提示：）________．
15．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________．
16．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________．
17．若关于的一元二次方程（）有一个实数根为，则一元二次方程必有一个实数根为___________．
18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与边长是的正方形的两边、分别相交于、两点，的面积为，若动点在轴上，则的最小值是________．
三、解答题：本题共9小题，共64分.
19.（9分）解方程：
(1)（直接开平方法）；(2)（配方法）；(3)（求根公式法）．
20．（6分）解下列方程：
(1)； (2)．
21．（6分）已知y与x成反比例，且当时，．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当时，求y的值．
22．（6分）关于的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若、是方程的两个实根，且，求的值．
23．（6分）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点（点在第一象限）．若点的横坐标为4．

(1)求的值及点的坐标．
(2)根据图象，直接写出当时，的取值范围．
24．（6分）某农场准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围建一个长方形菜地（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），设平行于墙的一边的长为．
(1)如图1，如果长方形菜地的一边靠墙，另三边、、由篱笆围成，当菜地的面积为时，求x的值；
(2)如图2，如果长方形菜地的一边由墙和一节篱笆构成，另三边、、由篱笆围成，当菜地面积为时，求x的值．
25．（8分）“道路千万条，安全第一条”．为研究汽车驾驶员的视野大小与行车速度之间的关系，某研究小组在一定条件下进行了一系列的测试．
【数据收集】下表是测试所得的数据：
行车速度（）
视野角度（度）
(1)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描出相应的点，并用平滑的曲线顺次连接各点．
【数学表达】
(2)请结合数据与图象，直接写出能近似体现视野角度（度）与行车速度（）之间关系的函数表达式．
【问题解决】
(3)在相同测试条件下，若要求驾驶员的视野角度不小于80度，那么车辆的行驶速度应控制在什么范围？
26．（8分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程（b，c是常数）是“邻根方程”，且，求的值．
27．（9分）在人工智能飞速发展的当下，机器人可在平面直角坐标系中完成移动操作．若机器人从点移动到点满足（p是常数，且），则称点，是“瞬移点”．
(1)下列各组点中，是“2瞬移点”的有________．（填序号）
①点与；②点与；③点与．
(2)如图1，直线与反比例函数在第一象限内的两个交点，是“瞬移点”．
①求的值；
②求的面积．
(3)如图2，已知，为反比例函数上一点．若且，为平面内一点，若四边形为正方形，正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是“2瞬移点”？若不存在请说明理由，存在请求出的值．
参考答案
一、单项选择题
1．D
解：A、含有，两个未知数，故A不符合题意；
B、是分式，方程不是整式方程，故B不符合题意；
C、含有，两个未知数，且未知数最高次数为1，是二元一次方程，故C不符合题意；
D、只含一个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义，故D符合题意．
2．B
解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
即反比例函数图象上的点满足横纵坐标乘积为，
依次验证选项：
选项A ，不在该图象上；
选项B ，在该图象上；
选项C ，不在该图象上；
选项D ，不在该图象上．
3．D
解：，
，
，
，即b的值为10．
4．B
解：∵点在反比例函数的图像上，
∴点在反比例函数第二象限的双曲线上，且y随x的增大而增大，
∵，
∴．
5．D
解：∵对于一元二次方程，可得，，，
∴，
∴该一元二次方程有两个不相等的实数根．
6.D
解：分两种情况讨论：①当时，则，
反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数的图象经过第一、三、四象限；
观察选项A、B，图象均不符合；
②当时，则，
反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数的图象经过第一、二、四象限；
观察选项C，直线经过第一、三、四象限，不符合；
观察选项D，双曲线在第二、四象限，直线经过第一、二、四象限，符合．
7．C
解：∵3月份总飞行时长为小时，每月平均增长率为，
∴4月份总飞行时长为小时，
∴5月份总飞行时长为小时，
又∵已知5月份总飞行时长为小时，
∴可列方程．
8．C
解：过点作轴的平行线，交轴于点，过点作交的延长线于点，
，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴点的横纵坐标的绝对值相等，
又∵点在第一象限，
∴点的横纵坐标相等，
设点，，且点在反比例函数上，
∴，
解得，
∴点的坐标为．
二、填空题
9．，
解：，
因式分解得：，
可得或，
解得：，．
10．（答案不唯一，只要小于0即可）
解：由题意得，当时，随的增大而增大，
∴， 取的一个符合条件的值为（答案不唯一）．
11．
解：把代入方程得：
解得.
12．
解：根据题意可设，
将，代入得，
解得，
，
故答案为：．
13．
解：一元二次方程为，
，，
14．
解：由题意可知，与的函数关系式为
函数图象经过点，
∴将点代入得：
电源电压为．
15.或
解：由题意得，
方程两边同乘最简公分母，得：，
整理得：，
因式分解得：，
解得，，
经检验，当和时，且，均为原方程的解．
16．或
解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，
∴结合函数图象得关于x的不等式的解集是或．
17．
解：∵，
∴，
设，
则方程可化为
∵关于的一元二次方程（）有一个实数根为，
∴关于的一元二次方程（）有一个实数根为，
∴，
∴，
∴一元二次方程必有一个实数根为．
18．
解：将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，，
由反比例函数比例系数的几何意义可知，，
∵，
∴，
整理，得，
∵，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
如图，作点关于轴的对称点，连接、，
由轴对称的性质可得，点的坐标为，，
∴，
∴当、、三点共线时，取得最小值，
由勾股定理可得，，
∴的最小值为．
三、解答题.
19.（1）解：
，；
（2）解：
，；
（3）解：
、．
20．（1）解：，
变形得：，即，
开方得：，
解得：；
（2）解：，
移项得：，
分解因式得：，
可得或，
解得：，．
21．（1）解：设，当，时，
∴，
∴；
（2）解：当时，．
22．(1)证明：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：由题意可得，，
∵，
∴，
解得．
23．（1）解：由题意得，将代入，则，
∴，
再将代入，则，
∵点，关于原点对称，
∴；
（2）解：由（1）可得，，
∴根据函数图象可得，时，或．
24．（1）解：根据题意得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
∴x的值为6；
（2）解：根据题意得，
整理得，
解得（不合题意，舍去），，
答：x的值为12．
25．(1)
（2）解：观察表格数据，每组行车速度v与视野角度的乘积近似等于，符合反比例函数的特征，因此近似函数表达式为：；（5分）
（3）解：由题意，要求视野角度不小于度，即，代入函数表达式得：
，
因为行车速度，不等式两边同时乘，不等号方向不变：
，
解得，
结合实际意义，车辆的行驶速度应控制在不超过，即．（8分）
26．(1)不是邻根方程，计算如下：
，
，
解得：，
，
∴一元二次方程不是邻根方程；
（2）解：，
，
或，
∵方程（m是常数）是“邻根方程”，
或，
或0；
（3）解：设方程的根为，且，
则，，
将代入得，
化简得，
，，
，
，即，
即，
解得．
27．（1）解：∵，
∴，
①，②，③，
∴是“2瞬移点”的有②③；
（2）解：①设，
∵，在直线上，
∴
∴，
∵，是“瞬移点”，
∴，
∴，
∴直线的表达式为；
②联立
消去得，，
∴，
∴，
∵有交点，则，即，
又∵在的右侧，则，
∴，
如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵在第一象限，则，
∴，
∵
∴
；
（3）解：∵，，
①当时，解得：，满足，
此时，
当在第三象限时，如图所示，
过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，
∴，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当在第四象限时，
设，则与关于对称，
∴，
解得：，
∴，
∴；
②当时，解得：，满足，结论同①，
∵不能为对角线，且，不存在其他情形，
综上所述，或．

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