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2025-2026学年下学期中段限时训练九年级数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.2026的相反数是（ ）
A．2026 B． C． D．
2.下列几何体的俯视图是三角形的是 ( )
A. B. C. D.
3.清代袁枚的一首诗苔中的诗句：“白日不到处，青春恰自来。苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为 ( )．
A. B. C. D.
4.若，则下列式子中正确的是（　　 ）
A． B． C． D．
5.抛物线的对称轴是直线（　 ）
A. B. C. D.
6.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.已知某产品的利润为元件，每天销量为件，通过调研发现该产品在此基础上售价每上升元件时，每天销量下降件．设某天的售价上升元件时，该天的利润达元，则可列方程( )
A. B.
C. D.
8.我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（，为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
9.将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　 　）
A． B． C． D．
10.如图，二次函数的图像过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中，错误的结论是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.若式子有意义，则x的取值范围是 ．
12.分解因式： = ．
13.正比例函数的图象过二、四象限，则关于的一元二次方程的根的情况是 .
14.如图，在平面直角坐标系中，AOB和是以O为位似中心的位似图形，A、B两点的坐标分别为，．点A的对应点C的坐标是，则点D的坐标是 ．
15. “温室大棚春意浓，花果飘香醉眼瞳”．近年来，某市通过大棚种植技术（如图1），大力推进农业现代化转型．小华家有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚一端固定在离地面高1米的墙体A处，另一端固定在离地面高2米的墙体B处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体A的水平距离（米）之间的关系满足，现测得A，B两墙体之间的水平距离为8米，则大棚的最高处到地面的距离为
米．
三、解答题（一）（每小题7分，共21分）
16．计算：
17．解不等式组：，并写出该不等式组的最大整数解．
18．下面是小李化简分式的过程：
（1）小李的化简过程中，涉及分式的通分的步骤是第 步，涉及分式的约分的步骤是第 步；
（2）小李的化简过程从第 步开始出现错误；
（3）请你写出正确的化简过程，并从1，2，3中选择一个合适的数代入求值．
四、解答题（二）（每小题9分，共27分）
19．如图，在矩形ABCD中，E为边BC上的一点，DF⊥AE于点F.
(1)求证：△ABE ∽△DFA；
(2)若AB＝3，BE＝4，AD＝6，求 DF的长.
20．如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为．
(1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，）
(2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪）
21.【问题背景】2025年4月23日是第19个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．
【素材呈现】
素材一：有两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的．
【问题解决】
(1)问题一：求出两种书架的单价；
(2)问题二：设购买个A种书架，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；
(3)问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价元，B种书架每个涨价元，按问题二的购买方案需花费21120元，求的值．
五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共24分）
22．【扫地机器人中的数学】
【问题背景】随着智能家电的普及，扫地机器人进入我们的视野．如图1为某品牌的圆形扫地机器人，其主要由电源、充电设备、电机、机械结构、传感设备等构成．
【数学建模】
某兴趣小组发现，该圆形扫地机器人的运动路径满足反比例函数关系，因此，将该扫地机器人视作半径为2的圆，圆心为P，该小组以充电设备为原点，建立如图2的平面直角坐标系，图中的曲线即为该扫地机器人圆心P的运动路径().
【问题解决】
(1)若在扫地机器人的运动路径上，圆心P会经过一污迹A(4，3)，求该运动曲线的函数解析式；
(2)已知在扫地机器人运动轨迹的不远处有一障碍物B(6，8)，求当点P，O，B在一条直线上时，扫地机器人是否会触碰到障碍物；
(3)若以P，O，A为顶点的三角形的面积为 ，求此时机器人的圆心P的坐标．
23．如图①已知抛物线 的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与轴的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与轴的交点为E．
(1)抛物线的对称轴与轴的交点E坐标为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
(2)若点E到轴的距离与它到直线BC的距离相等，试求出抛物线的解析式；
(3)在(2)的条件下，如图 ② Q(，0)是轴的正半轴上一点，过点Q作轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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