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第二讲 - 全等三角形的五种判定方式
【知识要点】
1．全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
3．三角形全等的判定方法
(1)三边分别相等的两个三角形全等(简写成“边边边”或“SSS”)．
(2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”)．
(3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”)．
(4)两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS”)．
4．直角三角形全等的判定方法
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”)．
【温馨提示】
1．两个三角形全等的条件中必须有一条边分别相等，只有角分别相等不能证明两个三角形全等．
2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
3．“HL”定理指的是斜边和一条直角边分别相等，而不是斜边和直角分别相等．
【方法技巧】
1．应用全等三角形性质解决问题的前提是准确地确定全等三角形的对应边和对应角，其规律主要有以下几点：
(1)以对应顶点为顶点的角是对应角；
(2)对应顶点所对应的边是对应边；
(3)公共边(角)是对应边(角)；
(4)对顶角是对应角；
(5)最大边(角)是对应边(角)，最小边(角)是对应边(角)．
全等三角形的对应边和对应角可以依据字母的对应位置来确定，如若△ABC≌△DEF，
说明A与D，B与E，C与F是对应点，则∠ABC与∠DEF是对应角，边AC与边DF是对应边．
2．判定两个三角形全等的解题思路：
【常用判定方式】
如图，已知∠ABC=∠DEF，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，若以“SAS”为依据，则要添加的条件是_________
若以“AAS”为依据，则要添加的条件是__________．(用图中字母表示)
【SSS】如图，AB=DC，AC=DB，求证AB∥CD．
3.【ASA】如图，已知AB∥DC ，AD∥BC.证明：(1)AB=CD；(2)AD=BC．
4.【ASA】如图，点分别在上，且，．求证：．
【AAS】如右图，已知DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别是E、F，AE=CF，DC∥AB，(1)试证明：DE=BF；(2)连接DF、BE，猜想DF与BE的关系？并证明你的猜想的正确性．
6．如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为_______.
7．如图所示，△ABE≌△ACD，∠B＝70°，∠AEB＝75°，求∠CAE的度数．
8．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：BC＝BD．
9．如图，AB＝AD，AC＝AE，∠CAE＝∠BAD．求证：∠B＝∠D．
10．如图，点B、F、C、E在直线l上(F、C之间不能直接测量)，点A、D在l异侧，测得AB＝DE，AB∥DE，∠A＝∠D．(1)求证：△ABC≌△DEF；(2)若BE＝10m，BF＝3m，求FC的长度．
11．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌△CFE．
12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，且BE＝CF．求证：AB＝AC．
13．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD＝DF．(1)求证：CF＝EB．(2)若AB＝12，AF＝8，求CF的长．
14．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
(1)求证：AM平分∠BAD；
(2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
(3)线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
15．在△ABC中，D是BC边上的点(不与点B、C重合)，连接AD．
(1)如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝　 　；
(2)如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值(用含m，n的代数式表示)；
(3)如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝　 　．
20．如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，且AB＝AC，BE交CD于点O．(1)求证：DB＝EC．(2)求证：AO平分∠BAC．
21．如图，已知中，是的角平分线，于E点．
(1)求的度数；
(2)若，求．

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