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全等三角形常见的辅助线模型强化
【模型1-倍长中线模型】
中线倍长法：将中点处的线段延长一倍。
目的：①构造出一组全等三角形；②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中去。
1．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC．
【理解与应用】如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围．
【模型2-过点作平行线】
如图，已知在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长AC至点E，使CE＝BD．联结DE交BC于点F，求证：DF＝EF．
【模型3-构造一线三等角证全等】
四边形中，，面积为且的长为，则的面积为 ．

如图，，，，求的面积 ．
3.(1)如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．求证：△ABD≌△CAE；
(2)如图2，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论△ABD≌△CAE是否成立？如成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展应用：如图3，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点(D，A，E三点互不重合)，点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求证：△DEF是等边三角形．
【模型4-角平分线上的点向两边作垂线】
如图，已知，P是的平分线上的任意一点，交于点D，于点E，如果，求的长．
如图，中，，点分别在边，上，，．求证： 平分．
【模型5-利用角平分线的性质，在角两边截长补短】
已知：如图，，，分别平分和，点E在上．用等式表示线段、、三者之间的数量关系，并证明．
2.如图1，在△ABC中，∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O．
(1)求证：∠AOC＝90°＋∠ABC；
(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．
3. 如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．（提示：过点E作EF⊥AD，垂足为F．）
【模型6-截长补短法】
遇到求证线段间和，差，倍数关系时,一般方法是截长补短法.
(1) 截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩下部分等于另一条 ;
(2) 补短:将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段
【例1】如图，，，分别平分,，过点，求证:
如图，在内，，，，分别在，上，并且，分别是，的角平分线.求证：
【模型7-倍角化等腰】
如图，△ABC中，AB＝AC，2∠DBC＝∠BAC.交AC于D.求证：BD⊥AC
如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC.求证：∠A＝90°.
【模型8-旋转法】
如图，在四边形中，，以D为顶点作一个角，角的两边分别交于E、F两点，连接，探索线段之间的数量关系，并加以证明．
如图①，在四边形中，分别是边上的点，连接，试探究图中线段之间的数量关系．
（1）小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连接，先说明，再说明即可得出结论，他的结论应是______________；
（2）如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，请判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由．

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