资源简介

轴对称与最短路径问题、等边等腰三角形
【知识要点】
1．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)．
2．等腰三角形的判定方法
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”)．
3．等边三角形的性质和判定方法
性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．
判定方法1：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定方法2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
4．直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【温馨提示】
1．“等边对等角”和“等角对等边”只限于在同一个三角形中，在两个三角形中时，上述结论不一定成立．
2．在应用直角三角形的性质时应注意以下两点：(1)必须是在直角三角形中；(2)必须有一个锐角等于30°．
【方法技巧】
1．等腰三角形的性质是证明两个角相等的重要方法，当要证明同一个三角形的两个内角相等时，可尝试用“等边对等角”．
2．等腰三角形的判定是证明线段相等的一个重要方法，当要证明位于同一个三角形的两条线段相等时，可尝试用“等角对等边”．
3．利用轴对称可以解决几何中的最值问题，本方法的实质是依据轴对称的性质以及两点之间线段最短和三角形两边之和大于第三边．
【轴对称的判断与性质】
1．下列字母中：H、F、A、O、M、W、Y、E，轴对称图形的个数是______
A．5 B．4 C．6 D．7
2．等腰三角形、直角三角形、等边三角形、锐角三角形、钝角三角形和等腰直角三角形中，一定是轴对称图形的有_____
A．3个 B．4个 C．5个 D．2个
3．在如图所示的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是_____
4．如图，将一张矩形纸片折叠，若，则的度数是_____
【垂直平分线】
1．如图所示，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄，当汽
车行驶到哪个位置时，与村庄M，N的距离相等．
2．如图所示，AB=AC，BM=CM，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？
3．如图，，的垂直平分线交于，交于．(1)若，求的度数；(2)若，的周长17，求的周长．
4．如图，OP是∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D．
(1)求证：OC＝OD；
(2)求证：OP是CD的垂直平分线．
【等腰三角形的性质】
1．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是_____
2．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于_____
3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长是_____
4．一个等腰三角形的顶角是底角的4倍，则其顶角的度数为__________
5．等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为3 cm，则该等腰三角形的底边为__________
6．如图，等腰中，，AD是底边上的高，若，，则_________cm．
7．如图，在中，，为的中点，，则__________．
如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过O点作DE∥BC，分别交AB、AC于D、E，若
AB=5，AC=4，求△ADE的周长．
9．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，E是AB上的一点，EF∥AD交CA的延长线于F．求证：△AEF是等腰三角形．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．(1)求证：△BCD是等腰三角形；(2)△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长．(用含a，b的代数式表示)
【等边三角形】
1．下面几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中是等边三角形的有_____
A．4个 B．3个
C．2个 D．1个
2．如图，是等边三角形，BD平分，点E在BC的延长线上，且，，则__________．
3．如图，在正方形ABCD中，等边三角形AEF的顶点E、F分别在边BC和CD上，则∠AEB=_______度．
4．如图，已知OA=5，P是射线ON上的一个动点，∠AON=60°．当OP=_______时，△AOP为等边三角形．
5．如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．
【最短路径问题】
要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，不写作法，保留痕迹．
2．如图，在锐角三角形中，，的面积为，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值为_____
3．如图，在中，是边的垂直平分线，交于点，交于点，点是直线上的一个动点，若，则的最小值为_____
【将军饮马模型】
1．如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为_____．
2．如图，长方体的长、宽、高分别为6cm，4cm，2cm，现有一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到达占处，则所走的最短路路径长是________cm.
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(0，6)，点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为_____
4．如图，在锐角中，，边上有一定点分别是和边上的动点，当的周长最小时，的度数是_________．
5．如图，等腰三角形的底边长为10，面积是40，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为______．

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