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重庆市大渡口区2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑。
1．下列实数是无理数的是（　　）
A． B． C． D．3.14159
2．小青坐在教室的第4列第3排，用（4，3）表示，小明坐在教室的第2排第5列应当表示为（　　）
A．（2，5） B．（5，2） C．（2，2） D．（5，5）
3．以下列数组为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（　　）
A．5，12，13 B．8，15，16 C．9，16，25 D．12，15，20
4．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．同位角相等
B．两个锐角之和为钝角
C．两点之间，线段最短
D．有且只有一条直线与已知直线垂直
5．下列各点在一次函数y＝3x+1的图象上的是（　　）
A．（3，5） B．（﹣2，3） C．（4，10） D．（2，7）
6．我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式流传．例如：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少两梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？若设有x个老头，y个梨，则可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
7．估算的值在（　　）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
8．若点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在一次函数y＝（m2+1）x+b的图象上，则y1与y2大小关系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＞y2
C．y1＝y2 D．无法比较大小
9．如图，在三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝25，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在BC上的点D处，折痕交BC于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交AC于点E，交BC于点G，则DE的长度为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
10．设a1，a2，a3，a4是整数，若ai+aj（1≤i＜j≤4）的值分别为﹣2，﹣1，0，3，4，5，下列说法：
①a4比a1大6；
②a1+a2+a3+a4的值为0；
③a1a2a3a4的值为18．
其中正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11．8的立方根是 　 　 ．
12．如果点P（m+1，m﹣2）在x轴上，那么点P的坐标是 　 　 ．
13．如图，一次函数y1＝kx+4与y2＝x+b的图象相交于点P（1，3），则方程组的解是　 　 ．
14．半径为的扇形OAB的圆弧和以AB为直径的半圆围成如图所示的阴影部分，已知OA⊥OB，则阴影部分的面积为　 　 ．
15．如图，长方体的底面长和宽分别为4cm和3cm，高为5cm．若一只蚂蚁从顶点P开始经过4个侧面爬行一圈到达顶点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为　 　 cm．
16．如果一个三位自然数各个数位上的数字均不为0，且2a＝b+c，则称P为“二倍等和数”．规定．例如：P＝453，∵2×4＝5+3，∴453是“二倍等和数”，则．若“二倍等和数”Q＝324，则F（Q）＝　 　 ；若M为“二倍等和数”，F（M）+3恰好能被7整除，则M的最大值与最小值的差为　 　 ．
三、解答题：（本大题9个小题，17-18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上。
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整．
如图，AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．试判断：AF与DC的位置关系？并说明理由．解：AF与DC的位置关系是①　 　 ，理由如下：∵AD∥BC（已知），
∴∠1＝②　 　 （两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1＝∠B（已知），
∴∠B＝③　 　 （等量代换）．
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝④　 　 （两直线平行，同位角相等）．
又∵∠2＝∠3（已知），
∴∠3＝∠EGF（等量代换）．
∴AF∥DC（同位角相等，两直线平行）．
19．（10分）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，4），B（1，2），C（4，1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1.并写出点B1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请保留作图痕迹，并写出点P的坐标．
20．（10分）如图，一块四边形的空地ABCD，∠B＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．
（1）连接AC，试判断△ACD的形状；
（2）为了绿化环境，计划在该空地上铺设草坪，若每铺设1平方米的草坪需要花费50元，则此块空地全部铺设草坪共需花费多少元？
21．（10分）某校为了了解八年级学生的长跑水平，该校对全体八年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x＜80，D.80≤x＜90，E.90≤x＜100），绘制了不完整的统计图表．收集、整理数据：
20名男生的长跑成绩分别为76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88；
20名女生中，长跑成绩在C组和D组的分别为73，74，74，74，74，76，83，88，89．
分析数据：
两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示
长跑成绩 平均数 中位数 众数
男生 85 88.5 b
女生 81.8 a 74
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝　 　 ，b＝　 　 ，并补全频数分布直方图；
（2）根据以上数据，你认为八年级学生是男生的长跑成绩好还是女生的长跑成绩好？请判断并说明理由（一条理由即可）；
（3）如果该校八年级共有1500名学生，请估计八年级长跑成绩不低于80分的学生人数．
22．（10分）某仓库需要将660箱紧急物资运往灾区，已知用3辆小型货车和1辆大型货车每次可运输105箱，用2辆小型货车和3辆大型货车每次可运输175箱．
（1）每辆小型货车和每辆大型货车各能运输多少箱物资？
（2）若计划租用小型货车m辆，大型货车n辆，一次运完，恰好每辆车都装满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案．
23．（10分）如图1，在长方形ABCD中，BC＝3，AB＝4，点E在CD上，DE＝1，点F从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着A→B→C运动到点C停止，△AEF的面积为y，点F的运动时间为t（0＜t≤7）．
（1）直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围；
（2）在图2的平面直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出函数y的一条性质；
（3）若直线与该函数图象只有2个交点，则b的取值范围为　 　 ．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l2：y＝﹣x+5交于点C（m，6），直线l2与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．
（1．求直线l1的函数表达式；
（2）点M是直线l1上一动点，当S△ACD＝3S△CAM时，求点M的坐标；
（3）在（2）条件下，当点M在第二象限时，在y轴有一点N，且∠AMN＝∠DAB，请求出所有符合条件N点的坐标（选一种情况写出解答过程）．
25．（10分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上一点，BD＝BE．
（1）如图1，过点D作DH⊥BE于点H，且∠CBE＝45°，BD＝2，求EH的长；
（2）如图2，若点F是AB上的一点，连接DF交BE于点G，且∠BGF＝60°，以BD为边向右侧作等边△DBI，连接GI，猜想DG与AE和GI之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，若AB＝3，点F是AB上的一点，连接DF交BE于点G，且∠BGF＝60°，点M是边BC上一点，连接GM，以GM为边向右侧作等边△GMN，连接DN，当BE取最小值时，直接写出DN的最小值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C D C D A C B
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上。
11． 2．
12． 　（3，0）　 ．
13．　　 ．
14．　1　 ．
15．　　
16．　648　 ．
三、解答题：（本大题9个小题，17-18题每题8分，其余每题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卡中对应的位置上。
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）
．
18．（8分）把下面解答过程中的理由或数学式补充完整．
如图，AD∥BC，∠1＝∠B，∠2＝∠3．试判断：AF与DC的位置关系？并说明理由．解：AF与DC的位置关系是①AF∥DC ，理由如下：∵AD∥BC（已知），
∴∠1＝②　∠DEC （两直线平行，内错角相等）．
又∵∠1＝∠B（已知），
∴∠B＝③　∠DEC （等量代换）．
∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）．
∴∠2＝④　∠EGF （两直线平行，同位角相等）．
又∵∠2＝∠3（已知），
∴∠3＝∠EGF（等量代换）．
∴AF∥DC（同位角相等，两直线平行）．
解：AF与DC的位置关系是AF∥DC，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠1＝∠DEC．
又∵∠1＝∠B，
∴∠B＝∠DEC．
∴AB∥DE．
∴∠2＝∠EGF．
又∵∠2＝∠3，
∴∠3＝∠EGF．
∴AF∥DC．
故答案为：①AF∥DC，②∠DEC，③∠DEC，④∠EGF．
19．（10分）如图所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的顶点均在格点上，△ABC的三个顶点坐标分别为A（3，4），B（1，2），C（4，1）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1.并写出点B1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）在x轴上找一点P，使得PC+PB最小，请保留作图痕迹，并写出点P的坐标．
解：（1）作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，如图：
此时点B1的坐标为（﹣1，2）．
（2）．
（3）取点B关于x轴的对称点B′，连接B′C交x轴于点P，则点P即为所求：
此时点P的坐标为（3，0）．
20．（10分）如图，一块四边形的空地ABCD，∠B＝90°，AB＝20米，BC＝15米，CD＝7米，AD＝24米．
（1）连接AC，试判断△ACD的形状；
（2）为了绿化环境，计划在该空地上铺设草坪，若每铺设1平方米的草坪需要花费50元，则此块空地全部铺设草坪共需花费多少元？
解：（1）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
∴AC2＝202+152＝625，
解得：AC＝25（负值已舍去），
∵CD＝7，AD＝24，AC＝25，
∴CD2+AD2＝72+242＝49+576＝625，AC2＝252＝625，
∴CD2+AD2＝AC2，
∴△ACD是直角三角形；
（2）S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD
＝234（平方米），
∴234×50＝11700（元），
答：此块空地全部铺设草坪共需花费11700元．
21．（10分）某校为了了解八年级学生的长跑水平，该校对全体八年级同学进行了长跑测试，体育组陈老师随机抽取20名男生和20名女生的测试成绩（单位：分）进行整理和分析（成绩共分成五组：A.50≤x＜60，B.60≤x＜70，C.70≤x＜80，D.80≤x＜90，E.90≤x＜100），绘制了不完整的统计图表．收集、整理数据：
20名男生的长跑成绩分别为76，77，95，88，50，89，89，97，99，93，97，89，65，87，68，89，78，88，98，88；
20名女生中，长跑成绩在C组和D组的分别为73，74，74，74，74，76，83，88，89．
分析数据：
两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示
长跑成绩 平均数 中位数 众数
男生 85 88.5 b
女生 81.8 a 74
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）a＝　79.5　 ，b＝　89　 ，并补全频数分布直方图；
（2）根据以上数据，你认为八年级学生是男生的长跑成绩好还是女生的长跑成绩好？请判断并说明理由（一条理由即可）；
（3）如果该校八年级共有1500名学生，请估计八年级长跑成绩不低于80分的学生人数．
解：（1）由扇形统计图可知，女生成绩在A组和B组的人数占总人数的10%+10%＝20%，
∴女生成绩在A组和B组的人数有20×20%＝4人，
女生成绩在C组和D组的人数共9人，
∴女生成绩按照从小到大的顺序排列第10名是76，第11名是83，
∴女生成绩的中位数是；
∵20名男生的成绩中得89分的人数最多，共有4名学生得89分，
∴男生成绩的众数为b＝89；
∵男生成绩在D组的人数有20﹣1﹣2﹣3﹣6＝8人，
补全直方图如下：
故答案为：79.5，89；
（2）男生长跑成绩好，理由如下：
∵男生长跑成绩的平均数85分大于女生长跑成绩的平均数81.8分，男生长跑成绩的中位数88.5分大于女生长跑成绩的中位数79.5分，
∴男生长跑成绩比女生好；
（3）估计八年级长跑成绩不低于80分的学生人数有（人）．
22．（10分）某仓库需要将660箱紧急物资运往灾区，已知用3辆小型货车和1辆大型货车每次可运输105箱，用2辆小型货车和3辆大型货车每次可运输175箱．
（1）每辆小型货车和每辆大型货车各能运输多少箱物资？
（2）若计划租用小型货车m辆，大型货车n辆，一次运完，恰好每辆车都装满且两种车都要租，请你设计出所有的租车方案．
解：（1）设每辆小型货车能运输x箱物资，每辆大型货车能运输y箱物资，
由题意得：，
解得：，
答：每辆小型货车能运输20箱物资，每辆大型货车能运输45箱物资；
（2）由题意得：20m+45n＝660，
整理得：m＝33n，
∵m、n均为正整数，
∴或或，
∴共有3种租车方案：
①租用小型货车24辆，大型货车4辆；
②租用小型货车15辆，大型货车8辆；
③租用小型货车6辆，大型货车12辆．
23．（10分）如图1，在长方形ABCD中，BC＝3，AB＝4，点E在CD上，DE＝1，点F从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着A→B→C运动到点C停止，△AEF的面积为y，点F的运动时间为t（0＜t≤7）．
（1）直接写出y与t之间的函数表达式，并写出对应t的取值范围；
（2）在图2的平面直角坐标系中画出y与t的函数图象，并写出函数y的一条性质；
（3）若直线与该函数图象只有2个交点，则b的取值范围为　1≤b＜4　 ．
解：（1）当0＜t≤4时，F在线段AB上，AF＝t，
故y，
当4＜t≤7时，F在线段CB上，
此时y＝S长方形ABCD﹣S△CEF﹣S△BAF﹣S△ADE＝12
＝12
＝﹣2t+8，
即y；
（2）y与t的函数图象如图2所示，当x＝4时，y有最大值6；
（3）当直线过点（4，6）时，可得b＝64，
当直线过点（7，）时，可得b1，
综上可得当直线与该函数图象只有2个交点时，b的取值范围为1≤b＜4，
故答案为：1≤b＜4．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1与x轴交于点D，与y轴交于点E，与直线l2：y＝﹣x+5交于点C（m，6），直线l2与x轴交于点A，与y轴交于点B，且．
（1．求直线l1的函数表达式；
（2）点M是直线l1上一动点，当S△ACD＝3S△CAM时，求点M的坐标；
（3）在（2）条件下，当点M在第二象限时，在y轴有一点N，且∠AMN＝∠DAB，请求出所有符合条件N点的坐标（选一种情况写出解答过程）．
解：（1）由直线l2：y＝﹣x+5可得，当y＝0时，x＝5，
∴A（5，0），
∴OA＝5，
∵，
∴，
∴D（﹣4，0），
∵直线l2：y＝﹣x+5过点C（m，6），
∴6＝﹣m+5，
解得：m＝﹣1，
∴C（﹣1，6），
设直线l1的函数表达式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线l1的函数表达式为y＝2x+8；
（2）由（1）得A（5，0），C（﹣1，6），D（﹣4，0），
∴AD＝9，
∴，
∵S△ACD＝3S△CAM，
∴S△CAM＝9，
∵点M是直线l1上一动点，
设M（m，2m+8），
∴当M在线段CD延长线上时，S△CAM＝S△ADM﹣S△ACD，
则，
∴，
解得：m＝0，
∴M（0，8）；
当M在线段CD上时，S△CAM＝S△ACD﹣S△ADM，
则，
∴，
解得：m＝﹣2，
∴M（﹣2，4）；
综上可得：当S△ACD＝3S△CAM时，点M的坐标为（﹣2，4）或M（0，8）；
（3）由直线l2：y＝﹣x+5可得，当y＝0时，x＝5；当x＝0时，y＝5；
∴A（5，0），B（0，5）
∴OA＝OB＝5，
∴∠DAB＝45°，
∴∠AMN＝∠DAB＝45°，
①如图，当点N在y轴正半轴上时，过A作AI⊥MN，交MN延长线于点I，过I作l∥x轴，过A作AL⊥l于点L，过M作MJ⊥l于点J，延长JM交x轴于点K，设l与x轴交于点P，
则∠MJI＝∠ILA＝∠MIA＝90°，MI＝AI，
∴∠MIJ+∠AIL＝90°，∠MIJ+∠JMI＝90°，
∴∠JMI＝∠AIL，
∴△JMI≌△LIA（AAS），
∴IJ＝AL，MJ＝IL，
∴IJ+IL＝7，MJ+4＝AL，
∴，，
∴，
设直线MI解析式为y＝k2x+b2，
则，
解得：，
∴直线MI解析式为，
当x＝0时，，
∴点；
②如图，当点N在y轴负半轴上时，过N作ND1⊥MN，交MA延长线于点D1，过N作l∥x轴，过D1作D1B1⊥l于点B1，交x轴于点C1，过M作MA1⊥l于点A1，交x轴于点K1，设l与x轴交于点P，
同理可得：△MA1N≌△NB1D1，直线AM解析式为，
∴A1N＝B1D1＝2，A1M＝B1N，
设A1K1＝B1C1＝t，则A1M＝B1N＝t+4，C1D1＝t﹣2，
∴D1（t+4，2﹣t），
∴，解得：，
∴，
∴点；
综上可得：符合条件N点的坐标为或．
25．（10分）如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边BC，AC上一点，BD＝BE．
（1）如图1，过点D作DH⊥BE于点H，且∠CBE＝45°，BD＝2，求EH的长；
（2）如图2，若点F是AB上的一点，连接DF交BE于点G，且∠BGF＝60°，以BD为边向右侧作等边△DBI，连接GI，猜想DG与AE和GI之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，若AB＝3，点F是AB上的一点，连接DF交BE于点G，且∠BGF＝60°，点M是边BC上一点，连接GM，以GM为边向右侧作等边△GMN，连接DN，当BE取最小值时，直接写出DN的最小值．
解：（1）∵DH⊥BE，∠CBE＝45°，
∴△DBH是等腰直角三角形，
∵BD＝2，
∴，
∵BD＝BE，
∴BE＝2，
∴；
（2）DG+AE＝GI；理由如下：
如图2，延长DF至H，使GH＝GB，
∵∠BGF＝60°，
∴△BGH是等边三角形，
∴BG＝BH＝GH，∠GBH＝∠H＝60°，
∴∠HDB＝∠BGF﹣∠DBG＝60°﹣∠DBG＝∠ABE，
∵BD＝BE，
∴∠A＝∠H＝60°，
在△HDB和△ABE中，
，
∴△HDB≌△ABE（AAS），
∴AE＝BH＝GH，
∵△BDI是等边三角形，
∴BI＝BD，∠DBI＝60°，
∴∠GBI＝60°+∠GBD＝∠HBD，
在△GBI和△HBD中，
，
∴△GBI≌△HBD（SAS），
∴DH＝GI，
∴DG+AE＝DG+GH＝DH＝GI；
（3）DN的最小值为．理由如下：
∵当BE取最小值，
∴BE⊥AC，
∵等边△ABC，AB＝3，
∴∠ABE＝∠CBE＝30°，，，
∵∠BGF＝60°，
∴∠BGD＝120°，
以BG为边作等边△PGB，连接PB，NB，PN，
∴∠DGP＝120°﹣60°＝60°，
∵∠BGF＝60°，∠ABE＝30°，
∴∠DFB＝90°，
∴∠GDB＝30°＝∠GBD，
∴GD＝GB＝GP，
∵△GMN是等边三角形，
∴GM＝GN，∠MGN＝60°，
∴∠DGM＝60°﹣∠MGP＝∠PGN，
∴△DGM≌△PGN（SAS），
∴∠GPN＝∠GDM＝30°，
∴∠BPN＝60°﹣∠GPN＝30°，
∴∠BPN＝∠GPN＝30°，
在△BPN和△GPN中，
，
∴△BPN≌△GPN（SAS），
∴NG＝NB，
∴PN是线段BG的垂直平分线，即点N在线段BG的垂直平分线PQ上，
当DN⊥PQ时，DN取得最小值，如图，
此时，点D和点M重合，记GN与BD交于点O，
∵∠GDO＝∠GBO＝30°，∠DGO＝∠BGO＝60°，
∴，
∵，OG2+OD2＝DG2，
即，
∴，
∴，
∴DN的最小值为．
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