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专题02 与圆有关的热考模型
（题型突破·举一反三）
▌题型01 垂径定理
【典例1】
【答案】
【变式1】
【答案】
【变式2】
【答案】2
【变式3】
【答案】
【变式4】
【答案】
▌题型02 弧中点模型
【典例2】
【答案】①②④
【变式1】
【答案】
【变式2】
【答案】
【变式3】
【答案】
【变式4】
【答案】
【变式5】
【答案】
▌题型03 见直径，构造直角三角形
【典例2】
【答案】/30度
【变式1】
【答案】
【变式2】
【答案】
【变式3】
【答案】
▌题型04 点与圆的最值问题
【典例4】
【答案】
【变式1】
【答案】
【变式2】
【答案】或或
【变式3】
【答案】
【变式4】
【答案】
▌题型05 直线与圆的位置关系
【典例5】
【答案】
【变式1】
【答案】/
【变式2】
【答案】．
【变式3】
【答案】
▌题型06 双切线模型
【典例6】
【答案】21
【变式1】
【答案】6
【变式2】
【答案】
【变式3】
【答案】
【变式4】
【答案】
▌题型07 角分图模型
【典例7】
【答案】
教材原题：证明：如图，连接，
，
，
与相切于，
，
，
，
，
，
平分，
（1）这个命题是真命题，理由如下：
如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是半径，
∴为的切线．
（2），
理由如下：如图，在上截取，连接，作于点，
∵平分．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【变式1】
【详解】课本再现：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
课本开发：
（1）如图，连接，
，
．
平分，
．
，
．
．
．
．
．
是的半径，
是的切线．
（2）解：∵，
∴，
如图，过点作于点，连接
∵平分，于点，于点，
∴，
∵在上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
在中，．
【变式2】
【详解】证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵弦平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式3】
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵是的切线，
，
，
，
．
，
，
，
平分．
（2）解：如图2，过O作于点E，
设的半径为x，
，，
，
由（1），可得，
四边形是矩形，
，，则，
∵
，
解得，
的半径是．
【变式4】
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，
由（1）得，，
∴，
∵
∴，，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【变式5】
【详解】（1）作于点，
∵平分，，，
∴，，
又∵是圆内接四边形，
∴，即，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴.
∵，，
∴
∵，
∴；
故答案为：；；
（2），理由如下：
过点作，交的延长线于点，连接，，如图所示：
∵平分，，，
∴，.
∵，，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点作，交的延长线于点，于点，连接，
∵，
∴点在上，
作的内切圆，圆心为点，切点为，连接，，
由（2）可知，四边形是正方形，是对角线，
∵，
∴正方形的边长为，
由（2）可知，，
∴，
∴，
由切线长定理可知，，
∴，
设内切圆的半径为，则，
解得，
即，
在中，，
故答案为：．
▌题型08 三角形内切圆模型
【典例8】
【答案】/0.5
【变式1】
【答案】 10
【变式2】
【答案】2
【变式3】
【答案】
【变式4】
【答案】
【变式5】
【答案】3
▌题型09 弦切角定理
【典例9】
【答案】80°
【变式1】
【答案】任务一：直径所对的圆周角是直角；
任务二：
如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF．
是直径，
，（直径所对的圆周角是直角）
与相切于点，
，
，
，
又和是弧所对的圆周角，
，
．
任务三：3
【变式2】
【详解】（1）证明：∵为直径
∴
∵
∴
∵是的切线
∴
∴
即
∴；
（2）证明：如图，过点作直径交于点，连接，
∵四边形是的内接四边形
∴，即
∵是的切线
∴
∴
即
∵为直径
∴
∵
∴
即
∴
（3）解：连接，
由（1）知，
是直径，
故答案为
▌题型10 四点共圆模型
【典例10】
【答案】
（1）如图，
∴点A、B、C、E四点在同一个圆上；
（2）如图，作经过点A、B、D的，
在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，，
则，
，
．
点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上，
点A、B、C、D四点共圆；
（3）30；（4）；（5）
【变式1】
【答案】（1）①圆的内接四边形的对角互补；②；
（2）；
（3）证明：，
，
∵点E与点C关于的对称，
，
，
，
，
∴A，D，B，E四点共圆；
（4）
【变式2】
【详解】（1）解：连接、，如图：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，，
∴，
故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（2）解：假设点落在外，交于点，连接，
根据结论II可得：，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，相互矛盾，
故点在上；
故答案为：；．
（3）证明：以，，，四点作圆，以，，，四点作圆，连接，
∵，，，四点共圆，
∴，
∵以，，，四点共圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的边上的高．
（4）解：连接，作中点，连接，过作轴交于，如图：
∵的图象与轴交于、两点，与轴交于点，
∴，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，，共圆，即在的外接圆上，
∵，
∴点为的外接圆圆心，
∴，
设直线为，将点和点的坐标代入得：，
解得：，
直线为，
设，，
解得：或（舍去），
∴，
设直线为，将点和点的坐标代入得：，
解得：，
直线为，
∵点横坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为，
此时．
【变式3】
【详解】（1）解：由题意可得：根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，即A，B，C，D共圆，
故答案为：直角三角形斜边中线等于斜边的一半；
（2）证明：假设点C落在⊙O外，交于点E，连接，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角．
∴，相互矛盾，故点在圆上；
（3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、四点作圆，连接，如图：
∵A、E、H、D四点共圆，
∴，
∵B、E、D、C四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即是的高，
故答案为：，B、E、D、C，；
（4）证明：如图，连接由结论可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆，
又∵点D，E，F在同一条直线上，
∴，
∴，
由结论可得点A、B、C、P四点共圆即点P在的外接圆上．
▌题型11 阿基米德折弦定理
【典例11】
【详解】（1）∵是弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∵和所对的弧是，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴折弦的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆，全等三角形，等边三角形的性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，掌握折弦定理的运用．
【变式1】
【答案】(1)
证明：是的中点，
，
，
在中，，
在和中，
，
，
，
，
，
．
(2)
【变式2】（
【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
又∵BA=GC，∠A=∠C，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，
∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，
∴△DCF≌△DBA（SAS），
∴DF=AD，
又∵DE⊥AC，
∴AE=EF，
∵CF=AB=4，AC=10，
∴AE=3；
（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE=AB=4，
则△BDC的周长=2BE+BC=8+8．
故答案为：8+8．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
【变式3】
【详解】（1）解：根据“折弦的中点”定义可得：，
故答案为：．
（2）证法一：如图所示，在上截取，连接、、、．
∵为的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

证法二：如图所示，过点M作的垂线交的延长线于点E，连接、、，
∵为的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．

【点睛】本题为新定义问题，考查了圆周角定理，弧、弦的关系，熟知相关知识，理解题意，根据题意添加适当辅助线构造全等三角形是解题关键．
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网（北京）股份有限公司专题02 与圆有关的热考模型
（题型突破·举一反三）
题型01 垂径定理
题型02 弧中点模型
题型03 见直径，构造直角三角形
题型04 点与圆的最值问题
题型05 直线与圆的最值问题
题型06 双切线模型
题型07 角分图模型
题型08 三角形内切圆模型
题型09 弦切角定理
题型10 四点共圆模型
题型11 阿基米德折弦定理
▌题型01 垂径定理
条件：①AB过圆心O；②CD⊥AB；③AB平分CD（CD不是直径）④AB平分.
模型结论：若已知四个条件中的两个，那么可推出另外两个，简称“知二推二”，解题过程中应灵活运用该定理.
【典例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图1是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧，随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图2是月亮门的示意图，其中，点C为的中点，D为月亮门的最高点，则月亮门底部的宽度d与月亮门所在圆的半径r满足的数量关系为_____．
【答案】
【分析】连接，由为中点，为最高点可得，，设圆半径为，则，，在中，由勾股定理得，代入数据整理即可得到与的关系
【详解】解：连接，
∵为中点，为月亮门最高点，
∴，，
∴，
设圆的半径长为，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
整理得，，
∵为月亮门底部的宽度，
∴，
∴，
∴．
【变式1】（2026·宁夏银川·二模）如图，的直径，点在上，，过点作交于点，则弧的长为________．
【答案】
【分析】连接，根据圆周角定理、垂径定理求出，再根据弧长公式计算即可．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴弧的长．
【变式2】（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）如图，是的直径，是的弦，于点E，若，，则____．
【答案】2
【分析】先求出半径，根据垂径定理可得，在中利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差即可求解．
【详解】解：∵是的直径，，
∴，
∵是的弦，于点E，，
∴，
在中，，
∴．
【变式3】（2026·山东烟台·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______（结果用表示）．
【答案】
【分析】连接，交于点，根据切线的性质得出，根据四边形是矩形，得出，则，垂径定理得出，圆周角定理求出，即可得，则有是等边三角形，然后求出，再根据求解即可．
【详解】解：如图，连接，交于点，
∵边与相切于点，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
．
【变式4】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，是的直径，弦，那么________，________，的周长为________．
【答案】
【分析】根据垂径定理得到，，即可求出的周长．
【详解】解：∵是的直径，弦，
∴，，
∴的周长为．
▌题型02 弧中点模型
【典例2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是半圆的直径，是半圆弧的中点，和均内接于半圆，分别连结、交于点、．若是的中点，给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，正确结论的序号有________．
【答案】①②④
【分析】①根据点是弧的中点得，由此可对结论①进行判断；②证明，由此可对结论②进行判断；③连接，根据点是的中点，得，由此可对结论③进行判断；④连接，根据是半圆弧的中点，得垂直平分，所以，由此可对结论④进行判断．
【详解】解：①∵点是的中点，
，
∴，故①正确；
②∵是半圆的直径，
，
，
是半圆弧的中点，
，
，
，
，
，
，故②正确；
③如图，连接，
∵点是的中点，是半圆弧的中点，
∴，
∵，
，
∴，故③错误；
④如图，连接，
∵是半圆弧的中点，
∴垂直平分，
∴，
在中，根据勾股定理：，
∴，故④正确；
综上所述：正确结论的序号有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，勾股定理等知识点，熟练掌握圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系是解决问题的关键．
【变式1】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______．
【答案】
【分析】证明，，求解，进一步可得答案．
【详解】解：∵点是劣弧中点，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
∵，
∴．
【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，AB是的直径，点C在上．若，D是的中点，则________．
【答案】
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．连接，由，可得出，再由是弧的中点，可得出，从而得出即可．
【详解】解：如图，连接OD．
是的直径，，
．
是的中点，
．
，
，
，
．
故答案为： ．
【变式3】（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，在中，是弦，半径，点是弧的中点，与交于点．若，求弦的长度______．
【答案】
【分析】连接和，根据，可得，结合，可得，．
【详解】解：如图所示，连接和．
∵点是弧的中点，
∴．
∴．
又∵
∴，．
∵，，
∴．
∴．
∴．
【变式4】（2025·浙江杭州·一模）如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留）．
【答案】
【分析】先证明四边形是矩形，再证明得到，得到矩形是正方形，根据阴影部分图形的面积和等于扇形面积减去正方形的面积即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点C是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵， ，
∴，
∴图中阴影部分的面积，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不规则图形的面积的计算，勾股定理，圆心角与弧之间的关系，矩形的判定，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
【变式5】（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，内接于，A为劣弧的中点，，为的直径，连接，若，则的长为 ____________________．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系．先根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，接着根据圆周角定理得到，，然后利用含30度角的直角三角形三边的关系求出，从而得到的长．
【详解】解：为劣弧的中点，
，
，
，
，
为的直径，
，则
在中，，
∴，
．
故答案为：．
▌题型03 见直径，构造直角三角形
【典例2】（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______．
【答案】/30度
【分析】连接，由题意易得，，则有，然后可得是等边三角形，进而问题可求解．
【详解】解：连接，如图所示：
∵过点B作的切线交的延长线于点D，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴．
【变式1】（2026·河南驻马店·三模）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为2，则圆心的坐标是______
【答案】
【分析】如图，连接，证明为的直径，可得，，，可得，，进一步可得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴为的直径，
∵的半径为2，
∴，，，
∴，，
∵为的中点，
∴．
【变式2】（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸．
【答案】
【分析】连接，由矩形的性质得，即得是的直径，再利用勾股定理解答即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴是的直径，
∴寸，
∵寸，
∴(寸)．
【变式3】（2026·河南洛阳·三模）如图，在正方形的墙上有一个圆弧形的门洞，小明测得圆弧门落在地面上的弦为，而他从点E处作的垂线交圆弧门于点G，．由此算得圆弧门的面积为________．（结果保留）
【答案】
【分析】连接，取的中点，连接，由题意易得是的直径，，然后可得，进而根据割补法及扇形面积公式可进行求解．
【详解】解：连接，取的中点，连接，如图所示：
∵，
∴，
∴是的直径，
∵，
∴，
∴，
∴圆弧门的面积为．
▌题型04 点与圆的最值问题
【典例4】（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________．
【答案】
【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和．
【详解】解：的半径为，，
，即点在内，
点到上各点的最大距离为．
【变式1】（25-26八年级下·北京·期末）如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________．
【答案】
【分析】将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，作的中点，连接，利用旋转的性质进一步证明，得到，确定点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，利用圆外一点到圆上的最短距离求解．
【详解】解：如图所示，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，
取的中点，连接，
，
∵四边形是边长为2的正方形，
∴，
∵，
∴点共线，
∵,
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵E是的中点，为的中点，，
∴，，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵点为定点，为定长，
∴点是在以点为圆心，半径为半径的圆上运动，
∴，
∴的最小值为．
【变式2】（2026·江西上饶·三模）如图，在平面直角坐标系中，，为轴上两个动点，且坐标原点为线段的中点，点在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，连接，当线段的长为整数时，线段的长为______．
【答案】或或
【分析】根据点到圆上一点的最值，求出线段的最小值和最大值，即可求出线段的整数值，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出线段的长．
【详解】解：如图，连接交于点，，
∵点在以为圆心，1为半径的上运动，
的最小值为线段的长，的最大值为线段的长．
∵，
，
，，
∴．
∵线段的长为整数，
∴或或．
∵，为线段的中点，
，
∴或10或12．
【变式3】（2026·山东潍坊·二模）如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】由点为矩形内一个动点，且得点在以为直径的圆上（矩形内部的一段弧），要求的最小值，即求的最小值，当三点共线时，的值最小，由勾股定理求出，可得的最小值为，根据三角形中位线定理可得的最小值为．
【详解】解：∵点为矩形内一个动点，且，
∴点在以为直径的圆上（矩形内部的一段弧），如图，
设的中点为O，则O是圆心，半径，连接
∵M、N分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，
因此，要求的最小值，即求的最小值，
当三点共线时，的值最小，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即的最小值为．
【变式4】（2026·广西河池·二模）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点，连接，则线段长度的最小值为__________．
【答案】
【分析】先由题意，确定点的运动轨迹，再由点与圆上一点的最值问题得到线段长度的最小值为，连接，在中，由勾股定理求出长即可得到答案．
【详解】解：点是边上的一个动点，于点，，
点在以中点为圆心、为半径的半圆上运动，如图所示：
连接，如图所示：则由点与圆上一点的最值问题可知，线段长度的最小值为，
在矩形中，，，
则在中，，，由勾股定理可得，
线段长度的最小值为．
▌题型05 直线与圆的位置关系
【典例5】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为_______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，三角形的面积公式，直线和圆的位置关系，求出圆心到的距离是解的关键．连接，过点作于，先求出的坐标，根据面积桥求出到的距离，再确定点到的最小距离，最后即可求出面积的最小值．
【详解】解：如图，连接，过点作于，
对于抛物线，令，，
解得，
，
令，，则，
，
点，
，
，即点到的距离为，
，
点到的最小距离为，
的面积的最小值，
故答案为：．
【变式1】（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________．
【答案】/
【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，，则，
∵E为边的中点，
∴，
∵沿翻折得，
∴，
∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小，
过C作于N，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴面积的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键．
【变式2】（2021·福建龙岩·二模）直线与轴、轴分别交于A和B点，圆心为（0，2）且与轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为______．
【答案】．
【分析】过点作交于点，与圆交于点，根据直线与轴、轴分别交于和点，可得点坐标是（0，-2），点坐标是（-4，0），则有，，，再根据圆心为（0，2）的圆与轴相切，可得,，根据,可求得，利用，可求得结果．
【详解】解：如图示，过点作交于点，与圆 交于点，则点为所求，
直线与轴、轴分别交于 和点，
∴当时，，
∴点坐标是（0，-2），
∴当时，，
∴点坐标是（-4，0），
∴，，
∴，
又∵圆心为（0，2）的圆与轴相切，
∴,，
∴，
∴，
∴，
故答案是：．
【点睛】本题综合考查了一次函数图象性质，勾股定理，三角形的面积，求出圆心到直线的距离是解题的关键．
【变式3】如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是_____．
【答案】
【分析】作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ,切点为Q，此时切线长PQ最小.
根据全等三角形的性质可得，再由勾股定理可求出PQ的值.
【详解】如图，作AP⊥直线，垂足为P，作⊙A的切线PQ,切点为Q，此时切线长PQ最小.
∵A的坐标为（-1,0）
设直线与x轴，y轴分别交于C,D,
在和中
故答案为
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系和最短距离问题，能够作出辅助线，找出全等三角形是解题的关键.
▌题型06 双切线模型
【典例6】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为18，则直角梯形的周长为_______ ．
【答案】21
【分析】根据切线长定理得到，根据三角形周长公式求出正方形的边长，再根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设，正方形的边长为a，
∵与半圆O切于点F，
∴，，
∵的周长为18，
∴，
∴，
∴，
在中，，
而，，，
∴，
解得：，
∴，
∴直角梯形的周长为：．
【变式1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交于点．若的周长为12，则的长为___________．
【答案】6
【分析】本题主要考查切线长定理．解题的关键在于利用切线长定理得出线段间的等量关系，进而将△的周长转化为与相关的表达式来求解．本题可根据切线长定理，将△的周长转化为与、有关的线段长度，再结合与的关系求解的长．
【详解】解：由题意可得：．．
同理，，是的切线，切点分别为，，
．
．
．
又，
．
△的周长为12，即，
，可得，
解得．
故答案为：6
【变式2】（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）如图，的直径，和是的两条切线，与的相切于点，并与分别相交于两点．
（1）的大小为___________度；
（2）设，则关于的函数解析式为___________．
【答案】
【分析】本题主要考查切线的性质，切线长定理，勾股定理，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，再找出线段间的关系．
（1）连接，则，证明，，再证明，可得，进而可得结论；
（2）过点D作于点F，证明四边形为矩形，则，，由切线长定理得，，；则；由勾股定理得，则整理得，即可求出答案．
【详解】解：（1）连接，则，
又和是的两条切线，是的直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点D作于点F，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∵分别是的切线，
∴，；
∴，
由勾股定理得，
即，
整理得，
∴，
故答案为：（1）（2）．
【变式3】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图所示，过半径为的外一点P引圆的切线，，连接交于F，过F作的切线，交，分别于D，E，如果，，则的度数________．
【答案】
【分析】本题主要考查切线长定理以及切线的性质，利用全等三角形证明角度的等量关系是解题的关键．
根据切线的性质，可得，结合，可计算出的度数，结合切线长定理，可知，可证明，故，同理可证，根据角度关系易得，最终求出的度数．
【详解】解：连接、，如下图所示：
∵、、为的切线，
∴、、、，
∵、，，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
在四边形中，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【变式4】（25-26九年级上·黑龙江·阶段检测）如图，的半径为2，，是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为______．
【答案】
【分析】本题考查切线长定理、特殊角三角函数值、勾股定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
根据，是⊙O的两条切线可得、、，进而证得是等边三角形，得到和，根据勾股定理求出的长，从而求得的周长．
【详解】解：，是半径为2的的两条切线，
、、
是等边三角形
平分
在中，由勾股定理得，
的周长为
故答案为：．
▌题型07 角分图模型
【典例7】（2025·内蒙古赤峰·一模）【问题情境】一次数学活动课上，同学们对教材P．102习题12作了深入研讨．
【教材原题】如图，为的直径，与相切于，于．求证：平分．
（1）【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下．
如图，为的直径，为上一点，于，平分．那么为的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据．
（2）【问题拓展】思进小组同学发现，原题记与交于，三条线段，，有特定的数量关系．请你写出这个数量关系并说明理由．
【答案】
教材原题：证明：如图，连接，
，
，
与相切于，
，
，
，
，
，
平分，
（1）这个命题是真命题，理由如下：
如图，连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
是半径，
∴为的切线．
（2），
理由如下：如图，在上截取，连接，作于点，
∵平分．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【分析】（1）先证明原命题正确，再证明，又由是半径，则为的切线．即可证明命题是真命题；
（2）如图，在上截取，连接，作于点，证明，则，证明，则，证明，则，即可证明结论成立；
【详解】教材原题：略
（1）略
（2）略
【点睛】此题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，添加合适的辅助线是解题的关键．
【变式1】（24-25九年级上·江西赣州·阶段检测）【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题：（完成该题，并解答习题改编）
12．如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．求证：平分．
【课本开发】一次数学课上，邓老师引导同学们一起对课本习题进行改编．
（1）如下是同学小安改编的题目：
如图1，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答同学小安改编的题目．
（2）同学小耿在同学小安的基础上进行了如下改编：
如图2，连接交于点，若，，求的长．请你利用所学知识解答同学小耿改编的题目．
【答案】课本再现：见解析；课本开发：（1）见解析；（2）
【分析】课本再现：连接，证明，，得出，再证明，，即可求值；
课本开发：（1）连接，先判定，根据推出即可求解；
（2）结合角平分线的性质得，运用圆内接四边形性质，得，证明，分别运用勾股定理算出，即可得到的长，再用勾股定理即可求出．
【详解】课本再现：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
课本开发：
（1）如图，连接，
，
．
平分，
．
，
．
．
．
．
．
是的半径，
是的切线．
（2）解：∵，
∴，
如图，过点作于点，连接
∵平分，于点，于点，
∴，
∵在上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
在中，．
【点睛】本题考查了圆的切线判定定理，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆内接四边形等知识，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点．求证．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查的是切线的性质，平行线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
连接，根据切线的性质得到，证明，根据平行线的性质证明即可．
【详解】证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵弦平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式3】（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，C是上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)3.4
【分析】（1）根据切线的性质得到，推出，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形性质得到，最后利用等量代换，即可解题．
（2）作于点E，证明四边形是矩形，设的半径为x，则，，利用勾股定理求出，即可解题．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵是的切线，
，
，
，
．
，
，
，
平分．
（2）解：如图2，过O作于点E，
设的半径为x，
，，
，
由（1），可得，
四边形是矩形，
，，则，
∵
，
解得，
的半径是．
【点睛】本题考查了切线的性质、等腰三角形性质、矩形的性质和判定、勾股定理、平行线的判定与性质等，熟练掌握相关知识并灵活运用，即可解题．
【变式4】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是的切线，交于点，圆心在上，经过点，的分别交，于点，．
(1)求证：平分；
(2)若，的半径为，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等，正确作出辅助线是解题的关键．
（）连接，可证，得到，又由得到，即可求证；
（）连接，由直角三角形的性质可得，即得，再根据为等边三角形得到，又由直角三角形的性质得，进而根据线段的和差关系即可求解；
【详解】（1）证明：连接，
∵是的切线
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，
由（1）得，，
∴，
∵
∴，，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【变式5】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）【特例感知】
（1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点，，若，，则______，______．
【类比迁移】
（2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点，过点作，垂足为，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点，若，，，则的内心与外心之间的距离为______．
【答案】（1）； （2），理由见解析 （3）
【分析】（1）如图①中，作于F，根据角平分线的性质得到，然后证明，即可得到，然后根据勾股定理求出长，再由面积法求出即可解题；
（2）过点作，交的延长线于点，连接，，证明，推出，然后证明，推出即可解决问题；
（3）过点作，交的延长线于点，于点，连接，由（2）可知：四边形是正方形，是对角线，作的内切圆，圆心为M，N为切点，连接，．由切线长定理可知：，推出，由面积法可知内切圆半径为，在中，理由勾股定理即可解决问题；
【详解】（1）作于点，
∵平分，，，
∴，，
又∵是圆内接四边形，
∴，即，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴.
∵，，
∴
∵，
∴；
故答案为：；；
（2），理由如下：
过点作，交的延长线于点，连接，，如图所示：
∵平分，，，
∴，.
∵，，
∴.
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）如图，过点作，交的延长线于点，于点，连接，
∵，
∴点在上，
作的内切圆，圆心为点，切点为，连接，，
由（2）可知，四边形是正方形，是对角线，
∵，
∴正方形的边长为，
由（2）可知，，
∴，
∴，
由切线长定理可知，，
∴，
设内切圆的半径为，则，
解得，
即，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
▌题型08 三角形内切圆模型
【典例8】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，点在边上，扇形与边相切于点，点，分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为___________．
【答案】/0.5
【分析】连接，根据切线的性质得到，进而得到四边形是矩形，则，再证明，得到，则，设，，则，，根据完全平方公式求出，再根据三角形的内切圆半径公式即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵矩形，
∴，
∵扇形与边相切于点，
∴，即，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，则，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵是的内切圆，
∴的半径．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、切线的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的内切圆、完全平方公式的应用，熟练掌握三角形内切圆半径公式是解题的关键．
【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，等边的顶点分别在等边的三边上，若和的边长分别是6和4，则的周长是___________，的内切圆的半径是___________．
【答案】 10
【分析】证明，得到，进而得到的周长为，设的内切圆为，切点分别为，连接，根据切线长定理，结合线段的和差关系求出的长，含30度角的直角三角形的性质，求出的长，即可得出结果．
【详解】解：∵为等边三角形，边长为6，
∴，，
∵为等边三角形，边长为4，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴的周长；
设的内切圆为，切点分别为，连接，则，，，
∴
；
∴，
∴，
在中，，
∴ ，
∴，即的内切圆的半径是；
故答案为：10，．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的内切圆，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【变式2】（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____．
【答案】2
【分析】本题主要考查切线长定理和直角三角形内切圆半径的求法，求解直角三角形内切圆半径是解题的关键．
首先利用切线长定理求出三角形各边的长度，然后验证出三角形为直角三角形，进而根据等面积法计算半径即可．
【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，，，
∴，，，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∴
∴是直角三角形，
设内切圆的半径为
∴
即
解得，
故答案为：．
【变式3】（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，已知是等边的内切圆，若的半径为2，则的面积为_______．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，等边三角形的性质、含的直角三角形性质等知识点，内切圆的圆心是三角形角平分线交点是解题的关键．
连接、连接并延长交于点，在直角中，，利用含的直角三角形性质求解出，进而求出等边的边长和高，由此即可解题．
【详解】解：连接、连接并延长交于点，
∵等边，
∴，
又∵是等边的内切圆，
∴是的角平分线，即，，
，，
又∵是的切线，的半径为2，
∴是切点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为．
【变式4】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）在中，，点为三角形内心，则______________．
【答案】
【分析】本题考查三角形的内心，三角形内角和定理，掌握三角形内心即三角形角平分线的交点是解题的关键．根据内心的定义得到，，在和中，分别根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：点为三角形内心，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【变式5】（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）设两直角边分别为的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则________．
【答案】3
【分析】本题考查求直角三角形的外接圆和内切圆的半径，先利用勾股定理计算斜边长，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直角边之和与斜边差的一半，求出R和r，最后求差即可．
【详解】解：∵两直角边分别为的直角三角形，
∴斜边长为，
∵直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点，
∴，
∵直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和与斜边差的一半，
∴，
∴；
故答案为：3．
▌题型09 弦切角定理
弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数.
【典例9】（2020·湖北黄石·一模）已知一个圆的弦切角等于40°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数是______．
【答案】80°
【分析】根据题意画出图形，利用切线的性质与等腰三角形的性质可得答案．
【详解】解：如图，为的切线，切点为，
故答案为：80°．
【点睛】本题考查了切线的性质定理，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
【变式1】（2025·山西晋中·一模）阅读与思考
圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） ……
请你认真阅读以上内容，完成下列任务：
任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________；
任务二：请结合图2补全上述证明过程；
任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________．
【答案】任务一：直径所对的圆周角是直角；
任务二：
如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF．
是直径，
，（直径所对的圆周角是直角）
与相切于点，
，
，
，
又和是弧所对的圆周角，
，
．
任务三：3
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，是解题的关键：
任务一：根据直径所对的圆周角是直角进行作答即可；
任务二：根据切线的性质，同角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；
任务三：圆周角定理，结合中垂线的判定和性质，推出，三线合一，得到，证明，求出的长，进而得到的长即可．
【详解】任务一：依据是直径所对的圆周角是直角．
任务二：略
任务三：∵是直径，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵是切线，
∴由任务二可知：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∴的半径为3．
【变式2】（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），知道了弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．【证明】
在证明时，细心的小高考虑了三种情况，圆心在弦切角的一条边上，圆心在弦切角外，圆心在弦切角内．如图1，与相切于点，为直径，当圆心在上时，容易得到，所以弦切角，请帮助小高继续解决下面的问题．
(1)如图2，是的切线，为切点，为直径，夹弧所对的圆周角为，求证：
(2)如图3，是的切线，为切点，夹弧所对的圆周角为．求证；
【解决问题】
(3)如图4，中，，以为直径的交于点，过点作的切线交的延长线于点，直接写出与的数量关系：______
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据切线的性质得，根据圆周角定理得，再根据同角的余角相等，可得结论；
（2）作直径，连接，由（1）同理得，，再根据同弧所对的圆周角相等，即可证明结论；
（3）连接，由（1）知，，再利用等腰三角形的性质，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵为直径
∴
∵
∴
∵是的切线
∴
∴
即
∴；
（2）证明：如图，过点作直径交于点，连接，
∵四边形是的内接四边形
∴，即
∵是的切线
∴
∴
即
∵为直径
∴
∵
∴
即
∴
（3）解：连接，
由（1）知，
是直径，
故答案为
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，将一般情况转化为特殊情形是解题的关键．
▌题型10 四点共圆模型
【典例10】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证．
【验证猜想】
已知：四边形中，
求证：A、B、C、D四点共圆
证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内
若点C在外，如图1，设交于，连接，则．
四边形是的内接四边形，
．
，
与矛盾，故点C不可能在圆外；
若点C在圆内，
……
（1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明；
【深入探究】
得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究：
（2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）；
【结论应用】
应用以上结论，解决下列问题：
（3）如图4，在四边形中，，，则________；
（4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数；
【拓展延伸】
（5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）．
【答案】
（1）如图，
∴点A、B、C、E四点在同一个圆上；
（2）如图，作经过点A、B、D的，
在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，，
则，
，
．
点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上，
点A、B、C、D四点共圆；
（3）30；（4）；（5）
【分析】（1）由圆的内接四边形可得，即可求解；
（2）通过点A、B、C、E四点在同一个圆上，可得点C在点A、B、D所确定的上，即可求解；
（3）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得；
（4）通过证明点A、、E、C四点共圆，可得，由三角形内角和定理可求解；
（5）通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得，当是直径时，有最大值，即四边形的周长有最大值，即可求解．
【详解】解：（1）若点C在内，如图，延长设交于，
连接，则．
四边形是的内接四边形，
，
，
与矛盾，故点C不可能在圆内，
∴点C在圆上，
∴点A、B、C、E四点在同一个圆上；
（2）如图，作经过点A、B、D的，
在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，，
则，
，
．
点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上，
点A、B、C、D四点共圆；
（3）∵，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴，
故答案为：30；
（4）由对称可知，，
，
，
由（2）可知，点A、、E、C四点共圆．
，
中，，
；
（5）如图，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴，弦最大值是直径长，
以为边在上方作等边三角形，连接，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴A，E，D三点共线，
∴，
∵四边形周长，
∴当是直径时，四边形的周长有最大值，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了四点共圆，圆周角定理，圆内接四边形的性质，反证法，等边三角形的判定与性质等知识点．
【变式1】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在《2.4圆周角》这一课中，我们学习了“圆的内接四边形的对角互补”这条性质，学习小组在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”也是正确的．
请同学们在此基础上继续展开后续探究：
【提出问题】
如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，．
试探究：如果，那么、、、四点在同一圆上．
证明：如图2所示，作经过点、、的，在劣弧上取一点（不与、重合），连接，，
，（①______________）
，
②___________，
点、、、四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点、在点、、所确定的上，
点、、、四点在同一个圆上．
结论：在线段同侧有两点、，连接，，，，
如果，那么、、、四点共圆．

补全上述说理过程：
①______________；②______________．
【结论应用】
（2）如图3，在四边形中，，，则的度数为________．
（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接，作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．
求证：、、、四点共圆；

【拓展延伸】
（4）如图5，在四边形中，连接，，，则四边形周长的最大值为__________．（直接写出答案）

【答案】（1）①圆的内接四边形的对角互补；②；
（2）；
（3）证明：，
，
∵点E与点C关于的对称，
，
，
，
，
∴A，D，B，E四点共圆；
（4）
【分析】（1）根据探究展示过程和圆的性质，确定圆的条件填空即可；
（2）由【提出问题】可知A，B，C，D共圆，从而．
（3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到即可证明结论；
（4）在上取一点M，使得，连接，证明、是等边三角形，再证明即可求出．
【详解】解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆的内接四边形的对角互补；
②，（①___圆的内接四边形的对角互补）
，
，
故答案为：①圆的内接四边形的对角互补；②；
（2）由【提出问题】可知，且在线段同侧，
∴A，B，C，D共圆，
∵是同弧所对的圆周角，
，
故答案为：．
（3）略
（4）如图，连接，在上取一点M，使得．
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
， ，
A、B、C、D四点共圆，
，
，
，
，
四边形的周长，
，
当最大时，四边形的周长最大，
当为的外接圆的直径时，四边形的周长最大，
为的外接圆的直径，
，
，
，
四边形的周长．
【点睛】本题考查四点共圆，解题的关键是读懂【材料阅读】，掌握圆的相关性质并能灵活运用．
【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的个顶点共圆（图1、2）；
II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的个顶点共圆（图3）；
III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）．
【结论证明】（1）在图1、2中，取的中点，根据______得，即，，，共圆；
（2）在图3中，画经过点，，（图5）．假设点落在外，交于点，连接，可得___，与已知条件___得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论III同理可证．
【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题：
（3）证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高．
（4）如图7，若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，为第二象限上的点，在直线上，且；若为轴上方抛物线上的一动点，令点横坐标为，当为何值时，的面积最大，求出此时点坐标和最大面积．
【答案】（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）；；（3）见解析；（4）时，有最大值为，此时
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）根据结论II可得：，根据得出，根据三角形的外角大于与它不相邻的任一个内角得出，相互矛盾，即可证明点在上；
（3）以，，，四点作圆，以，，，四点作圆，连接，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得出，，推得，根据对顶角相等可得，根据三角形内角和定理得出，即可证明；
（4）连接，作中点，连接，过作轴交于，先求出点、、的坐标，根据勾股定理求出，根据中点坐标的公式求出点的坐标，根据等腰直角三角形的定义可推得，根据结论III可得，，，，共圆，即在的外接圆上，推得点为的外接圆圆心，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，根据待定系数法求出直线的解析式为，根据坐标系中两点间的距离公式列出方程，求出的值，得出点的坐标；根据待定系数法求出直线的解析式为，根据点的横坐标得出，，求出，根据三角形的面积公式可得，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：连接、，如图：
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，，
∴，
故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（2）解：假设点落在外，交于点，连接，
根据结论II可得：，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，相互矛盾，
故点在上；
故答案为：；．
（3）证明：以，，，四点作圆，以，，，四点作圆，连接，
∵，，，四点共圆，
∴，
∵以，，，四点共圆，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是的边上的高．
（4）解：连接，作中点，连接，过作轴交于，如图：
∵的图象与轴交于、两点，与轴交于点，
∴，，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，，共圆，即在的外接圆上，
∵，
∴点为的外接圆圆心，
∴，
设直线为，将点和点的坐标代入得：，
解得：，
直线为，
设，，
解得：或（舍去），
∴，
设直线为，将点和点的坐标代入得：，
解得：，
直线为，
∵点横坐标为，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值为，
此时．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形外角性质，圆与四边形的综合应用，待定系数法求一次函数的解析式，两点间的距离，中点坐标，二次函数的综合应用等，解题的关键是用含字母的代数式表示相关的点坐标、线段长度及三角形面积．
【变式3】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？
．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）；
．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）；
．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）．
(1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆，
(2)在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上；
(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点；
已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F．
求证：是的高．（连接，补全以下证明框图）
(4)如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上．
【答案】(1)直角三角形斜边中线等于斜边的一半；
(2)见解析；
(3)，B、E、D、C，；
(4)见解析；
【分析】本题考查四边形外接圆的综合问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角性质等知识，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用．
（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）根据结论可知，再利用得到，利用外角性质可得，相互矛盾即可证明点C在圆上；
（3）以四点作圆，以四点作圆，连接，得到，，再利用，得到，即可证明；
（4）连接，由结论可得点四点共圆，点四点共圆，证明，由结论可得点四点共圆，即点在的外接圆上．
【详解】（1）解：由题意可得：根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得，即A，B，C，D共圆，
故答案为：直角三角形斜边中线等于斜边的一半；
（2）证明：假设点C落在⊙O外，交于点E，连接，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角．
∴，相互矛盾，故点在圆上；
（3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、四点作圆，连接，如图：
∵A、E、H、D四点共圆，
∴，
∵B、E、D、C四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即是的高，
故答案为：，B、E、D、C，；
（4）证明：如图，连接由结论可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆，
又∵点D，E，F在同一条直线上，
∴，
∴，
由结论可得点A、B、C、P四点共圆即点P在的外接圆上．
▌题型11 阿基米德折弦定理
模型结论：如图，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，AB>BC，点M是弧ABC的中点，过点M作MD⊥AB于点D，则AD=DB+BC，AB-BC=2DB.
【典例11】（22-23九年级上·山西阳泉·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（年～年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理： 如图1，和是的两条弦（即折线是固的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2．作射线，垂足为，连接，，． ∵是弧的中点， ∴．…

任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)填空：如图3，已知等边内接于，为上一点，，于点，，则折弦的长是______．

【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）根据圆的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，则，根据全等三角形的判定和性质，则，得，。再根据直角三角形的全等和判定，得，推出，即可；
（2）根据等边三角形的性质，则，，根据，于点，，得；由题意得，，则折弦的长为：，即可．
【详解】（1）∵是弧的中点，
∴，
∵，
∴，
∵和所对的弧是，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴折弦的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆，全等三角形，等边三角形的性质，解题的关键是掌握圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用，掌握折弦定理的运用．
【变式1】（2025·广东清远·一模）请阅读材料，并完成下列问题．
阿基米德折弦定理
阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即．
(1)下面是用“截长法”证明的部分过程．
证明：如图2，在上截取，连接．
是的中点，
．
．
．．．
请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分．
(2)在图1中，若，求的半径．
【答案】(1)
证明：是的中点，
，
，
在中，，
在和中，
，
，
，
，
，
．
(2)
【分析】本题主要考查圆与三角形的综合，掌握同弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，数形结合，合理作出辅助线是关键．
（1）根据题意可证，可得，由垂直平分线得到，由即可求解；
（2）如图，过点作于点，于点，连接，，，由（1）可知，可证四边形是矩形，，则，由即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，过点作于点，于点，连接，，，
由（1）可知，
过圆心且，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
．
【变式2】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________；
(3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．
【答案】(1)见解析
(2)3
(3)8+8
【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，证明△DCF≌△DBA（SAS），得到DF=AD，根据等腰三角形三线合一的性质得到AE=EF，由此得到AE；
（3）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，
∴MA=MC．
又∵BA=GC，∠A=∠C，
∴△MBA≌△MGC（SAS），
∴MB=MG，
又∵MD⊥BC，
∴BD=GD，
∴DC=GC+GD=AB+BD；
（2）在AC上截取CF=AB，连接BD、CD、AD、DF，
∵BD=CD，∠DCF=∠DBA，CF=BA，
∴△DCF≌△DBA（SAS），
∴DF=AD，
又∵DE⊥AC，
∴AE=EF，
∵CF=AB=4，AC=10，
∴AE=3；
（3）解：如图3，在BD上截取BF=CD，连接AF，AD，CD，
由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，
∴△ABF≌ACD（SAS），
∴AF=AD，
∵AE⊥BD，
∴FE=DE，则CD+DE=BE，
∵∠ABD=45°，
∴BE=AB=4，
则△BDC的周长=2BE+BC=8+8．
故答案为：8+8．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，圆周角定理，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
【变式3】（2023·内蒙古包头·三模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．
其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．

(1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________．
(2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据“折弦的中点”定义可得：；
（2）证法一：在上截取，连接、、、．先证明，再证明，得到，进而证明，即可证明；
证法二：过点M作的垂线交的延长线于点E，连接、、，先证明，，再证明，得到，再证明，得到，即可证明．
【详解】（1）解：根据“折弦的中点”定义可得：，
故答案为：．
（2）证法一：如图所示，在上截取，连接、、、．
∵为的中点，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；

证法二：如图所示，过点M作的垂线交的延长线于点E，连接、、，
∵为的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．

【点睛】本题为新定义问题，考查了圆周角定理，弧、弦的关系，熟知相关知识，理解题意，根据题意添加适当辅助线构造全等三角形是解题关键．
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网（北京）股份有限公司专题02 与圆有关的热考模型
（题型突破·举一反三）
题型01 垂径定理
题型02 弧中点模型
题型03 见直径，构造直角三角形
题型04 点与圆的最值问题
题型05 直线与圆的最值问题
题型06 双切线模型
题型07 角分图模型
题型08 三角形内切圆模型
题型09 弦切角定理
题型10 四点共圆模型
题型11 阿基米德折弦定理
▌题型01 垂径定理
条件：①AB过圆心O；②CD⊥AB；③AB平分CD（CD不是直径）④AB平分.
模型结论：若已知四个条件中的两个，那么可推出另外两个，简称“知二推二”，解题过程中应灵活运用该定理.
【典例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图1是中国传统园林建筑中的月亮门，拱门的上部分是圆的一段弧，随着四季更迭，半遮半掩之间，便将丝丝景致幻化成诗情画意．图2是月亮门的示意图，其中，点C为的中点，D为月亮门的最高点，则月亮门底部的宽度d与月亮门所在圆的半径r满足的数量关系为_____．
【变式1】（2026·宁夏银川·二模）如图，的直径，点在上，，过点作交于点，则弧的长为________．
【变式2】（25-26九年级下·四川南充·阶段检测）如图，是的直径，是的弦，于点E，若，，则____．
【变式3】（2026·山东烟台·二模）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______（结果用表示）．
【变式4】（25-26九年级下·全国·单元复习）如图，是的直径，弦，那么________，________，的周长为________．
▌题型02 弧中点模型
【典例2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，是半圆的直径，是半圆弧的中点，和均内接于半圆，分别连结、交于点、．若是的中点，给出下面四个结论：
①；②；③；④．
上述结论中，正确结论的序号有________．
【变式1】（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，是的内接三角形，，点是劣弧中点，连接，，其中交于点，若，，则的长为______．
【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，AB是的直径，点C在上．若，D是的中点，则________．
【变式3】（2026九年级上·四川南充·专题练习）如图，在中，是弦，半径，点是弧的中点，与交于点．若，求弦的长度______．
【变式4】（2025·浙江杭州·一模）如图，在扇形中，过的中点作，垂足分别为．已知，则图中阴影部分的面积为_____（结果保留）．
【变式5】（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，内接于，A为劣弧的中点，，为的直径，连接，若，则的长为 ____________________．
▌题型03 见直径，构造直角三角形
【典例2】（2026·北京·模拟预测）如图，为的直径，点C在上，连接、，过点B作的切线交的延长线于点D．若，则的大小为______．
【变式1】（2026·河南驻马店·三模）如图，过原点，分别与轴、轴交于点和点，点在上，已知的半径为2，则圆心的坐标是______
【变式2】（2026·江苏南通·二模）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一道题：今有圆材，径二尺五寸，欲为方放，令厚七寸，问：广几何？用数学语言可表述为：如图，的直径为寸，矩形内接于，若寸，则______寸．
【变式3】（2026·河南洛阳·三模）如图，在正方形的墙上有一个圆弧形的门洞，小明测得圆弧门落在地面上的弦为，而他从点E处作的垂线交圆弧门于点G，．由此算得圆弧门的面积为________．（结果保留）
▌题型04 点与圆的最值问题
【典例4】（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________．
【变式1】（25-26八年级下·北京·期末）如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________．
【变式2】（2026·江西上饶·三模）如图，在平面直角坐标系中，，为轴上两个动点，且坐标原点为线段的中点，点在以为圆心，1为半径的上运动，且始终满足，连接，当线段的长为整数时，线段的长为______．
【变式3】（2026·山东潍坊·二模）如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________．
【变式4】（2026·广西河池·二模）如图，在矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，过点作于点，连接，则线段长度的最小值为__________．
▌题型05 直线与圆的位置关系
【典例5】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期末）二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点为圆心半径为1的上有一动点D，则面积的最小值为_______．
【变式1】（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为________．
【变式2】（2021·福建龙岩·二模）直线与轴、轴分别交于A和B点，圆心为（0，2）且与轴相切的圆上有一动点P，则点P到直线AB的距离的最小值为______．
【变式3】如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为（﹣1，0），半径为1，点P为直线y＝﹣x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是_____．
▌题型06 双切线模型
【典例6】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，以正方形的边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交边于点E，若的周长为18，则直角梯形的周长为_______ ．
【变式1】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）如图，与相切于点，与相切于点，为上一点，过点与相切的直线分别交于点．若的周长为12，则的长为___________．
【变式2】（25-26九年级上·天津宝坻·阶段检测）如图，的直径，和是的两条切线，与的相切于点，并与分别相交于两点．
（1）的大小为___________度；
（2）设，则关于的函数解析式为___________．
【变式3】（25-26九年级上·天津·阶段检测）如图所示，过半径为的外一点P引圆的切线，，连接交于F，过F作的切线，交，分别于D，E，如果，，则的度数________．
【变式4】（25-26九年级上·黑龙江·阶段检测）如图，的半径为2，，是⊙O的两条切线，切点分别为A，B．连接，，，，若，则的周长为______．
▌题型07 角分图模型
【典例7】（2025·内蒙古赤峰·一模）【问题情境】一次数学活动课上，同学们对教材P．102习题12作了深入研讨．
【教材原题】如图，为的直径，与相切于，于．求证：平分．
（1）【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下．
如图，为的直径，为上一点，于，平分．那么为的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据．
（2）【问题拓展】思进小组同学发现，原题记与交于，三条线段，，有特定的数量关系．请你写出这个数量关系并说明理由．
【变式1】（24-25九年级上·江西赣州·阶段检测）【课本再现】如下，是人教版九年级上册课本102页的第12题：（完成该题，并解答习题改编）
12．如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为．求证：平分．
【课本开发】一次数学课上，邓老师引导同学们一起对课本习题进行改编．
（1）如下是同学小安改编的题目：
如图1，为的直径，为上一点，于点，平分．求证：是的切线．请你利用所学知识解答同学小安改编的题目．
（2）同学小耿在同学小安的基础上进行了如下改编：
如图2，连接交于点，若，，求的长．请你利用所学知识解答同学小耿改编的题目．
【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，是的直径，弦平分，过点的切线交于点．求证．
【变式3】（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，为的直径，C是上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
(1)求证：平分；
(2)若，，求的半径长．
【变式4】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，是的切线，交于点，圆心在上，经过点，的分别交，于点，．
(1)求证：平分；
(2)若，的半径为，求的长度．
【变式5】（25-26九年级上·江苏宿迁·期中）【特例感知】
（1）如图1，是的圆周角，为直径，平分交于点，，若，，则______，______．
【类比迁移】
（2）如图2，是的圆周角，为的弦，平分交于点，过点作，垂足为，探索线段、、之间的数量关系，并说明理由．
【问题解决】
（3）如图3，是的圆周角，为的弦，平分交于点，若，，，则的内心与外心之间的距离为______．
▌题型08 三角形内切圆模型
【典例8】（25-26九年级上·江苏南京·期末）如图，在矩形中，点在边上，扇形与边相切于点，点，分别在，边上，是的内切圆．若，，，则的半径为___________．
【变式1】（25-26九年级上·湖北武汉·期末）如图，等边的顶点分别在等边的三边上，若和的边长分别是6和4，则的周长是___________，的内切圆的半径是___________．
【变式2】（25-26九年级上·广西钦州·阶段检测）如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____．
【变式3】（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，已知是等边的内切圆，若的半径为2，则的面积为_______．
【变式4】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）在中，，点为三角形内心，则______________．
【变式5】（25-26九年级上·山东东营·阶段检测）设两直角边分别为的直角三角形的外接圆和内切圆的半径长分别为R和r，则________．
▌题型09 弦切角定理
弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数.
【典例9】（2020·湖北黄石·一模）已知一个圆的弦切角等于40°，那么这个弦切角所夹的弧所对的圆心角的度数是______．
【变式1】（2025·山西晋中·一模）阅读与思考
圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） ……
请你认真阅读以上内容，完成下列任务：
任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________；
任务二：请结合图2补全上述证明过程；
任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________．
【变式2】（22-23九年级上·河北秦皇岛·阶段检测）小高同学在一本数学课外读物上看到一个与圆相关的角——弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），知道了弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．【证明】
在证明时，细心的小高考虑了三种情况，圆心在弦切角的一条边上，圆心在弦切角外，圆心在弦切角内．如图1，与相切于点，为直径，当圆心在上时，容易得到，所以弦切角，请帮助小高继续解决下面的问题．
(1)如图2，是的切线，为切点，为直径，夹弧所对的圆周角为，求证：
(2)如图3，是的切线，为切点，夹弧所对的圆周角为．求证；
【解决问题】
(3)如图4，中，，以为直径的交于点，过点作的切线交的延长线于点，直接写出与的数量关系：______
▌题型10 四点共圆模型
【典例10】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证．
【验证猜想】
已知：四边形中，
求证：A、B、C、D四点共圆
证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内
若点C在外，如图1，设交于，连接，则．
四边形是的内接四边形，
．
，
与矛盾，故点C不可能在圆外；
若点C在圆内，
……
（1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明；
【深入探究】
得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究：
（2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）；
【结论应用】
应用以上结论，解决下列问题：
（3）如图4，在四边形中，，，则________；
（4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数；
【拓展延伸】
（5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）．
【变式1】（23-24九年级上·江苏盐城·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在《2.4圆周角》这一课中，我们学习了“圆的内接四边形的对角互补”这条性质，学习小组在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”也是正确的．
请同学们在此基础上继续展开后续探究：
【提出问题】
如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，．
试探究：如果，那么、、、四点在同一圆上．
证明：如图2所示，作经过点、、的，在劣弧上取一点（不与、重合），连接，，
，（①______________）
，
②___________，
点、、、四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点、在点、、所确定的上，
点、、、四点在同一个圆上．
结论：在线段同侧有两点、，连接，，，，
如果，那么、、、四点共圆．

补全上述说理过程：
①______________；②______________．
【结论应用】
（2）如图3，在四边形中，，，则的度数为________．
（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接，作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．
求证：、、、四点共圆；

【拓展延伸】
（4）如图5，在四边形中，连接，，，则四边形周长的最大值为__________．（直接写出答案）

【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段检测）定义：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的个顶点共圆（图1、2）；
II．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的个顶点共圆（图3）；
III．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图4）．
【结论证明】（1）在图1、2中，取的中点，根据______得，即，，，共圆；
（2）在图3中，画经过点，，（图5）．假设点落在外，交于点，连接，可得___，与已知条件___得出矛盾；同理点也不会落在内，即，，，共圆．结论III同理可证．
【理解应用】利用四点共圆解决下述两个问题：
（3）证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图6，锐角三角形的高，相交于点，射线交于点．求证：是的高．
（4）如图7，若二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，为第二象限上的点，在直线上，且；若为轴上方抛物线上的一动点，令点横坐标为，当为何值时，的面积最大，求出此时点坐标和最大面积．
【变式3】（25-26九年级上·江苏连云港·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？
．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）；
．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）；
．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）．
(1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆，
(2)在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上；
(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点；
已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F．
求证：是的高．（连接，补全以下证明框图）
(4)如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上．
▌题型11 阿基米德折弦定理
模型结论：如图，AB和BC是⊙O的两条弦(即ABC是圆的一条折弦)，AB>BC，点M是弧ABC的中点，过点M作MD⊥AB于点D，则AD=DB+BC，AB-BC=2DB.
【典例11】（22-23九年级上·山西阳泉·期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes，公元前～公元前年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 阿拉伯Al-Biruni（年～年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了像文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理： 如图1，和是的两条弦（即折线是固的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即． 这个定理有根多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程． 证明：如图2．作射线，垂足为，连接，，． ∵是弧的中点， ∴．…

任务：
(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(2)填空：如图3，已知等边内接于，为上一点，，于点，，则折弦的长是______．

【变式1】（2025·广东清远·一模）请阅读材料，并完成下列问题．
阿基米德折弦定理
阿基米德，伟大的数学家之一，其与牛顿、高斯并成为三大数学王子．在《阿基米德全集》中记载了阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦，其中是的中点，过点向作交于点，则就是折弦的中点，即．
(1)下面是用“截长法”证明的部分过程．
证明：如图2，在上截取，连接．
是的中点，
．
．
．．．
请根据上面的证明思路，写出证明的剩余部分．
(2)在图1中，若，求的半径．
【变式2】（22-23九年级上·江苏苏州·阶段检测）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．
阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．
小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD＝AB+BD，过程如下：
证明：如图2所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．
∵M是的中点，∴MA＝MC，…
(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；
(2)如图3，在⊙O中，BD =CD，DE⊥AC，若AB = 4，AC = 10，则AE的长度为 _________；
(3)如图4，已知等边ABC内接于⊙O，AB = 8，D为上一点，∠ABD = 45°，AE⊥BD于点E，求BDC的周长．
【变式3】（2023·内蒙古包头·三模）阅读下面材料，完成相应的任务：
阿基米德（，公元前287-公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子：《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．
其中论述了阿基米德折折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．

(1)定理认识：如图所示，，是圆O的两条弦（折弦），M是的中点，，垂足为D，求证：____________________．
(2)定理证明：“截长补短”是证明线段和差倍分的常用办法，下面有三位同学提出了不同的辅助线作法以达到“截长补短”效果．同学1：在上截取，同学2：过点M作的垂线交的延长线于点E，同学3：利用平行弦夹等弧的正确结论（本题可直接使用）过点M作的平行弦交于点N．请你参考上述三位同学辅助线作法并用两种方法完成证明．
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