资源简介

陕西省渭南高级中学2025-2026学年高二上学期第一阶段考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，若复数z满足，则在复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．底面圆半径为1，母线长为4的圆锥侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，是椭圆的两个焦点，为上一点，椭圆的方程为且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．小唐5月日每天的运动时长（单位：分钟）统计数据如图所示，则（ ）
A．小唐这7天每天运动时长的平均数是72
B．小唐这7天每天运动时长的极差是42
C．小唐这7天每天运动时长的中位数是75
D．小唐这7天每天运动时长的第80百分位数是92
7．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的零点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．甲乙两人独立的解题，已知各人能解出的概率分别是、，则题被解出的概率是
B．若，是互斥事件，则
C．从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是对立事件
D．若样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为16.
10．已知圆 与圆 （ ）
A．两圆的圆心距为
B．两圆的公切线有 3 条
C．两圆相交，且公共弦所在的直线方程为
D．两圆相交，且公共弦的长度为
11．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球的半径为，，，为球面上三点，劣弧的弧长记为，设表示以为圆心，且过，的圆，同理，圆，的劣弧，的弧长分别记为，，球面（阴影部分）叫做曲面三角形，，则称其为球面等边三角形，线段，，与曲面围成的封闭几何体叫做球面三棱锥，记为球面.设，，.其中正确结论的选项有（ ）
A．若平面是面积为的等边三角形，则；
B．若，则；
C．若平面为直角三角形，且，则；
D．若，则球面的体积；
三、填空题
12．已知，则______.
13．是方程表示的曲线是椭圆的______条件，（在“充分不必要条件”；“必要不充分条件”；“充要条件”，“既不充分也不必要条件”四个中选择一个最合理的填在横线上）
14．已知直线l的方程是，，，若直线l与线段相交，则实数m的取值范围是______.
四、解答题
15．直线的方向向量，直线过点
(1)若直线与直线平行，求出直线的斜截式方程，并求出直线的倾斜角的值
(2)若直线与直线垂直，求出直线的斜截式方程，并写出直线在轴上的截距.
16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求这两组成绩的总平均数和总方差.
(3)如果按照分层抽样的方法从成绩在和这两组的市民中共抽取6人，再从抽出的这6人中任取两个人参加某社区的卫生清洁工作，求选出的这两个人中至少有一个人的成绩在的概率.
17．已知向量，，函数
(1)求的单调递增区间；
(2)在三角形中，角，，所对的边分别为，，.并且满足.若，求的值.
18．如图所示，在长方形中，，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面.
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成角的正切值.
(3)在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，确定出点的位置；若不存在，请说明理由.
19．圆，点为x轴上一动点，过点P引圆C的两条切线，切点分别为M，N.
(1)若，求切线方程；
(2)直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由；
(3)若两条切线PM，PN与直线y=1分别交于A，B两点，求面积的最小值.
参考答案
1．A
【详解】，
所以，
故选：A
2．D
【详解】因为复数z满足，
则，在复平面内z对应的点为，
所以在复平面内z对应的点位于第四象限，
故选：.
3．D
【详解】设与的夹角为，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，∵，
∴．
故选：D．
4．C
【详解】设圆锥侧面展开图的圆心角为，且圆锥底面圆半径为1，母线长为4，
根据圆锥底面圆的周长等于侧面展开图的扇形弧长，可得，解得.
故选：C.
5．A
【详解】因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
故选：A.
6．D
【详解】，A错误；
B选项，小唐这7天每天运动时长的极差是，B错误；
C选项，将小唐这7天每天运动时长从小到大排列为，
则小唐这7天每天运动时长的中位数是70，错误；
D选项，因为，所以第80百分位数是第6个数，即92，D正确.
故选：D
7．C
【详解】由得，
所以直线与半圆有个公共点，
作出直线与半圆的图形，如图：
当直线经过点时，，
当直线与圆相切时，，
解得或（舍），
由图可知，当直线与曲线有个公共点时，.
故选：C.
8．C
【详解】令，故，即的零点个数为与的交点个数，
显然在单调递增，的周期为，且当时，，
故此时两个函数无交点，作出图像如下图，
由图像得共有个交点，故有个零点，即C正确.
故选：C
9．AB
【详解】对于A，由独立事件概率乘法公式可得此题没被解出的概率为，
再由对立事件概率公式可知：题被解出的概率是，正确；
对于B，由互斥事件概率加法公式可知正确；
对于C，从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果：
一个红球，一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球；
显然“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件；
对于D,由方差的运算性质可知：数据，，…，的方差为，错误；
故选：AB
10．AC
【详解】对于A，圆的圆心为，半径为
与圆的圆心为，半径为，
故两圆的圆心距为，故A正确；
对于B，由于，
即圆与圆相交，两圆的公切线有2条，故B错误；
对于C，由B可知两圆相交，将圆与圆的方程相减，得，
即公共弦所在的直线方程为，故C正确；
对于D，由B可知两圆相交，而，
到直线的距离为，
故两圆公共弦的长度为，故D错误；
故选：AC.
11．ABD
【详解】A选项：由已知为等边三角形，且，
可得，即，
所以，，均为等边三角形，
则，
所以，A选项正确；
B选项：由已知可得，，，且，
则，即，B选项正确；
C选项：由平面为直角三角形，且，
则，
即，
即，化简可得，
可设，，
此时，C选项错误；
D选项：由已知，则，
即三棱锥，
如图所示，设为中点，为的外心，则平面，
则，，
则，
所以三棱锥的体积，
所以球面的体积，D选项正确；
故选：ABD.
12．
【详解】根据题意，，可得，
将其代入中，得到，
进行通分，可得，
所以，所以，
则.
故答案为：.
13．必要不充分条件
【详解】由表示的曲线是一个椭圆，得，解得.
所以当时，表示的曲线是一个椭圆.
所以是方程表示的曲线是椭圆的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分条件.
14．
【详解】直线的方程可化为，
当，
所以直线经过定点，
，．
直线与线段相交，
①当时满足条件．
②当时，则或，解得：且；
综上可得：.
故答案为：

15．(1)直线的斜截式方程为，倾斜角，
(2)所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为.
【详解】（1）因为直线的方向向量，
所以直线的斜率存在，设直线的斜率为，则，
若直线与直线平行，则直线的斜率存在，
设直线的斜率为，则，
又直线过点，
所以直线的方程为，
化为斜截式可得，
因为直线的斜率，所以，又，
所以，
所以直线的斜截式方程为，倾斜角，
（2）若直线与直线垂直，
由（1）可得直线的斜率存在，且，又，
所以，
所以直线的方程为，
化为斜截式可得，
所以直线的斜截式方程为，在轴上的截距为.
16．(1)
(2)总平均数，总方差为
(3)
【详解】（1）解：根据频率分布直方图的性质，各个小矩形的面积之和为1，
可得，解得.
（2）解：由频率分布直方图得，落在的市民人数为人，落在的市民人数为人，
因为在的平均成绩是54，方差是7，在的平均成绩为66，方差是4，
所以这两组成绩的总平均数，
总方差为.
（3）解：由（2）知，落在的市民人数为人，落在的市民人数为人，
所以分层抽样的方法从成绩在和这两组的市民中共抽取6人，
其中落在的人数为2人，落在的人数为4人，分别用和表示，
从中任取两个人参加某社区的卫生清洁工作，
可得样本空间为：， ，共有15种，
其中至少有一个人的成绩在的有，共9种，
所以选出的这两个人中至少有一个人的成绩在的概率为.
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：由向量，，
可得函数，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）解：因为，由正弦定理得，
又因为，可得，所以，即，
因为，所以，
由（1）知，
因为，可得，
即，即，所以，
又因为，则
因为，则
.
18．(1)证明见解析；
(2)；
(3)存在，理由见解析.
【详解】（1）因长方形中，，，为的中点，所以.
故和均为等腰直角三角形，因此，所有，即.
又平面平面，且平面平面，平面，且，
所以平面.
又平面，故，即.
（2）如图，取的中点为，连接，
因为，为的中点，所以，
又平面平面，且平面平面，所以平面.
所以直线与平面所成角为.
在等腰直角三角形中，，所以，且.
又在直角三角形中，，，
所以.
在直角三角形中，.
故直线与平面所成角的正切值.
（3）棱上存在一点，使得平面.
连接交于点，当点为线段的一个靠近E的三等分点时，平面.
理由如下：
在梯形中，，所以相似于，且.
当点为线段的一个靠近E的三等分点时，，
所以在中，，得相似于，所以.
又平面，平面，且，所以平面.
故棱上存在点，使得平面.
19．(1)和
(2)直线过定点
(3)
【详解】（1）解：因为，所以，
设过点且与圆相切的直线方程为，即，
所以圆心到直线的距离，
解得或，
所以切线方程为：和；
（2）解：直线过定点，理由如下：
由题意可知四点共圆，其直径为，
所以圆心为，半径为，
所以此圆的方程为: ,
即，
由，可得，
即直线的方程为，
所以直线过定点；
（3）解：设直线，的方程分别为：，
又因为与分别与圆相切，
所以，
即，
所以是方程的两根，
所以，
又因为，
所以，
当时，取等号，
所以.

展开更多......

收起↑