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山东省烟台龙口市（五四制）2025-2026学年八年级下学期期末数学试题
一、单选题
1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．cm，，，
3．下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B．4 C． D．
4．下列问题中的两个量x、y成反比例的是（ ）
A．普通投影仪灯泡的使用寿命约为1500小时，平均每天使用的时间x（时）与它的可使用天数y（天） B．一种商品的单价为a（元/件），购买的件数x（件）与所花费的钱数y（元）
C．小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y D．长方形的长a不变时，它的宽x与长方形的周长y
5．若一元二次方程可转化为的形式，则的值为（ ）
A．12 B．9 C．6 D．0
6．如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
7．对于实数a，b定义运算“ ”为，例如，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
8．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，D，E，F分别是，，的中点，下面的说法中：①与是位似图形；②与的相似比为；③与的周长之比为；④与的面积之比为．正确的是( )
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
10．如图，中，．进行如下操作：
（1）以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线；
（2）以点为圆心，以适当的长为半径画弧，交于点，交的延长线于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作直线交的延长线于点，交射线于点；
（3）过点作交的延长线于点，连接．根据以上操作过程及所作图形，则下列结论中不一定正确的是（　　）
A． B．
C．2 D．
二、填空题
11．若代数式有意义，则x的取值范围是______________．
12．已知反比例函数的图象在所在象限内y的值随x的值增大而增大，那么m的取值范围是________．
13．已知实数m、n满足，，，则的值为________________．
14．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上．若线段，则线段的长是______．
15．反比例函数的图象如图所示，轴．若的面积为4，则k的值为______．
16．如果一个等腰三角形的顶角为，那么可求其底边与腰之比等于，我们把这样的等腰三角形称为黄金三角形．如图，在中，，，看作第一个黄金三角形；作的平分线，交于点D，看作第二个黄金三角形；作的平分线，交于点E，看作第三个黄金三角形……以此类推，第2024个黄金三角形的腰长是_______．

三、解答题
17．计算和解方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
18．受刘徽《海岛算经》中的“测望法”启发，某兴趣小组设计如下方法测量河宽．如图，从B处沿与垂直的直线方向走到达C处，插一根标杆，然后沿同方向继续走到达D处，再右转走到E处，使点A，C，E恰好在同一条直线上，此时量得．
(1)求证：．
(2)求河宽的长．
19．为预防“手足口病”，某班对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与燃烧时间x（分钟）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为12mg．据以上信息解答下列问题：
(1)求药物燃烧时y与x的函数关系式；
(2)求药物燃烧后y与x的函数关系式；
(3)当每立方米空气中含药量不低于5mg时，对病毒有作用，求对病毒有作用的时间有多长？
20．已知一元二次方程有两个实数根为．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
21．如图，四边形是正方形，点为边上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
22．如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)若花圃的面积为，求花圃的一边的长；
(2)花圃的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由．
23．综合与实践
【项目主题】配方法的应用．
【项目准备】
(1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，可知，当时，有最小值，最小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_________________________ ．
(2)【项目解决】当a，b，c分别为的三边长，且满足时，直接写出c的取值范围．
(3)如图，在四边形中，．若，求四边形面积的最大值 ．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)点P为y轴上一点，
①若，求点P的坐标．
②反比例函数的图象是否存在一点E，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
1．D
解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项不符合题意；
D、，被开方数23是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式条件，该选项符合题意；
故选：D．
2．D
解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意；
B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意；
C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意；
D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意；
故选：D．
3．D
解：A选项：，化简后不含，不能与合并；
B选项：是整数，不含，不能与合并；
C选项：，化简后被开方数为，不是，不能与合并；
D选项：，化简后被开方数为，与是同类二次根式，能与合并．
4．A
解：A．普通投影仪灯泡的使用寿命约为1500小时，平均每天使用的时间x（时）与它的可使用天数y（天）是反比例关系，故符合题意；
B．一种商品的单价为a（元/件），购买的件数x（件）与所花费的钱数y（元）不是反比例关系，故不符合题意；
C．小明应完成的作业量a一定，他已完成的作业量x和未完成的作业量y不是反比例关系，故不符合题意；
D．长方形的长a不变时，它的宽x与长方形的周长y不是反比例关系，故不符合题意；
故选：A．
5．B
解：，
，
，
，
∴,
∴，
∴.
6．C
解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法：
，，，可得，，.
7．A
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A．
8．A
解：解方程，
因式分解得，
解得，，
∵三角形边长为正数，
∴舍去负根，得第三边长为，
∵，符合三角形三边关系，
∴三角形周长为．
9．B
解：根据位似性质得出：
①∵D，E，F分别是，，的中点，
∴，
∴，
∴，即与是位似图形，该项正确；
②与是相似图形，且相似比是：，该项错误；
③与的周长比等于相似比，即，该项正确；
④根据面积比等于相似比的平方，则与的面积比为，该项正确；
综上所述，正确的结论是：①③④．
10．D
解：由作图知⊥，平分，
∴，
∵
∴
∴，选项A正确，不符合题意；
∵平分，，⊥，
∴，
∴，
∵，⊥，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，选项B正确，不符合题意；
∵，
∴∽，
∴，
由题意知，垂直平分，
∴，
∴，
∴，故C选项正确，不符合题意；
无法证明，选项D错误，符合题意；
故选：D．
11．且
解：根据二次根式有意义，分式有意义得且，
解得：且．
故答案为：且．
12．
解；∵反比例函数的图象在所在象限内，y的值随x的增大而增大，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
解：实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个不相等的实数根，
根据一元二次方程根与系数的关系可得，，，
．
14．2
解：∵各条平行线间距离相等，
∴，
∵，
∴，解得：，
故答案为：2．
15．
解：连接，
∵轴，
∴与的面积相等，
即．
又∵，
∴
解得：，
∵反比例函数的图象在第二象限，
∴．
16．
解：∵是第1个黄金三角形，第1个黄金三角形的腰长为，
∴，
，
∵是第2个黄金三角形，
∴，第2个黄金三角形的腰长是，
，
∵是第3个黄金三角形，
∴，第3个黄金三角形的腰长是，
，
∴第4个黄金三角形的腰长是，
…
第n个黄金三角形的腰长是，
第2024个黄金三角形的腰长是，
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
(4)11
(5)，
(6)，
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：，
，
，
开方得：，
∴，；
（6）解：，
，
则或，
解得，．
18．(1)证明：由题可知，，
(2)
【详解】（1）证明略
（2）解：由题可知，，，，
，
，即，
，
答：河宽为．
19．(1)
(2)
(3)对病毒有作用的时间长为分钟
【详解】（1）
解：设药物燃烧时的函数解析式为，
由题意得：，解得：，
燃烧时的函数关系式为；
（2）
解：设燃烧后函数解析式为，
由题意得：，解得：，
燃烧后的函数关系式为；
（3）
解：由题意得： 解得：，
（分钟），
答：对病毒有作用的时间长为分钟．
20．(1)
(2)存在，
（1）解：，
，
；
（2）解：由根与系数的关系可得出，，，
，
，
解得或，
由（1）知，不满足，舍去；满足所有条件，
故存在实数．
21．(1)证明：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
(2)证明：四边形是正方形，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
【详解】（1）略
（2）略
22．(1)10米
(2)不能，理由见解析
（1）解：设的长为米，则米
由题意可得：，
解得：，，
，即：，
，
∴的长为10米；
（2）花圃的面积不能达到．理由如下：
设的长为米，
由题意可得：，
化简得，
△，
方程无解，
花圃的面积不能达到．
23．(1)；；
(2)
(3)8
（1）解：∵，，
∴当时，有最小值，最小值是．
分解因式，原式．
（2）解：，
，
，
，，
，，
∵，
∴．
（3）解：∵在四边形中，，
∴，
∵，
∴
，
∵，
∴，
∴四边形面积的最大值为．
24．(1)
(2)①点P的坐标为或；
②存在，或或．
理由如下：
∵点P为y轴上一点，反比例函数的图象是否存在一点E，
∴设，，
∵，，以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴当与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时；
当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时；
当为平行四边形边长时，若与是对角线时，根据平行四边形对角线互相平分可得，解得，此时；
∴存在，使得以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，或或．
（1）解：把代入得，，
∴，
∴，
把代入中得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：①解得或，
∴，
在中，令，则，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴点P的坐标为或；
②略

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