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安徽阜阳市第三中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，是正数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知的展开式中的常数项的系数为20，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
4．某校高三学生的模考数学成绩服从正态分布，按照，，，的比例将考试成绩划分为优秀、良好、合格和基本合格四个等级.若小张的数学成绩为分，则他的等级是（ ）
附：，，.
A．优秀 B．良好 C．合格 D．基本合格
5．已知函数为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．2026年斯诺克世锦赛5月5日在英国落幕，中国小将吴宜泽夺得冠军，成为亨德利之后最年轻的世锦赛冠军，若小吴将和你参加一场七局四胜制的斯诺克短赛制比赛，比赛结束时所有可能比赛结果种数为（ ）
A．70 B．80 C．40 D．35
7．设函数，若，则a的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．1
8．已知各项均为正数的数列，其中，是正整数，是实数．若对任意，能构成三角形，则满足条件的的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．无数个
二、多选题
9．已知的展开式中仅第4项的二项式系数最大，则（ ）
A． B．含项的系数为15
C．各二项式系数和为64 D．各项系数和为64
10．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A．在上有最大值
B．的图象关于点对称
C．
D．方程在内有4个实数解
11．有个编号分别为的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；；以此类推，记“从号盒子取出的球是白球”为事件，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．设，为虚数单位，，则______．
13．安排3名支教老师去6所学校任教，每校至多2人，则不同的分配方案共有______种.（用数字作答）
14．将，，，，五个字母排成一排，，均在的同侧，记，之间所含其它字母的个数为，则方差_________．
四、解答题
15．已知中，内角的对边分别为，且满足.
(1)若，求的值；
(2)求角的最大值，并判断此时的形状.
16．在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学偏差x 20 15 13 3 2 -5 -10 -18
物理偏差y 6.5 3.5 3.5 1.5 0.5 -0.5 -2.5 -3.5
（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若这次考试该班数学平均分为118分，物理平均分为90.5，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩．
参考公式：，，参考数据：，．
17．已知函数，，
(1)若关于的不等式的解集为{或}，求实数，的值；
(2)当（1）的情况下，，且满足时，有恒成立，求的取值范围；
(3)当时，求关于的不等式的解集.
18．为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了800名学生进行调查，得到了这800名学生一周的平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值；
(2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该市区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生．这20名学生中，周平均阅读时间在内的学生最可能有多少名？
19．已知点在抛物线上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)若射线，均与圆相切，且点，在抛物线上．
①若存在，使得，求直线的方程；
②过点作于点，问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求该定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．C
【详解】，
即
故选：C
2．D
【详解】由题意知，，
当时，由，得，
则“”“”；
当时，由，得，
则“” “”，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3．D
【详解】由题意得，
则有，
令，即，则常数项系数为，
解得.
4．B
【详解】由题得，，所以，，
，，
因为，，
所以，
根据比例成绩大于分为优秀，
因为，
根据比例成绩在到之间的为良好，
，
根据比例成绩在到之间的为合格，
，
根据比例成绩小于分为基本合格，
因为小张的数学成绩为分，则他的等级是良好.
故选：B.
5．B
【详解】由已知得，当时，则，即，，
∵为偶函数，∴，即，
∴，，∴，
故选：.
6．A
【详解】因为采用7局4胜制，先赢4局者获胜，所以可能赛4局，5局，6局，7局，
若赛4局，则有2种；若赛5局，则有种；
若赛6局，则有种；若赛7局，则有种；
综上所有赛事情况种数为种.
7．B
【详解】函数定义域为，而，，，
要使，则二次函数，在上，在上，
所以为该二次函数的一个零点，易得，
则，且开口向上，
所以，只需，故a的最小值为.
故选：B
8．B
【详解】设，
易知，所以三点共线.
由，得，所以点在线段上.
又，所以均在第一象限.
其中是奇数，是偶数，所以.
若，则.
此时要构成三角形，只需满足，即，即.
若，则.
此时要构成三角形，只需满足，即，即.
令，则是减函数，
又，，
所以存在，使得当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减.
又，所以在区间上有一个零点，记为.
所以当时，；当时，.
令函数，则.
令，是增函数，
，
所以恒成立，恒成立，
所以在上单调递增，在上单调递增.
因，，满足题意；
，满足题意；
当时，，不满足题意。又函数在时单调递增，故对任意均不满足题意.
综上所述，满足条件的有4个，分别是.
9．AC
【详解】对于A，由的展开式中仅第4项的二项式系数最大，得展开式共7项，则，A正确；
对于B，在的展开式中，含的项为，此项系数为，B错误；
对于C，的展开式的各二项式系数和为，C正确；
对于D，取，得的展开式各项系数和为0，D错误.
故选：AC
10．ABD
【详解】因为为奇函数，则有，即关于点对称，
因为为偶函数，则有，
令，则，
代入得，即，则关于直线对称，
可得，，
因此为周期函数，最小正周期，
对于A，当时，即时，已知在上，所以，
因此，所以在区间上单调递增，
又，，在此区间内从递增至，
当时，即时，
由关于的对称性可得，在上，
所以，因此，
所以在区间上单调递减，
即，，在此区间内从递减至，
综上，在区间上，在处取得最大值，故A正确；
对于B，由上知，进而有，
且，代入得，即，
故关于点对称，故B正确；
对于C，，，，，
，，，，
一个周期的和为，
从到共有项，包含253个完整周期，其和为0，
剩下的项是，总和为，故C错误；
对于D，方程在的解，就是与在内图像的交点，由上可作图象如下，
通过图像可得交点个数为4个，即在内有4个实数解，故D正确.
11．BCD
【详解】对于A，，所以A错误；
对于B，，
所以，所以B正确；
对于C，因为，，
所以，所以C正确，
对于D，由题意可得，，
，
所以，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，
所以，所以，
所以，则，所以D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】因为，
所以，所以.
13．210
【详解】若3名老师去3所学校，则共有种分配方案；
若3名老师去2所学校，则共有种分配方案;
所以共有种分配方案.
故答案为：210.
14．/
【详解】由题意知, 的可能取值为0，1，2.
由将，，，，五个字母排成一排，，均在的同侧，
当，即，之间没有其它字母时.先将，全排，有种排法，
再把，的全排看作一个大元素，与剩下的3个元素全排列，有种排法，
因此共有种排法；
当，即，之间只有，之一时，先将，全排列有种排法，
再在，中选1个放入，之间，有种选法，
再把这三个元素的排列看作一个大元素，和剩下的2个元素全排，有种排法，
因此共有种排法；
当，即，都在，之间时，先将，全排，有种排法，
把，全排列，有种排法，
再把，全排作为一个大元素放入，之间有1种放法，
再把这4个元素的排列看作一个大元素与全排，有种排法，
因此共有种排法.
所以基本事件共有种.
其中，，，
所以，
所以.
15．(1)
(2)，等边三角形
【详解】（1）中，由正弦定理得
（2）中，由余弦定理得，当且仅当时，等号成立，
的最大值为，此时基本不等式等号成立，即，
为等边三角形.
16．（1）；（2）93分．
【详解】（1）由题意，，
，
，
所以，
故线性回归方程为．
（2）由题意，设该同学的物理成绩为，则物理偏差为：．
而数学偏差为，
则（1）的结论可得，，解得，
所以，可以预测这位同学的物理成绩为93分．
17．(1)，；
(2)；
(3)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
【详解】（1），可化为，
移项整理得，不等式的解集为或，
或是方程的两个跟，且.
将代入方程，可得，解得.
把代入方程，得到，因式分解为，
即，故，.
（2）由（1）知，，则，，，，
当且仅当时，即时，等号成立，
，恒成立，
，，，
，，
故的取值范围是.
（3）不等式，即，因式分解为，
，的两根为，，
①当，即时，不等式，不等式的解集为；
②当，即时，不等式的解集为；
③当，即时，不等式的解集为.
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
18．(1)
(2)分布列：
X 0 1 2 3
P
(3)最可能有6名或7名
【详解】（1）由可得．
（2）由频率分布直方图可得：周平均阅读时间在，，三组的频率之比为，
∴10人中，周平均阅读时间在的人数为人，在的人数为人，在的人数为人.
则X所有可能的取值为0，1，2，3，
∴，，
，.
∴X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∴数学期望．
（3）用频率估计概率，从该地区学生周平均阅读时间在内中随机抽取20名学生，周平均阅读时间在内的概率，
设周平均阅读时间在内的学生有名，则
，
所以．
令，解得，
所以当或，最大．
所以，周平均阅读时间在内的学生最可能有6名或7名．
19．(1)
(2)①；②存在定点，定值．
【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得，
所以抛物线的标准方程为．
（2）设，
因为点，在抛物线上，所以，，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
同理可得到直线的距离为，
因为两直线均与圆相切，所以，即，
两边平方得，所以，
所以，
所以
整理得，
因为，是不同的两点，所以，
所以①，
设直线的方程为，与抛物线联立得，
所以，所以，所以，
所以的方程，所以，所以直线过定点.
①因为，，，
所以，
由，得，
显然不符合题意，所以，
所以，
所以②，
由①②得，所以或，
当，得，此时是方程，
又，不符合题意，舍去；
所以，可得，
由，，两式相减得，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
②因为直线过定点，过点作于点，
所以点在以为直径的圆上，所以，
所以存在定点，使得为定值，定值为.

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