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吉林长春市宽城区2025-2026学年七年级下学期期末数学试题
一、单选题
1．下列方程中属于一元一次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列多边形中，内角和度数与其外角和度数相等的是（ ）
A． B．
C． D．
5．机器人社团要制作三角形机械臂，现有2根金属连杆，长度分别为、，以下哪个长度可以与其构成三角形机械臂（ ）
A． B． C． D．
6．古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今三人共车，两车空；两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，中，，沿折叠，使点B恰好落在边上的点E处，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．如图，，的延长线经过点且交于点．，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．“x的2倍与3的差不小于5”所列出的不等式是__________．
10．如图，松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，这其中运用的数学道理是_______.
11．商场为吸引顾客，计划将某种衬衫打折，如果按定价的七折出售将赔20元，而按定价的九折出售将赚10元．设这种衬衫的定价是x元，根据题意列方程为__________．
12．如图，一个正方形水池的四周恰好被4个正n边形地板铺满，则__________．
13．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为________．
14．如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②，③，④，其中正确结论的序号是__．
三、解答题
15．解方程：．
16．解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
17．一个多边形的每个内角都相等，每个内角与相邻外角的差为，求这个多边形内角和的度数与边数．
18．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图．
(1)将平移，使点与点是对应点，在图①中画出平移后的；
(2)将沿直线翻折，在图②中画出翻折后的；
(3)将绕点顺时针旋转，在图③中画出旋转后的．
19．某纪念品店调查发现：与年大冬会吉祥物吉冰和吉雪相关的两款纪念品深受青少年的喜爱，于是决定购进这两款纪念品．已知款纪念品的进货单价为元，款纪念品的进货单价为元，该店决定购买这两款纪念品共个，其总费用不超过元，求至少需要购买款纪念品的数量．
20．如图，在中，，于点D．
(1)尺规作图：作的平分线，分别交、于点（不写作法，保留作图痕迹）．
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．
21．若关于x，y的二元一次方程变形为的形式（a、b是常数，），则其中一对常数a、b称为该二元一次方程的“相伴系数对”．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为．
(1)二元一次方程的“相伴系数对”为_________；
(2)已知是关于x、y的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求k的值．
22．暑期来临，某校计划组织七年级师生外出研学，结合相关调研数据完成任务．
调研一 租用型客车数量 租用型客车数量 租金总费用
调研二 型客车每辆有个座位，型客车每辆有个座位；
调研三 七年级师生共人前往外地研学；
(1)任务一：确定两种型号客车每辆的租金分别是多少元；
(2)任务二：某校租用型、型两种客车，若每辆客车恰好都坐满，写出所有租车方案，并从费用和环保两方面考虑选用哪种方案更合适．
23．如图，在中，平分，平分．
(1)【结论形成】如图①，若，求的度数；
(2)【结论应用】如图②，点分别是边、上一点，连接，将沿折叠，使得点与点重合．若，求的度数；
(3)【拓展延伸】如图③，点在的延长线上，作的平分线交延长线于点．若，则________度．
24．如图，在中，，，，．点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿的路径向终点C运动；点P出发的同时点Q从C出发，以每秒1个单位长度的速度沿的路径向点B运动．当点P到达终点时，点Q也随之停止运动．设点P的运动时间是t秒．
(1)用含t的代数式表示的长；
(2)当点P在线段上运动，Q在线段上运动时，若，求t的值；
(3)当的面积等于面积的时，求t的值；
(4)当线段将的周长分成两部分的比为时，直接写出t的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B A B D A C B
1．D
解：A、未知数的最高次数为，不符合条件，不是一元一次方程；
B、含有和两个未知数，不符合条件，不是一元一次方程；
C、分母含有未知数，不是整式方程，不符合条件，不是一元一次方程；
D、只含一个未知数，的最高次数为，且是整式方程，符合一元一次方程的定义，是一元一次方程．
2．B
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意；
C、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不符合题意．
3．A
解：A、由于，不等式两边同时减同一个数，不等号方向不变，则，故本选项正确；
B、由于，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，则，故本选项错误；
C、由于，当时，，此时，故本选项错误；
D、由于，不等式两边同时减去b，不等号方向不变，则，故本选项错误．
4．B
解：∵多边形的外角和是，
∴这个多边形的内角和也是，
设多边形的边数为n，
则，
解得：，
故选：B．
5．D
解：设第三根连杆的长度为，则
，
即 ，
对比选项，只有满足，因此选D．
6．A
解：设有人，辆车，根据题意，得
．
7．C
解：在中，，，
∴，
由折叠的性质可得：，
∴．
故选：C．
8．B
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
9．
解：根据题意可得，．
10．三角形的稳定性
解：松花江大桥的钢架结构采用三角形的形状，其中的数学道理是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
11．
解：由题意得，这种衬衫定价为元，
按定价七折出售售价为元，此时赔20元，因此成本价可表示为元，
按定价九折出售售价为元，此时赚10元，因此成本价可表示为元，
因为衬衫的成本价固定不变，因此可得方程．
12．8
解：正n边形的一个内角，
则，
解得，
故答案为：8．
13．24
解：由题意，空白部分是矩形，长为6﹣2＝4（cm），宽为4﹣1＝3（cm），
∴阴影部分的面积＝6×4×2﹣2×4×3＝24（cm2），
故答案为：24．
14．①②④
解：①绕点逆时针旋转得到，
，故①正确；
②绕点逆时针旋转，
．
，
．
，
．
，故②正确；
③在中，
，，
．
．
与不垂直．故③不正确；
④在中，
，，
．
，故④正确．
①②④这三个结论正确．
故答案为：①②④．
15．
解：去括号，得 ，
移项，得，
合并同类项，得 ，
系数化为，得．
16．．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以原不等式组的解集为．
17．这个多边形的内角和为，边数为
解：设这个多边形的一个内角度数为，
根据题意得：，
解得：．
故多边形的外角度数为：．
∵多边形的外角和等于
∴这个多边形的边数为：，
内角和为：．
故这个多边形的内角和为，边数为．
18．(1)
(2)
(3)
（1）略
（2）略
（3）略
19．个
解：设需要购买款纪念品个，
由题意得， ，
解得，
答：至少需要购买款纪念品个．
20．(1)
(2)
（1）略
（2）解：∵，，
，
平分，
，
，
，
∴．
21．(1)；
(2)．
（1）解：；
（2）解：该方程的“相伴系数对”为，
该方程为．
把代入方程可得：．
解得：．
22．(1)元，元
(2)两种方案：方案：型辆，型辆；方案：型辆，型辆；选用方案更合适
（1）解：任务一：设两种型号客车每辆的租金分别是元，元，
由题意得，，
解得，
答：两种型号客车每辆的租金分别是元，元；
（2）解：任务二：设租用型客车辆，型客车辆，
由题意得，，
整理得，，
∵为非负整数，
，或，，
∴有两种方案：方案：型辆，型辆；
方案：型辆，型辆；
方案的费用：元；
方案的费用：元，
∵两种方案费用相同，
∴从环保的角度考虑，车辆总数越少越环保，
∴选用方案更合适．
23．(1)
(2)
(3)
（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（2）解：由折叠可得，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由可得，；
（3）解：∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．(1)，；，
(2)
(3)t的值为8或
(4)t的值为或
（1）解：∵，
∴点P运动的总时间为18秒，
∴当时，点P在上，时，点P在上，
∴当时，；
当时，；
（2）解：根据题意，点P在线段上，，点Q在边上时，，
∴，
∵，
∴，
解得；
（3）解：根据题意得：，
∵的面积等于面积的，
∴，
由题意可分：当时，点在线段上，此时，
∴，
解得：；
当时，点在线段上，此时，
∴，
解得：；
综上，t的值为8或；
（4）解：根据题意得的周长为，
当在上，点在上（），则有，
∵线段将的周长分成两部分的比为，
∴或，
解得：或（不符合题意，舍去）；
当在上，点在上（），则有，
∵线段将的周长分成两部分的比为，
∴或，
解得：或（都不符合题意，舍去）；
当在上，点在上（），则有，
∵线段将的周长分成两部分的比为，
∴或，
解得：（不符合题意，舍去）或；
综上，当线段将的周长分成两部分的比为时，t的值为或．

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