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湖北襄阳市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题
一、单选题
1．若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一个水平放置的直角梯形由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形，其中，，则原梯形中的值为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，是线段的中点，是上的动点，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．襄阳古城墙现存多个墩台（俗称“马面”），是古代城墙向外凸出的防御设施．为进行修缮，工作人员对其中一个墩台进行了详细测量．该墩台的外形近似于一个正四棱台，它的上、下底面边长分别是6米和10米，侧棱长是米，则该棱台的体积是（ ）立方米
A． B． C． D．
5．如图，某测量员在地面先于D点观测无人机，之后沿直线走到C点；测得两点相距100米，无人机在空中先后经过A点和B点，在C，D两点测得角度数据，，，所有点在同一平面内，则点A与间的距离是（ ）米
A． B． C． D．
6．某射击运动员进行5次射击训练，每次射击的环数为整数，且可能为1到10环，已知以下四组统计特征，其中可以判断一定没有打出8环的是（ ）
A．平均数为4，中位数为5 B．平均数为4，极差为5
C．平均数为5，方差为1.6 D．中位数为5，标准差为1.2
7．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在棱长为2的正方体中，点M，N分别是棱，的中点，点P在面内（包含边界）运动，且直线平面，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．在复数范围内，对于实系数一元二次方程的两个根为虚数与，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
10．已知点，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．的最小值为4
C．当时，在上的投影向量的坐标为
D．若与夹角为锐角，则
11．已知正四面体的棱长为，点为棱上一动点，且；点为面内（包含边界）的动点，下列说法正确的是（ ）
A．若，平面，则最小值为
B．若，，则的最小值为
C．若点为的重心，则的最小值为
D．已知平面上任意一点满足，则平面截四面体所得的截面面积为
三、填空题
12．某学校有四个社团，分别为汉服社、话剧社、书法社、摄影社，现按人数之比依次为，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本，已知话剧社抽取了人，则摄影社抽取的人数为__________
13．如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，，点O是的内心，动点M满足，其中，则M的轨迹所覆盖的图形的面积为__________
四、解答题
15．如图，在三棱锥中，点是的中点，点是的中点，点是的中点，且，，．
(1)求四面体的体积；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
16．学校共有500名学生，他们的成绩在分之间，将其成绩分成，，，五组，其频数分布表和频率分布直方图如图所示．
分数段 [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100]
频数 50 100 150 125 m
(1)求和的值；并估计该校学生这次测验的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．
(2)根据频率分布直方图，若学校规定成绩为前的学生为“优秀”，试估计优秀分数线．
(3)这次考试中有名学生的成绩为：．已知这8个成绩的平均数，方差，若再增加两名学生的和这个成绩，求这个成绩的平均数与标准差．（参考数据：，，）
17．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，且，．
(1)求的值；
(2)若是锐角三角形，求面积的取值范围．
18．如图，四棱锥中，，，，．
(1)若，，证明：．
(2)若，，求二面角的正弦值．
(3)若，求四棱锥的体积取得最大时的值．
19．三角形是最简单的平面图形，其内部特殊点的性质却非常丰富．若在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的面积为，设P为三角形内部一点．
(1)当为等边三角形时，，求的最小值，并说明此时P的位置．
(2)试从简单的等角关系入手
（i）若点P使得张角均分，即时，求的值．
（ii）若点P使得等角循环，即时，，求的值．
参考答案
1．D
【详解】由题设，
则.
2．C
【详解】因为，
且是等腰梯形，所以，
在原直角梯形中，，
则，所以.
3．A
【详解】因为是线段的中点，所以，
又，所以，
因为三点共线，所以，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为．
4．C
【详解】设该正四棱台的上、下底面积分别为，.
上、下底面对角线的一半分别为，，
由侧棱长为，得棱台的高.
该棱台的体积是.
5．C
【详解】中，，，
所以为等边三角形.
又，所以为线段的垂直平分线.
所以，又，所以是以为直角的等腰直角三角形.
所以米.
6．C
【详解】对于A，5次射击的结果为1，1，5，5，8，其平均数为4，中位数为5，A不是；
对于B，5次射击的结果为3，3，3，3，8，其平均数为4，极差为5，B不是；
对于C，平均数为5时，含8时的方差不低于，C是；
对于D，5次射击的结果为5，5，5，5，8，其中位数为5，平均数为，
标准差为，D不是.
7．C
【详解】由及正弦边角关系，且内角和，
所以，故，
所以，故，
由，
所以，
所以，
当且仅当时取等号，故的最大值为.
8．B
【详解】如图，取中点中点，连接，
因为点分别是棱的中点，所以，
由平面，平面，则平面，
显然，则四边形为平行四边形，所以，
由平面，平面，则平面，
由且平面，所以平面平面，
由平面平面，所以点在AE上运动，
三棱锥即三棱锥，且平面，
令外接圆半径为，三棱锥外接球的半径为，
则，要使外接球的表面积最小，只需最小，即最小，
由正弦定理，，则时取得最小值，即，
所以，面积为.
9．ABC
【详解】设的两个根为，且，
A，，正确，
B，，，则，正确，
C，由B分析，，则，正确，
D，若，则，故，错误.
10．BC
【详解】A，由题设，则，可得，错误，
B，由，当且仅当时取等号，即最小值为4，正确，
C，由时，则在上的投影向量为，正确，
D，若与夹角为锐角，则且与不同向，即，故且，错误.
11．BCD
【详解】对A选项，如图1，过点作交于点，过点作交于点，连接，
因为，平面，平面，所以平面BCD，同理可证平面BCD，
又因为平面，所以平面平面，
又平面，则平面，点的轨迹为线段，
因为，所以，则，同理可得，
又因为，则是边长为的等边三角形，
当点为的中点时，，此时的长取最小值，
此时，所以A错误；
对于B，如图2所示，连接，
因为都是边长为的等边三角形，且为的中点，
所以，，
又因为平面，，所以平面，
当时，平面，则，故点的轨迹为线段，
由勾股定理可得，同理可得，
故当为的中点时，，此时的长取最小值，
，所以B正确，
对于C，如图3所示，
延长DP交线段BC于点，则点为线段BC的中点，
因为均为等边三角形，所以，，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，
故点关于平面、关于直线的对称点都在平面内，
因为四面体是正四面体，点为的重心，
则平面，又平面，所以，
易知，，
设点关于直线的对称点分别为，
由对称性可知，
所以，
在中，，，
由余弦定理可得，
所以，
由余弦定理可得，
所以，由对称性知，
所以，故C正确，
对于D，因为，
即，则．
取的中点为，则，所以，
故点所在的平面为线段的中垂面，
如图4，取棱的中点，连接，
则四边形即为平面截正四面体所得的截面图形，
因为四面体是正四面体，易知截面图形为边长为1的正方形，故所求面积为1，所以D正确．
12．
【详解】汉服社、话剧社、书法社、摄影社的人数之比依次为，所以，得．
则摄影社抽取的人数为．
13．/
【详解】连接，两者交于点，连接，
在正三棱柱中，可得，因点为的中点，则，
故异面直线与所成角即为直线与所成角，即或其补角.
不妨设，易得，，，
在中，由余弦定理，，
故异面直线与所成角的余弦值为．
14．
【详解】由题设及正弦边角关系，得，
所以，得，
由，则，且，则，，
所以，又，
所以，且，
由，，
由正弦定理，解得，
则，
设内切圆半径为，且，
则，
所以，结合，其中，
点的轨迹所覆盖的图形是以与为邻边的平行四边形，其面积是.

15．(1)
(2)
【详解】（1）在中，，，，满足，故，
在中，，，满足，故，
又平面，所以平面．
在中，是AD的中点，Q是AC的中点，
故，且
所以平面，即到平面的距离为．
因为分别是的中点，
所以，
故四面体A-MPQ的体积；
（2）方法一：因为点是的中点，且，所以，
由（1）可知平面，又平面，所以，
所以，
设点到平面的距离为，
则四面体的体积，，
设与平面所成角为，则，
故AQ与平面MPQ所成角的正弦值为.
方法二：由（1）可知平面，则
因为是等边三角形，是的中点，所以．
，且平面，所以平面．
故为与平面所成角，
在中，，，
故AQ与平面MPQ所成角的正弦值为.
16．(1)，，平均成绩为
(2)优秀分数线约为
(3)平均数与标准差分别为和
【详解】（1），
设该校学生这次测验的平均成绩为；
（2）学校规定成绩为前的学生为“优秀”，即求第百分位数，
设优秀分数线为，，解得，
所以优秀分数线约为；
（3）方法一：
这10个成绩的平均数为，
因为原8个成绩的方差，
所以，
所以10个成绩的方差，
即这10个成绩的平均数与标准差分别为和．
方法二：
原8名学生的成绩的平均数为，方差为．
再新增加两名学生的成绩的平均数为，
方差为，
此时这10个成绩的平均数为，
这10个成绩的方差为，
即这10个成绩的平均数与标准差分别为和．
17．(1)
(2)
【详解】（1）因为，，且，．
所以，
即，
即，
即，
所以，
由正弦定理可得，
因为、、，所以，，，
所以，即，则，故.
（2）由正弦定理可得，
所以，
因为是锐角三角形，所以，解得，
所以，则，故，
故，
故的面积的取值范围是.
18．(1)平面，平面，且平面平面
在中，由余弦定理得，可求得．
，
底面，且底面
，
，且平面
平面，
平面，
平面
(2)
(3)
【详解】（1）略
（2）如图所示，过点作于，再过点作于，
连接，因为平面平面，所以平面平面，
而平面平面平面
所以平面，平面，
，
又平面
平面，
又平面
，
根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角，
因为，所以，是直角三角形，所以．
因为平面，所以，又因为
所以平面，故．
因为，所以，
又，
在Rt中，
（3）设，
在中，可得：，
在中，可得：，
即，所以．
设四边形的面积为，
则
所以，所以，
所以
因为，所以，
所以，
当且仅当时，，
此时最大，体积也取得最大值则：，
．
19．(1)，P为的重心．
(2)（i）；（ii）
【详解】（1）
，
，
设等边的边长为，由，解得，
则，
，
，
，
则
，
当且仅当时等号成立，此时的最小值为8；
此时，，，
则
，
所以点P为的重心．
（2）（i）设，
由，可得
所以，
故；
（ii）设，
由面积，可得，
由得，故，
由余弦定理，，得，
因为，则，
由图知，，而，则，
又，所以，
在中，因，则 ，
在中，由正弦定理，，则，
由，可得，
因为锐角，故，
故.

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