资源简介

湖北省襄阳市部分学校2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A．0 B． C． D．
2．如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．圆与圆的公共弦长为（ ）
A． B． C． D．
4．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件（ ）
A．至少有一个黑球与都是黑球
B．至少有一个黑球与至少有一个白球
C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球
D．至少有一个黑球与都是白球
5．在1和7之间插入m个数，使得这m+2个数成等差数列.若这m个数中第1个为x，第m个为y，则的最小值是（ ）
A． B．4 C．3 D．
6．设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
7．已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．在正三棱柱中，所有棱长都为2，是侧棱上一动点，则到平面的距离之和的最大值为（ ）
A． B． C． D．7
二、多选题
9．已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（ ）
A．F的坐标为 B．
C． D．
10．柜子里有双不同的鞋子，从中随机地取出只，下列计算结果正确的是（ ）
A．“取出的鞋成双”的概率等于
B．“取出的鞋都是左鞋”的概率等于
C．“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于
D．“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于
11．已知棱长为12的正四面体ABCD中，为CD中点，P、Q分别为四面体ABCD的内切球和外接球上的动点，则（ ）
A．|PQ|的最大值为 B．
C． D．若，则的最大值为
三、填空题
12．已知数列为等差数列，若，则_________.
13．2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩难求甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙，丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为_________．
14．若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，试写出满足条件的一个实数的值：__________________.
四、解答题
15．已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且.
求的通项公式；
从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由.
16．设，是平面上两点，则满足(其中为常数，且)的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知，，且.
（1）求点所在圆的方程.
（2）已知圆与轴交于，两点(点在点的左边)，斜率不为0的直线过点且与圆交于，两点，证明：.
17．甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立.
(1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率；
(2)求前4局中甲参与了3局的概率；
(3)求第4局是甲、乙对打的概率.
18．如图，在三棱台中，上下底面分别为边长是2和4的等边三角形，平面，且四棱锥的体积为，M为的中点，N为线段上一点．
(1)若N为的中点，证明：平面；
(2)求二面角的余弦值；
(3)是否存在点N使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定N的位置；若不存在，说明理由．
19．如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．

(1)求与的标准方程；
(2)过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合）
(3)点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合）
参考答案
1．D
【详解】由于直线与轴平行，所以倾斜角为.
故选：D.
2．B
【详解】依题意有.
故选：B.
3．C
【详解】圆与圆，相减得，
圆心到直线的距离，又
则公共弦长为．
故选：C．
4．C
【详解】A选项，至少有一个黑球包括一个黑球一个白球和两个黑球两种情况，与都是黑球不互斥，故A错；
B选项，至少有一个白球包括一个白球一个黑球和两个白球两种情况，与至少有一个黑球不互斥，故B错；
C选项，恰好有一个黑球、恰好有两个黑球还有恰好没有黑球这种情况，所以互斥但不对立，故C正确；
D选项，至少有一个黑球和都是白球互斥且对立，故D错.
故选：C.
5．A
【详解】由等差数列的性质得，且，
则=≥=，
当且仅当，即时取等号，即的最小值是
故选：A.
6．A
【详解】设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．
故选：A．
7．C
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，令，
不妨设
则，解之得
代入，
可得
整理得，即，也就是
故选：C
8．B
【详解】如图，取的中点，的中点，连接，，
以，，的方向分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，
设平面的法向量为，.
因为，，
所以，令，
解得，得到.
设到平面的距离分别为，
因为，，
所以
，
令，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以到平面的距离之和的最大值为.
故选：B.
9．BCD
【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上，
则焦点，所以A错误；
由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确；
由，可得，所以，则，所以C正确；
由，所以D正确．
故选：BCD．
10．BC
【详解】记双不同的鞋子按左右为，
随机取只的样本空间为
，共种，
则“取出的鞋成双”的概率等于，A错；
“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，B正确；
“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于，C正确；
“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于，D错.
故选：BC
11．AB
【详解】将此正四面体ABCD放入正方体中，如图，则该正方体棱长为，
该正方体与正四面体ABCD的外接球相同，且球心为正方体的中心，
外接球直径为正方体体对角线，则外接球半径，
由正方体性质可证平面，
设与平面交点为，可得为的三等分点，
正四面体ABCD内切球半径为.
A选项，当三点共线且在之间时，的最大值为，故A正确；
B选项，，
，
由于，则，
故B正确；
C选项，，
同理，故C错误；
D选项，设为平面内一点，，
则，由于的最大值为，则当最小时，有最大值，
最小即为点到平面的距离，
由于为CD中点，则点到平面的距离为点D到平面的距离的一半，
而点D到平面的距离为，
则最小为，则有最大值2，故D错误；
故选：AB.

12．2
【详解】设公差为，则，解得，故.
故答案为：2.
13．/
【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率.
同理，丙购买不到冰墩墩的概率.
所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，
于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率.
故答案为：.
14．，，（只需写出其中一个值即可）
【详解】由已知得，明显地，，整理得，又由，
看成有且仅有三条直线满足，和到直线：（不过原点）的距离均为，
由，
（1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线，
以及与直线平行的两条直线和
（2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，
注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去，
设点到的距离为，
①作为增根被舍去的直线，过原点和的中点，其方程为，
此时，，符合；
②作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，
此时，，符合；
综上，满足题意的实数为，，；
故答案为：，，.
15．；
结合可知，，，，.
令，即，符合题意，即.
所以是数列中的项.
【详解】解：设等差数列的公差为，根据等差中项的性质可得与的等差中项为，
所以，又因为，即.
所以，，因为公差为正数,所以.
则，则.
的通项公式.
略
16．（1）；
（2）证明：对于圆，令，得或，所以，.
设直线的方程为，，.
由得，
则，.
则直线与关于轴对称，即.
【详解】（1）解：由题意可得，，即，
则，
整理得，即圆的方程为.
（2）略
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若第2局甲轮空，第3局乙轮空，其概率为.
若第2局乙轮空，第3局甲轮空，其概率为.
故所求概率为.
（2）分三种情况.
第一种情况：甲第2局轮空，则其他3局都参与了.
因为甲第2局轮空，所以第3局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4局，则第3局甲胜，
其概率为.
第二种情况：甲第3局轮空，则其他3局都参与了.
因为甲第3局轮空，所以第4局一定有甲参与，且第2局甲负，
其概率为.
第三种情况：甲第4局轮空，则其他3局都参与了.
其概率为.
故所求概率为.
（3）第4局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1局甲胜，第2局丙胜，第3局乙胜.
此时第2局为甲丙对打，第3局为乙丙对打（甲轮空），第4局为甲乙对打.
其概率为. 情况二：第1局乙胜，第2局丙胜，第3局甲胜.
此时第2局为乙丙对打，第3局为甲丙对打（乙轮空），第4局为甲乙对打.
其概率为.
故所求概率为
18．(1)
设，可知的面积，的面积，
三棱台的体积，
即，所以．
连接，可得，，
所以，即，
因为M，N分别为，的中点，所以，所以，
因为平面，平面，所以，
由M为的中点，所以，又，、平面，
所以平面，又平面，所以，
又，、平面，所以平面；
(2)；
(3)存在，点N为线段的三等分点
【详解】（1）略
（2）以M为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，
建立如图空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，
设平面的法向量为，
所以
令，，
易知平面的法向量，
设二面角所成角为，
则，
所以二面角所成角的余弦值为；
（3）设，，
所以，，
设平面的法向量为，
所以，令，则，
因为，设直线与平面所成角为，
则，
整理得，即或，
所以，当点N为线段的三等分点时，
直线与平面所成角的正弦值为．
19．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由题意得，，又因为在上，
代入得，所以，则.
（2）设，则，
又因为，所以，
则，同理可得，所以.
（3）设直线分别为，其斜率依次为，
设直线，联立得，
即有，所以，代入直线方程得，
则，设，
则经过的两直线之间斜率满足关系：，
将直线绕原点顺时针旋转后也会经过，
所以两者斜率满足，所以，
同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过，
所以两直线斜率满足，
，
设，则有，代入上式得：，
得到，
所以，因此存在定点，
使直线和直线的斜率之积为定值5.

展开更多......

收起↑