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浙江省温州环大罗山联盟2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．浙BA比赛正在如火如荼进行中，某市篮球协会成员45人，统一去抢购该市参与的前后两场比赛门票，第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人，则该协会两场门票都没抢购到的人数为（　　）.
A．6 B．10 C．13 D．15
2．幂函数过点，则（　　）.
A． B．1 C．2 D．4
3．已知函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
4．命题“，”的否定为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．定义取大函数，现有，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．已知正实数，，满足，则取值范围为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．下列不等关系正确的有（　　）
A． B．
C． D．
10．定义在上的函数满足：，且是奇函数，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C．存在函数在递增 D．.若，则有
11．函数，下列选项正确的是（　　）
A．当时，在上递增；
B．当时，值域为；
C．当时，时，恒有成立.
D．当时，是的必要不充分条件.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．计算：
13．函数在单调递减，则的取值范围为　 　.
14．中，斜边，，是的中点，为线段（端点除外）上的动点，线段绕着点旋转到，当与垂直且相交时，则的面积范围为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15．已知集合，，
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
16．已知函数是偶函数
（1）试用定义法证明在递增；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
17．某书店销售一款文化纪念册，每年销售x千册，需要投入年固定成本10万元，另外投入流动成本万元，且，，每千册纪念册售价为10万元，且当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年销售量（千册）的函数解析式；
（2）年销售量为多少千册时，该纪念册的年利润最大？最大年利润是多少？
18．已知正实数、满足
（1）求的最小值；
（2）求的最小值；
（3）求的最大值.
19．函数，，
（1）求不等式的解集；
（2）若的解集中有且只有一个整数，求的取值范围；
（3）若，对于恒成立，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：因为第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人，
则仅第一场抢购成功的有（人），仅第二场抢购成功（人），
所以两场门票都没抢购到的人数为（人）.
故答案为：B
【分析】根据容斥原理计算人数即可.
2．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题设，则，
故.
故答案为：C
【分析】先把点 代入求出，再求函数值即可.
3．【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：由题设，则，即定义域为.
故答案为：D.
【分析】由题可知，再利用指数函数单调性解不等式即可.
4．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定为，.
故答案为：C.
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题求解即可.
5．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由解析式知，定义域为，
由，则为奇函数，排除C、D，
当时，，此时，排除A.
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义域，奇偶性及时对应的函数符号确定图像即可.
6．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意，第一次倒出，剩下纯酒精为，
加满水后含酒精，第二次倒出，剩下纯酒精为，
加满水后含酒精，第三次倒出，剩下纯酒精为，
，
连续进行次后，第次倒出，剩下纯酒精为，
令，，故至少是4.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知，第次剩下纯酒精为，再令求解即可．
7．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：在同一坐标系内作出函数的图象，如图：
当时，，当时，，
对于A，，而，A错误；
对于B，，而，B错误；
对于C，当时，，由，得，
函数在R上是增函数，则；
当时，由，得，则，C正确；
对于D，，而，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据取大函数的定义，结合函数图象，然后逐项判断即可.
8．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设，
则，
所以关于的方程在上有解，
对于，
其图象开口向上且对称轴为，
所以，只需，
则，
所以，
则取值范围为.
故答案为：B.
【分析】设，将已知条件转化为关于的方程有解，再利用判别式法和一元二次不等式求解方法，从而得出的取值范围，进而得出的取值范围.
9．【答案】B,D
【知识点】指数函数单调性的应用；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：对于A选项，因为指数函数在上为减函数，所以，A错；
对于B选项，因为指数函数在上为增函数，则，B对；
对于C选项，因为幂函数在上为减函数，且，故，C错；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
且函数在上为增函数，故，D对.
故答案为：BD.
【分析】对于A，，再结合指数函数的单调性判断即可；对于B，，再结合指数函数的单调性判断即可；对应C，利用幂函数在上为减函数即可；对于D，利用为偶函数，且函数在上为增函数进行判断.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由题设，的图象关于点、对称，即，A、B对，C错，
由且，
所以且，
所以，即，
由，则，D对.
故答案为：ABD.
【分析】由可知，函数关于点对称，是奇函数得到函数关于对称，进而得到，再逐项判断即可.
11．【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A，时，，定义域为，故A不正确；
对于B，在上递增，值域为；时，在和上分别单调递增，值域为，所以值域为.故B正确；
对于C，当时，，而在上单调递增，所以，故C正确；
对于D，函数，定义域，
，同号，，
当时，，
而，
∴，
所以当时，有成立
所以不是的必要条件.故D不正确.
故答案为：BC.
【分析】对于A，易知函数的定义域为即可判断；对于B，时，利用函数单调性得到值域即可；对于C，当时，可知在上单调递增，进而可知；对于D，利用特值法判断即可.
12．【答案】解：.
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】根据指数幂的运算直接求解即可.
13．【答案】
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：令，其图象的开口向下，对称轴为且，
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又在各定义域上均单调递增，则在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由在上单调递减，则，可得，
所以.
故答案为：.
【分析】由符合函数单调性可知在单调递减，且恒成立，然后可得，再求解即可.
14．【答案】
【知识点】二次函数模型
【解析】【解答】解：设，则，
由且与相交，则，得，
所以中边上的高，
故且，
由在上单调递增，
所以.
故答案为：.
【分析】：设，则，则，然后得到的范围，再表示出的面积 ，结合二次函数的性质求解.
15．【答案】（1）解：，.∴.
（2）解：..
∴或
解得或
所以的取值范围为或

【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算
【解析】【分析】（1）先求出集合，再求并集即可；
（2）由题可知，再根据集合的包含关系求参数的范围即可.
（1），.
∴.
（2）.
.
∴或
解得或
所以的取值范围为或
16．【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由题可知，计算可得，再利用定义法证明单调性即可；
（2）令，则，即恒成立，再利函数用单调性求最值即可.
（1）由，且是偶函数，则，
所以，恒成立，可得，
证明：，不妨设，则有：
，
∵，则，，
∴，即成立，则在上单调递增；
（2）由代入得：，
令，而，则，
所以恒成立，
令，易知在单调递增，所以，
∴，得.
17．【答案】（1）解：，
（2）解：当时，，
由对称轴知在递增，.
当时，.
当且仅当时等号成立，
而，由，
，，
所以当时，.
即当年销量为6千册时，该纪念册的年利润最大，最大年利润为万元.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题可知，然后可得解析式；
（2）根据分段函数，结合二次函数的性质求解.
（1），
（2）当时，，
由对称轴知在递增，.
当时，.
当且仅当时等号成立，
而，由，
，，
所以当时，.
即当年销量为6千册时，该纪念册的年利润最大，最大年利润为万元.
18．【答案】（1）解：
当，即时等号成立，有最小值9.
（2）解：方法一（双不等式法同时取等）：（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
所以当，时，有最小值8.
方法二（平均值不等式法：调和平均值不超过平方平均值）：
（当且仅当时等号成立），
所以当，时，有最小值8.
方法三（配完全平方法）：
.
∵，当且仅当，时等号成立.
，
当时，有最小值8.
方法四（消元法）：
，
令（由得），则，
则
，当时时等号成立，所以有最小值8.
（3）解：方法一（整体代入转化）：
，
原式，
当时，即，时等号成立，有最大值6.
方法二（整体代入消元法）：
由，
所以
（当且仅当时等号成立）.
方法三（乘1法）：
原式.
当时，即，时等号成立，有最大值6.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由基本不等式“1”的妙用求解即可；
（2）方法一：对 及 进行基本不等式处理求解；方法二：利用平均值不等式法：调和平均值不超过平方平均值求解；方法三：对条件变形得，根据基本不等式可得的范围，又，再结合二次函数的性质求解；方法四：由题可得，再换元求解；
（3）方法一：将代入得，通过二次函数求最值；方法二：由条件可得由，代入得，再通过二次函数求最值；方法三：利用“乘1”法，将原式整理化简为，通过二次函数求最值.
（1）当，即时等号成立，有最小值9.
（2）方法一（双不等式法同时取等）：
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
所以当，时，有最小值8.
方法二（平均值不等式法：调和平均值不超过平方平均值）：
（当且仅当时等号成立），
所以当，时，有最小值8.
方法三（配完全平方法）：
.
∵，当且仅当，时等号成立.
，
当时，有最小值8.
方法四（消元法）：
，
令（由得），则，
则
，当时时等号成立，所以有最小值8.
（3）方法一（整体代入转化）：
，
原式，
当时，即，时等号成立，有最大值6.
方法二（整体代入消元法）：
由，
所以
（当且仅当时等号成立）.
方法三（乘1法）：
原式.
当时，即，时等号成立，有最大值6.
19．【答案】（1）解：由题意得，解得或，
当时，，此时无解；
当时，；
当时，.
（2）解：由题意得，令，
可知，当时，，解得无整数根（舍）；
当时，，说明唯一的整数根为0，
则，即，解得，
得的取值范围为.
（3）解：由已知得，
令，其中恒成立，
令，解得或，
可知，
当时，
当时，在上单调递增，最大值为成立；
当时，此时在递减，递增；
可得，即，解得；
当，即时，在递增，递减，递增，
可得，即，解得；
当时，即时，在递减，递增，递减，递增；
可得，即，此时无解；
综上所述：的取值范围为.

【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）分、、解不等式即可；
（2）令，再分、，结合题意讨论求解；
（3）由区间可得，再分、，结合函数单调性及最值进行求解.
（1）由题意得，解得或，
当时，，此时无解；
当时，；
当时，.
（2）由题意得，令，
可知，当时，，解得无整数根（舍）；
当时，，说明唯一的整数根为0，
则，即，解得，
得的取值范围为.
（3）由已知得，
令，其中恒成立，
令，解得或，
可知，
当时，
当时，在上单调递增，最大值为成立；
当时，此时在递减，递增；
可得，即，解得；
当，即时，在递增，递减，递增，
可得，即，解得；
当时，即时，在递减，递增，递减，递增；
可得，即，此时无解；
综上所述：的取值范围为.
1 / 1浙江省温州环大罗山联盟2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．浙BA比赛正在如火如荼进行中，某市篮球协会成员45人，统一去抢购该市参与的前后两场比赛门票，第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人，则该协会两场门票都没抢购到的人数为（　　）.
A．6 B．10 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】集合中元素的个数问题
【解析】【解答】解：因为第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人，
则仅第一场抢购成功的有（人），仅第二场抢购成功（人），
所以两场门票都没抢购到的人数为（人）.
故答案为：B
【分析】根据容斥原理计算人数即可.
2．幂函数过点，则（　　）.
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题设，则，
故.
故答案为：C
【分析】先把点 代入求出，再求函数值即可.
3．已知函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的定义域及其求法；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：由题设，则，即定义域为.
故答案为：D.
【分析】由题可知，再利用指数函数单调性解不等式即可.
4．命题“，”的否定为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定为，.
故答案为：C.
【分析】由存在量词命题的否定是全称量词命题求解即可.
5．函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：由解析式知，定义域为，
由，则为奇函数，排除C、D，
当时，，此时，排除A.
故答案为：B.
【分析】根据函数的定义域，奇偶性及时对应的函数符号确定图像即可.
6．从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意，第一次倒出，剩下纯酒精为，
加满水后含酒精，第二次倒出，剩下纯酒精为，
加满水后含酒精，第三次倒出，剩下纯酒精为，
，
连续进行次后，第次倒出，剩下纯酒精为，
令，，故至少是4.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知，第次剩下纯酒精为，再令求解即可．
7．定义取大函数，现有，，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：在同一坐标系内作出函数的图象，如图：
当时，，当时，，
对于A，，而，A错误；
对于B，，而，B错误；
对于C，当时，，由，得，
函数在R上是增函数，则；
当时，由，得，则，C正确；
对于D，，而，D错误.
故答案为：C.
【分析】根据取大函数的定义，结合函数图象，然后逐项判断即可.
8．已知正实数，，满足，则取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设，
则，
所以关于的方程在上有解，
对于，
其图象开口向上且对称轴为，
所以，只需，
则，
所以，
则取值范围为.
故答案为：B.
【分析】设，将已知条件转化为关于的方程有解，再利用判别式法和一元二次不等式求解方法，从而得出的取值范围，进而得出的取值范围.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．下列不等关系正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】指数函数单调性的应用；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：对于A选项，因为指数函数在上为减函数，所以，A错；
对于B选项，因为指数函数在上为增函数，则，B对；
对于C选项，因为幂函数在上为减函数，且，故，C错；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
且函数在上为增函数，故，D对.
故答案为：BD.
【分析】对于A，，再结合指数函数的单调性判断即可；对于B，，再结合指数函数的单调性判断即可；对应C，利用幂函数在上为减函数即可；对于D，利用为偶函数，且函数在上为增函数进行判断.
10．定义在上的函数满足：，且是奇函数，则下列选项正确的是（　　）
A． B．
C．存在函数在递增 D．.若，则有
【答案】A,B,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由题设，的图象关于点、对称，即，A、B对，C错，
由且，
所以且，
所以，即，
由，则，D对.
故答案为：ABD.
【分析】由可知，函数关于点对称，是奇函数得到函数关于对称，进而得到，再逐项判断即可.
11．函数，下列选项正确的是（　　）
A．当时，在上递增；
B．当时，值域为；
C．当时，时，恒有成立.
D．当时，是的必要不充分条件.
【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A，时，，定义域为，故A不正确；
对于B，在上递增，值域为；时，在和上分别单调递增，值域为，所以值域为.故B正确；
对于C，当时，，而在上单调递增，所以，故C正确；
对于D，函数，定义域，
，同号，，
当时，，
而，
∴，
所以当时，有成立
所以不是的必要条件.故D不正确.
故答案为：BC.
【分析】对于A，易知函数的定义域为即可判断；对于B，时，利用函数单调性得到值域即可；对于C，当时，可知在上单调递增，进而可知；对于D，利用特值法判断即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．计算：
【答案】解：.
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【分析】根据指数幂的运算直接求解即可.
13．函数在单调递减，则的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：令，其图象的开口向下，对称轴为且，
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又在各定义域上均单调递增，则在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由在上单调递减，则，可得，
所以.
故答案为：.
【分析】由符合函数单调性可知在单调递减，且恒成立，然后可得，再求解即可.
14．中，斜边，，是的中点，为线段（端点除外）上的动点，线段绕着点旋转到，当与垂直且相交时，则的面积范围为　 　.
【答案】
【知识点】二次函数模型
【解析】【解答】解：设，则，
由且与相交，则，得，
所以中边上的高，
故且，
由在上单调递增，
所以.
故答案为：.
【分析】：设，则，则，然后得到的范围，再表示出的面积 ，结合二次函数的性质求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15．已知集合，，
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：，.∴.
（2）解：..
∴或
解得或
所以的取值范围为或

【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算
【解析】【分析】（1）先求出集合，再求并集即可；
（2）由题可知，再根据集合的包含关系求参数的范围即可.
（1），.
∴.
（2）.
.
∴或
解得或
所以的取值范围为或
16．已知函数是偶函数
（1）试用定义法证明在递增；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）由题可知，计算可得，再利用定义法证明单调性即可；
（2）令，则，即恒成立，再利函数用单调性求最值即可.
（1）由，且是偶函数，则，
所以，恒成立，可得，
证明：，不妨设，则有：
，
∵，则，，
∴，即成立，则在上单调递增；
（2）由代入得：，
令，而，则，
所以恒成立，
令，易知在单调递增，所以，
∴，得.
17．某书店销售一款文化纪念册，每年销售x千册，需要投入年固定成本10万元，另外投入流动成本万元，且，，每千册纪念册售价为10万元，且当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年销售量（千册）的函数解析式；
（2）年销售量为多少千册时，该纪念册的年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1）解：，
（2）解：当时，，
由对称轴知在递增，.
当时，.
当且仅当时等号成立，
而，由，
，，
所以当时，.
即当年销量为6千册时，该纪念册的年利润最大，最大年利润为万元.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）由题可知，然后可得解析式；
（2）根据分段函数，结合二次函数的性质求解.
（1），
（2）当时，，
由对称轴知在递增，.
当时，.
当且仅当时等号成立，
而，由，
，，
所以当时，.
即当年销量为6千册时，该纪念册的年利润最大，最大年利润为万元.
18．已知正实数、满足
（1）求的最小值；
（2）求的最小值；
（3）求的最大值.
【答案】（1）解：
当，即时等号成立，有最小值9.
（2）解：方法一（双不等式法同时取等）：（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
所以当，时，有最小值8.
方法二（平均值不等式法：调和平均值不超过平方平均值）：
（当且仅当时等号成立），
所以当，时，有最小值8.
方法三（配完全平方法）：
.
∵，当且仅当，时等号成立.
，
当时，有最小值8.
方法四（消元法）：
，
令（由得），则，
则
，当时时等号成立，所以有最小值8.
（3）解：方法一（整体代入转化）：
，
原式，
当时，即，时等号成立，有最大值6.
方法二（整体代入消元法）：
由，
所以
（当且仅当时等号成立）.
方法三（乘1法）：
原式.
当时，即，时等号成立，有最大值6.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由基本不等式“1”的妙用求解即可；
（2）方法一：对 及 进行基本不等式处理求解；方法二：利用平均值不等式法：调和平均值不超过平方平均值求解；方法三：对条件变形得，根据基本不等式可得的范围，又，再结合二次函数的性质求解；方法四：由题可得，再换元求解；
（3）方法一：将代入得，通过二次函数求最值；方法二：由条件可得由，代入得，再通过二次函数求最值；方法三：利用“乘1”法，将原式整理化简为，通过二次函数求最值.
（1）当，即时等号成立，有最小值9.
（2）方法一（双不等式法同时取等）：
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
所以当，时，有最小值8.
方法二（平均值不等式法：调和平均值不超过平方平均值）：
（当且仅当时等号成立），
所以当，时，有最小值8.
方法三（配完全平方法）：
.
∵，当且仅当，时等号成立.
，
当时，有最小值8.
方法四（消元法）：
，
令（由得），则，
则
，当时时等号成立，所以有最小值8.
（3）方法一（整体代入转化）：
，
原式，
当时，即，时等号成立，有最大值6.
方法二（整体代入消元法）：
由，
所以
（当且仅当时等号成立）.
方法三（乘1法）：
原式.
当时，即，时等号成立，有最大值6.
19．函数，，
（1）求不等式的解集；
（2）若的解集中有且只有一个整数，求的取值范围；
（3）若，对于恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得，解得或，
当时，，此时无解；
当时，；
当时，.
（2）解：由题意得，令，
可知，当时，，解得无整数根（舍）；
当时，，说明唯一的整数根为0，
则，即，解得，
得的取值范围为.
（3）解：由已知得，
令，其中恒成立，
令，解得或，
可知，
当时，
当时，在上单调递增，最大值为成立；
当时，此时在递减，递增；
可得，即，解得；
当，即时，在递增，递减，递增，
可得，即，解得；
当时，即时，在递减，递增，递减，递增；
可得，即，此时无解；
综上所述：的取值范围为.

【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）分、、解不等式即可；
（2）令，再分、，结合题意讨论求解；
（3）由区间可得，再分、，结合函数单调性及最值进行求解.
（1）由题意得，解得或，
当时，，此时无解；
当时，；
当时，.
（2）由题意得，令，
可知，当时，，解得无整数根（舍）；
当时，，说明唯一的整数根为0，
则，即，解得，
得的取值范围为.
（3）由已知得，
令，其中恒成立，
令，解得或，
可知，
当时，
当时，在上单调递增，最大值为成立；
当时，此时在递减，递增；
可得，即，解得；
当，即时，在递增，递减，递增，
可得，即，解得；
当时，即时，在递减，递增，递减，递增；
可得，即，此时无解；
综上所述：的取值范围为.
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