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湖南衡阳市常宁市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷（创新班）
一、单选题
1．在平行四边形中，是的中点，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是 （ ）
A． B．若，则的最大值为
C．若，则复平面内对应的点位于第一象限 D．若是关于的方程的一个根，则
5．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究发现地震释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2024年11月20日俄罗斯东南部发生的地震的32000倍，则俄罗斯东南部地震震级大约是（参考数据：）（ ）
A．5级 B．6级 C．7级 D．8级
6．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数图象的一条对称轴是直线
C．是奇函数 D．若，则
7．已知函数在是增函数，关于轴对称，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．的最小值为6
10．如图，棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．直线与直线共面
B．
C．过点的平面，截正方体的截面面积为9
D．二面角的平面角余弦值为
11．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．在向量上的投影向量为
C．若P为ED的中点，则
D．若P在线段BC上，且，则的取值范围为
三、填空题
12．如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为________.
13．函数在上单调递减，则的取值范围是___________．
14．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式___________；若，则，这里，称为1的一个n次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是___________．
四、解答题
15．已知，.
(1)求的值；
(2)若，且，求的值.
16．在锐角中，内角的对边分别为且.
(1)求角；
(2)求的面积的取值范围.
17．已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点．
(1)求a，b的值；
(2)求不等式的解集；
(3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围．
18．如图，四棱台中，上 下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.

(1)求证：∥平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由
19．已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且），点为坐标原点．

(1)设点为线段上靠近的三等分点，，求的值；
(2)如图所示，设点，，，…，是线段的等分点，其中，，
①当时，求的值（用含，的式子表示）；
②当，时，求的最小值．
（说明：可能用到的计算公式：，）．
参考答案
1．B
【详解】因为在平行四边形中，，所以，
因为是的中点，所以，即，，
根据向量的加法法则，，
故选：B.
2．B
【详解】由，可得，所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，
所以.
故选：B.
3．C
【详解】因为，，，
所以，，
当且仅当，即，时取等号.
故选：C.
4．B
【详解】对于A，设，则，，A错误；
对于B，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，
可看作该单位圆上的点到点的距离，因为圆心到的距离为，
则该单位圆上的点到点的距离最大值为，B正确；
对于C，，则复平面内对应的点位于第二象限，C错误；
对于D，依题意，，整理得，
而，因此，解得，D错误．
故选：B.
5．B
【详解】设日本东北部海域发生的里氏9级地震释放的能量为，
俄罗斯东南部发生的地震震级为，释放的能量为.
对于日本东北部海域的9级地震有；
对于俄罗斯东南部的地震有.
因为日本东北部海域地震释放的能量是俄罗斯东南部地震的32000倍，即.
两边同时取对数可得，根据对数运算法则，.
又因为，
已知，所以.
将，，代入可得：
， 解得.
俄罗斯东南部地震震级大约是级.
故选：B
6．B
【详解】对于A，因，则函数的图象关于点不对称，A不正确；
对于B，因，而，则数图象的一条对称轴是直线，B正确；
对于C，，
令，，，所以不是奇函数，C不正确；
对于D，取，显然有，而，，此时，D不正确.
故选：B
7．D
【详解】因为关于轴对称，则关于对称，
又函数在是增函数，所以在是减函数，
由可得，
由函数的单调性以及对称性可得，
即，化简可得，解得或，
则实数的取值范围是.
故选：D
8．C
【详解】当时，；当时，．
作函数的图象可得，
令，则．
当时，方程没有解，
当时，方程有一个解，
当时，方程有两个解，
当时，方程有三个解，
因为恰有个零点，
所以有两个根（不妨设）．
所以，
由韦达定理可得．
要使有个零点，则需满足．
设，则．
解得，
所以实数的取值范围是．
故选：C.
9．ACD
【详解】对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确；
对于B，由，，，即，，则，故B错误；
对于C，因为，，
所以不等式为，又，
所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确；
对于D，，，，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为6，故D正确.
故选：ACD.
10．ABD
【详解】
　　
对于A项，如图①，分别连接,在正方体中，
易得四边形是矩形,
，
又分别是棱的中点，
,
故,即可确定一个平面，故A项正确；
对于B项，如图②，
,故B项正确；
对于C项，如图，③连接易得
因平面平面，则为过的平面与平面的一条截线，
即过点的平面即平面.
由,可得四边形为等腰梯形，
故其面积为： ，故C项错误.
对于D项，如图④，连接交于，，
平面,平面,所以，
又，，平面,平面，
所以平面,即是二面角的平面角，
又，
故，故D项正确；
故选：ABD.
11．BCD
【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，
设，
根据余弦定理可得，，整理得到，
设，
，设，
对选项A：，所以，故A错误；
对选项B：，
，
即在向量上的投影向量为，故B正确；
对选项C：因为P为的中点，所以，所以，，
，故C正确；
对选项D：，
，
所以，所以，
整理得到，由题意可知，
所以在上单调递增，当时，，
当时，，故，故D正确.
故选：BCD.
12．1
【详解】由，可得，
又，，三点共线，
则有，
由于，所以，即，
又，
且，，，
故
.
故答案为：1.
13．
【详解】因为函数在上单调递减，
所以，所以，
所以．
故的取值范围是.
故答案为:.
14．
【详解】，，
所以，
由题意可得，
所以，
又因为，所以，
则
.
故答案为：；.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，解得，
所以.
（2）因为，则，
则，可得，
所以，
则，
又因为，则，
所以.
16．(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
又为锐角三角形，即，所以，
由正弦定理，所以，因为，所以，
又因为为锐角，所以；
（2）由正弦定理有，所以，
所以的面积
，
因为是锐角，所以，即解得，
所以，所以，所以，
则的面积的取值范围为.
17．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意知，，即，解得：
所以，
（2）由（1）知，，
所以，即，
所以，令，
则，
解得；解得，
所以，的解集为，即，解得，
所以不等式的解集为
（3）由得函数，
当时，，
故，
当时，
因为对任意，存在，使得成立，
所以是的子集，
所以，即，
所以实数的取值范围为
18．(1)详见解析；
(2)；
(3)存在点，此时.
【详解】（1）证明：因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，则
，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
因为，
所以，所以，
又因为平面，
所以∥平面；
（2）解：由（1）知，，
所以点到平面的距离为；
（3）解：假设边上存在点满足条件，，
则，
设直线与平面所成角为，
由题意可得，
化简得，则或（舍去），
即存在点符合题意，此时.
19．(1)
(2)①；②
【详解】（1）因为
而点为线段上靠近点的三等分点，
则，可得，所以.
（2）①由题意得，，
，，
所以，
事实上，对任意正整数，且时，
，，
有，
所以，
所以.
②当，时，
，，
，
令，
当，2，3时，
当或3时，上式有最小值为
当时，
当，6，7时，，当或6时，上式有最小值为
综上，的最小值为.

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