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高考物理必修第二册 第七章：万有引力与宇宙航行 一轮综合专题复习
物理
新高考适用
目 录
CONTENTS
第1 节　万有引力定律及其应用
微专题9
卫星的变轨问题　双星和多星问题
第2 节　人造卫星　宇宙速度
第1节 万有引力定律及其应用
开普勒行星运动定律T4、5　 万有引力定律T1、2、3、6、7　 天体质量和平均
密度的计算T8、9
1.★★(2024全国甲,16,6分)2024年5月,嫦娥六号探测器发射成功,开启了人类首次从月
球背面采样返回之旅。将采得的样品带回地球,飞行器需经过月面起飞、环月飞行、
月地转移等过程。月球表面自由落体加速度约为地球表面自由落体加速度的 。下列
说法正确的是 ( )
A.在环月飞行时,样品所受合力为零
B.若将样品放置在月球正面,它对月球表面压力等于零
C.样品在不同过程中受到的引力不同,所以质量也不同
D.样品放置在月球背面时对月球的压力,比放置在地球表面时对地球的压力小
　 D　
五年高考
解析　在环月飞行时,样品随飞行器做曲线运动,故所受合力不为零,A错误。若将样品
放置在月球正面,样品受到月球万有引力的一个分力等于重力,另一个分力提供样品随
月球自转的向心力,而月球表面对样品的支持力等于此时样品所受重力,由牛顿第三定
律可得样品对月球表面压力不等于零,B错误。质量是物体的固有属性,不会随位置的
变化而变化,C错误。由于g月≈ g地,所以mg月≈ mg地,结合牛顿第三定律可得样品放置
在月球背面时对月球的压力比放置在地球表面时对地球的压力小,D正确。
2.★★(2024甘肃,3,4分)小杰想在离地表一定高度的天宫实验室内,通过测量以下物理
量得到天宫实验室轨道处的重力加速度,可行的是( )
A.用弹簧秤测出已知质量的砝码所受的重力
B.测量单摆摆线长度、摆球半径以及摆动周期
C.从高处释放一个重物,测量其下落高度和时间
D.测量天宫实验室绕地球做匀速圆周运动的周期和轨道半径
　 D　
解析　在天宫实验室内,物体处于完全失重状态,无法使用弹簧秤测量重力,单摆无法摆
动,重物也无法下落,A、B、C错误。对天宫实验室分析,有G =m r,又G =mg,
解得天宫实验室轨道处的重力加速度g= r,D正确。
3.★★(2023河北,3,4分)我国自古就有“昼涨为潮,夜涨为汐”之说,潮汐是月球和太阳
对海水的引力变化产生的周期性涨落现象,常用引潮力来解释。月球对海水的引潮力
大小与月球质量成正比、与月地距离的3次方成反比,方向如图1。随着地球自转,引潮
力的变化导致了海水每天2次的潮涨潮落。太阳对海水的引潮力与月球类似,但大小约
为月球引潮力的0.45倍。每月2次大潮(引潮力最大)和2次小潮(引潮力最小)是太阳与
月球引潮力共同作用的结果。结合图2,下列说法正确的是 ( )
　 A　
A.月球在位置1时会出现大潮
B.月球在位置2时会出现大潮
C.涨潮总出现在白天,退潮总出现在夜晚
D.月球引潮力和太阳引潮力的合力一定大于月球引潮力
解析　月球在位置1时,太阳、月球和地球处于一条直线上,太阳、月球对地球海水的
引潮力方向相同,引潮力的合力最大,出现大潮,A正确,B错误。“昼涨为潮,夜涨为
汐”,说明涨潮并不总是出现在白天,C错误。两个分力之间的夹角不断发生变化,且太
阳对海水的引潮力约为月球引潮力的0.45倍,故合力并不总是大于其中某一分力,D错
误。
4.★★(2025湖南,4,4分)我国研制的“天问二号”探测器,任务是对伴地小行星及彗星
交会等进行多目标探测。某同学提出探究方案,通过释放卫星绕小行星进行圆周运动,
可测得小行星半径R和质量M。为探测某自转周期为T0的小行星,卫星先在其同步轨道
上运行,测得距离小行星表面高度为h,接下来变轨到小行星表面附近绕其做匀速圆周
运动,测得周期为T1。已知引力常量为G,不考虑其他天体对卫星的引力,可根据以上物
理量得到R= h,M= 。下列选项正确的是( )
A.a为T1,b为T0,c为T1　　　 B.a为T1,b为T0,c为T0
C.a为T0,b为T1,c为T1　　　 D.a为T0,b为T1,c为T0
　 A　
解析　由开普勒第三定律有 = ,得R= h,所以a=T1,b=T0。C、D错误。该
卫星在该小行星表面附近做匀速圆周运动时,有 =m R,得M= ,故c为T1,A
正确,B错误。
5.★★★(2024浙江6月,8,3分)与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行
星乙的公转轨道如图所示,假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内,地球的
公转半径为R,小行星甲的远日点到太阳的距离为R1,小行星乙的近日点到太阳的距离
为R2,则 ( )

　 D　
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比 ≈
D.甲乙两星从远日点到近日点的时间之比 ≈
解析 设小行星甲在远日点的速度为v1,在近日点的速度为v2,在极短时间Δt内,由开普
勒第二定律可得 = ,由于R1>R,可知v2>v1,A错误。由牛顿第二定律可得
=ma,可知小行星乙在远日点的加速度大小等于地球公转加速度大小,B错误。小
行星甲的半长轴a1= ,小行星乙的半长轴a2= ,由开普勒第三定律可得 = ,
所以 ≈ ,C错误。甲、乙两星从远日点到近日点的时间均为各自做椭圆运
动的半个周期,可得 = ≈ ,D正确。
6.★★(2025届江苏南通海安调研)如图所示为一半径为R、质量均匀分布的球体,从中
挖去直径为R的球体,虚线过两球的球心,一质点分别位于图中的1、2、3点时,受到的
万有引力分别为F1、F2、F3,则有( )

A.F1C.F1=F2=F3　　　 D.F1=F2　 D　
三年模拟
解析　设球体的密度为ρ,则没有挖去小球体前大球体的质量M=ρ· πR3;被挖去的小球
体质量M'=ρ· π = M。由万有引力定律及填补法可得F1= - = ,F2=
= ,F3= - = ,所以F1=F27.★★(多选)(2026届河北石家庄一中开学考)如图甲所示,地球卫星仅在地球万有引力
作用下沿椭圆轨道绕地球运动,在任意位置,将卫星与地心的距离记为r,卫星的加速度a
在轨迹切线方向上的分量记为切向加速度aτ。卫星Ⅰ和卫星Ⅱ从近地点到远地点过程
中aτ的大小随r的变化规律如图乙所示。下列说法正确的是 ( )

　 BC　
A.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的轨道半长轴之比为4∶5
B.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的轨道半长轴之比为1∶1
C.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度最大值之比为16∶25
D.卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的加速度最大值之比为4∶5
解析　由题图乙可知,卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的轨道半长轴之比为 ∶ =1∶1,
A错误,B正确。根据牛顿第二定律可得 =ma,解得a= ,可得卫星Ⅰ和卫星Ⅱ的
加速度最大值之比为a1∶a2=(2d)2∶(2.5d)2=16∶25,C正确,D错误。
8.★★★(2026届云南曲靖罗平二中月考)北京时间2024年8月29日,云遥一号17星搭乘
谷神星一号海射型遥三运载火箭在山东附近海域成功发射,并顺利进入预定轨道。云
遥一号17星的运动视为绕地球做匀速圆周运动。已知云遥一号17星在时间t内绕地球
转过的圆心角为θ,地球半径为R,地球表面重力加速度为g,引力常量为G。忽略地球自
转,下列说法正确的是 ( )
A.地球的质量为
B.地球的平均密度为
C.云遥一号17星的离地高度为 -R
　 C　
D.云遥一号17星的线速度大小为
解析　卫星运动的角速度ω= ;设卫星的轨道半径为r,根据万有引力提供向心力可得
=mω2r;联立解得地球质量M= ,A错误。忽略地球自转,地球表面万有引力等于
重力,有 =mg,可得M= ;地球的平均密度ρ= = = ,B错误。对卫星,有
=mω2r,由于M= ,联立解得轨道半径r= ,卫星离地高度h=r-R= -R,C
正确。卫星做圆周运动的线速度v=ωr= · = ,D错误。
9.★★★(2026届重庆八中开学考)当月球运动到地球与太阳之间时,三者的相对位置关
系近似如图所示。其中O为地球球心,虚线与月球、太阳相切。若地球半径是月球半
径的p倍,地球绕太阳做圆周运动的周期与月球绕地球做圆周运动的周期的比值为k,则
地球与太阳的平均密度的比值约为( )

A. 　　 B. 　　 C.p3k2　　 D.
　 B　
解析　设地球绕太阳运动的轨道半径为r1、周期为T1,月球绕地球运动的轨道半径为
r2、周期为T2,根据万有引力提供向心力可得G =m地 r1、G =m月 r2,解得
m地= 、m太= ;根据ρ= ,可得ρ地= = 、ρ太= =
;由题图及几何关系可得 = ,已知 =p、 =k,联立可得 = = ,B
正确。

A.2n　　　 B. 　　　 C. 　　　 D.
运用简谐运动振幅巧解星体的密度
(2024黑吉辽,7,4分)如图(a),将一弹簧振子竖直悬挂,以小球的平衡位置为坐标原点O,竖
直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放,其在地球与某球状天体
表面做简谐运动的图像如图(b)所示(不考虑自转影响)。设地球、该天体的平均密度
分别为ρ1和ρ2,地球半径是该天体半径的n倍。 的值为 ( )
　 C　
创新风向·模块融合
解析　设地球表面的重力加速度为g,该球状天体表面的重力加速度为g',由题图(b)可
知k×2A=mg,k×A=mg',可得g'= ,设地球半径为R,则该球状天体半径为 ,对地球表面质
量为m的物体,有 =mg,M=ρ1× πR3,解得地球的平均密度ρ1= ,同理可得该球状
天体的平均密度ρ2= ,解得 = = ,C正确。
第2节 人造卫星　宇宙速度
天体和卫星运行参量的分析T1、2、6、9　 宇宙速度T3、7　 天体的追及问题
T4、8
相对论时空观与牛顿力学的局限性T5
1.★★(2025湖北,2,4分)甲、乙两行星绕某恒星做圆周运动,甲的轨道半径比乙的小。
忽略两行星之间的万有引力作用,下列说法正确的是 ( )
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
　 A　
五年高考
解析　由T= 可知,行星的轨道半径越大,周期越长,A正确。由v= 可知,轨道
半径越大,线速度越小,B错误。根据ω= 可知,行星的轨道半径越大,角速度越小,C
错误。根据a= 可知,行星的向心加速度与轨道半径r的二次方成反比,轨道半径越
大,向心加速度越小,D错误。
2.★★★(2024贵州,2,4分)土星的部分卫星绕土星的运动可视为匀速圆周运动,其中的
两颗卫星轨道半径分别为r1、r2,且r1≠r2,向心加速度大小分别为a1、a2,则
( )
A. = 　　　 B. =
C.a1r1=a2r2　　　 D.a1 =a2

　 D
解析　设土星的质量为M,两颗卫星的质量分别为m1、m2,对两颗卫星,根据G =m1a1,
G =m2a2,整理可得a1 =a2 ,D正确。
3.★★★(2023湖南,4,4分)根据宇宙大爆炸理论,密度较大区域的物质在万有引力作用
下,不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关,如果质量为太阳质量的1~
8倍将坍缩成白矮星,质量为太阳质量的10~20倍将坍缩成中子星,质量更大的恒星将坍
缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体,质量不变,体积缩小,自转变
快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的 倍,中子
星密度大于白矮星。根据万有引力理论,下列说法正确的是( )
A.同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
　 B　
解析　恒星两极处有mg极=G ,则g极= ,其他位置由于物体需要跟随恒星自转而做
圆周运动,导致万有引力的一个分力用于提供物体跟随恒星自转所需向心力,另一分力
为重力,故两极重力加速度大于恒星表面其他位置的重力加速度,A错误。恒星坍缩后
质量不变,体积缩小,即恒星半径R减小,所以坍缩后表面两极处的重力加速度g极= 和
第一宇宙速度v1= 都随着R的减小而增大,B正确,C错误。由ρ= 、V= πR3、v2=
v1、v1= 可得,v2= ,由题知中子星密度大于白矮星密度,中子星质量大
于白矮星质量,故中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度,D错误。
4.★★★(2025四川,6,4分)某人造地球卫星运行轨道与赤道共面,绕行方向与地球自转
方向相同。该卫星持续发射信号,位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化
的规律如图所示,T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动,地球质
量为M,引力常量为G。则该卫星轨道半径为 ( )

　 A　
A. B. C. D.
解题导引 (1)位于赤道上的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如题图所
示,信号强度最强时卫星和观测站相距最近,本题考查卫星和赤道上物体的追及模型,结
合地球自转周期可求卫星的周期。
(2)通过万有引力提供向心力,可求卫星轨道半径。
解析　卫星和观测站相距最近时开始计时,卫星比观测站多转一整圈时,二者再次相距
最近,有θ卫星-θ观测站=2π,由θ= t,可得 - =1,t= ,解得T卫星= ,由 =m r,解得r=
,A正确。
知识总结
卫星追及问题中的规律(绕行方向相同)
1.相距最近到最近(或相距最远到最远):
(1)角度关系为ω1t-ω2t=n·2π(n=1,2,3,…);
(2)圈数关系为 - =n(n=1,2,3,…),解得t= (n=1,2,3,…)。
2.相距最远到最近(或相距最近到最远):
ω1t-ω2t=(2n-1)π(n=1,2,3,…)或 - = (n=1,2,3,…)。
5.★★(2026届江苏丹阳月考)一艘飞船静止时船身长为L,它以0.3c(c为光速)沿船身方
向飞离地球,示意图如图所示,飞船与地面通过电磁波相互联络,则 ( )

A.地面上观测者测得来自飞船的电磁波信号的速度等于光速
B.飞船上观测者测得来自地面的电磁波信号的速度小于光速
C.飞船上观测者测得飞船长度小于L
D.地面上观测者测得飞船长度等于L
　 A　
三年模拟
解析　根据狭义相对论的光速不变原理可知,地面上观测者测得来自飞船的电磁波信
号的速度等于光速,飞船上观测者测得来自地面的电磁波信号的速度也等于光速,A正
确,B错误;飞船上观测者相对于飞船静止,所以测得飞船长度等于L,C错误;根据狭义相
对论的尺缩原理可知,地面上观测者测得飞船长度小于L,D错误。
6.★★(2026届广东部分学校联考)北京时间2023年9月,中国航天员在空间站梦天实验
舱中圆满完成“天宫课堂”直播授课。中国空间站在距离地面约430 km的圆轨道上
做匀速圆周运动,周期为90 min,空间站的运动平面与赤道面的夹角约为41°,为实现空
间站与地面直播互动交流,空间站的信号需要先传到在地球静止轨道上运行的中继卫
星,然后再传回地面。下列说法正确的是( )
　 C　
A.空间站的线速度比地面上观看直播的同学的线速度小
B.空间站的线速度大于地球的第一宇宙速度
C.空间站的加速度小于地球两极的重力加速度
D.若要完成一场90 min的直播授课,仅一颗中继卫星即可完成任务
解析　由G =m 可得v= ,由于中继卫星的轨道半径比空间站的大,可知中继卫
星的线速度小于空间站的线速度,地球自转角速度与中继卫星的角速度相同,且地球半
径小于中继卫星的轨道半径,根据v=ωr可知地面上观看直播的同学随地球自转的线速
度小于中继卫星的线速度,综合可知空间站的线速度比地面上观看直播的同学的线速
度大,A错误;第一宇宙速度是最小发射速度,也是最大环绕速度,故空间站的线速度小于
地球的第一宇宙速度,B错误;对地球两极附近质量为m0的物体有G =m0g,可得地球
两极的重力加速度g= ,对空间站有G =ma,可得a= ,即a成一场90 min的直播授课,此过程中空间站转过一周,如图所示,空间站
转过120°时,中继卫星仅转过7.5°,若只用一颗中继卫星传输,信号传输
中断,无法完成任务,D错误。
7.★★(2026届四川绵阳一中开学考)已知月球的质量约为地球质量的 ,月球半径约为
地球半径的 ,月球绕地球公转的周期约为27天。则下列说法正确的是 ( )
A.从地球向月球发射的探月飞船的发射速度应大于11.2 km/s
B.用同一速度竖直上抛一物体,在月球表面的最大上升高度是地球表面的 倍
C.月球到地心的距离大约是地球同步卫星轨道半径的9倍
D.月球的第一宇宙速度大于7.9 km/s
　 C　
解析　从地球向月球发射的探月飞船没有脱离地球引力的约束,所以发射速度应大于
7.9 km/s,小于11.2 km/s,A错误。根据 =mg,可得g= ,故 = · = ;物体做
竖直上抛运动的最大高度H= ,故 = = ,B错误。根据开普勒第三定律 =k,可
得 = = =9,C正确。根据 =m 可得星球的第一宇宙速度v= ,故
= = = ,可得月球的第一宇宙速度小于7.9 km/s,D错误。
8.★★★(2026届河北衡水开学考)中国载人登月初步方案已公布,计划2030年前实现载
人登月科学探索。假如在登月之前需要先发射两颗探月卫星进行科学探测,a、b两卫
星在同一平面内绕月球的运动可视为匀速圆周运动,且绕行方向相反,如图所示,测得两
卫星之间的距离Δr最小为3r、最大为5r,Δr的变化周期为T,不考虑两卫星之间的作用
力。下列说法正确的是 ( )
A.a、b两卫星的线速度大小之比va∶vb= ∶
　 C　
B.a、b两卫星的加速度大小之比aa∶ab=4∶1
C.a卫星的运行周期为 T
D.b卫星的运行周期为7T
解题导引

解析　根据ra+rb=5r、rb-ra=3r可得ra=r、rb=4r;根据G =m 可得v= ,故 = =
,A错误。根据G =ma可得a= ,故 = = ,B错误。a、b两卫星两次相距最
近的时间间隔为T,由几何关系可得θa+θb=2π【易错:a、b两卫星绕行方向相反,故两次
相距最近,满足的角度关系为θa+θb=2π,而不是θa-θb=2π】,其中θa= T、θb= T;根据开
普勒第三定律可得 = ,解得 = = ;联立解得Ta= T、Tb=9T,C正确,D错误。
9.★★★(2025届河北石家庄部分学校模拟)1772年,拉格朗日在论文《论三体问题》中
指出:两个质量相差悬殊的天体(如地球和月球)所在同一平面上有5个特殊点,如图中的
L1、L2、L3、L4、L5所示,人们称为拉格朗日点。若飞行器位于这些点上,会在地球
与月球共同引力作用下,可以几乎不消耗燃料而保持与地球同步做圆周运动。若发射
一颗卫星定位于拉格朗日点L2点,跟地、月两个大天体保持相对静止。设地球质量是
月球的k倍,地月间距为L,拉格朗日点L2点与月球间距离为d,忽略卫星对月球的引力。
下列说法正确的是 ( )
　 D　
A.该卫星绕地球运动的周期大于月球公转周期
B.该卫星在L2点处于平衡状态
C.该卫星与月球绕地球运动的线速度之比为v卫∶v月=L∶(L+d)
D.k、L、d的关系式为 + =
解析　该卫星与月球同步绕地球运动,可知该卫星绕地球运动的周期等于月球公转周
期,A错误。该卫星绕地球做匀速圆周运动,处于非平衡状态,B错误。根据v=ωr,可得
v卫∶v月=(L+d)∶L,C错误。设地球的质量为M,月球的质量为m1,卫星的质量为m2,对月球
可得G =m1ω2L,对卫星可得G +G =m2ω2(L+d),其中M=km1,联立解得
+ = ,D正确。
结合地理经、纬度分析卫星的追及问题
(2025届河北雄安新区期末)如图甲所示,卫星的“星下点”是指卫星的瞬时位置和地
球中心的连线与地球表面的交点,可用地理经、纬度来表示,对于位于“星下点”处的
地面观察者来说,卫星就在天顶。图乙是航天控制中心大屏幕上显示一天内卫星A和B
的“星下点”在地球表面的部分坐标轨迹。在某一时刻A、B同时到达赤道上空,具有
相同的“星下点”。已知地球同步卫星的轨道半径为R0,周期为T0。已知两卫星运行
方向与地球自转方向一致,轨道均近似为圆轨道,则下列说法正确的是 ( )
　 C　
创新风向·挑战思维
甲
A.对于极地轨道卫星而言,其“星下点”轨迹可能为一条直线段
B.卫星B的轨道半径为 R0
C.A、B卫星向心加速度之比为4∶
D.经过T0,A、B仍会同时到达赤道上空并具有相同的“星下点”
解题导引　关于“星下点”的分析

解析　对于极地轨道卫星,考虑到地球自转,在运动过程中会经过不同的经度,所以“星
下点”轨迹不可能为一条直线段,A错误。题图乙中,对卫星B的“星下点”轨迹分析可
得,TB= T0;根据开普勒第三定律可得 = ,解得RB= R0,B错误。题图乙中,对卫
星A的“星下点”轨迹分析可得,TA= T0;根据开普勒第三定律可得 = ,解得RA
= R0;联立可得 = ;卫星的向心加速度an= ,可得 = = = ,C正确。
经过T0,A刚好转过3圈,比地球多转2圈,“星下点”与初状态相同;B刚好转过1.5圈,比地
球多转0.5圈,“星下点”在初始时“星下点”的对面,故A、B“星下点”不在同一侧,
D错误。
　
微专题9 卫星的变轨问题　
双星和多星问题
题组1　卫星的变轨问题
1.★(2025江西,2,4分)如图所示,Ⅰ和Ⅱ分别为神舟二十号飞船的近地圆轨道、椭圆变
轨轨道,Ⅲ为天和核心舱运行圆轨道,P、Q为变轨点。不计阻力,飞船在轨道Ⅱ上从P点
到Q点运动过程中,下列选项正确的是 ( )
A.速率增大,机械能增大
B.速率减小,机械能减小
C.速率增大,机械能不变
D.速率减小,机械能不变
　 D　
解析　神舟二十号飞船在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点的过程中,只受万有引力作用,机
械能守恒,从P点到Q点过程中万有引力做负功,根据动能定理可知动能减少,故速率减
小,D正确。
2.★★(多选)(2025届陕西西安西工大附中模拟)我国已经掌握高速半弹道跳跃式再入
返回技术,为嫦娥五号返回奠定了基础。如图所示,虚线为地球的大气层边界,嫦娥五号
返回器从a点无动力滑入大气层,然后从c点“跳”出,再从e点“跃”入,实现减速。d点
为轨迹的最高点,到地心的距离为r,返回器在d点时的速度大小为v,地球质量为M,引力
常量为G。则返回器 ( )
A.在a、c、e点时动能相等
　 BC　
B.在b点加速度方向指向轨迹凹侧
C.在d点时的加速度大小为
D.在d点时的速度大小为v=
解析　返回器从a点运动到c点,空气阻力做负功,机械能减少,则a点动能大于c点动能;
从c点到e点,不受空气阻力,机械能守恒,则c点动能等于e点动能,A错误。返回器在b点
时,合力指向轨迹凹侧,故加速度方向指向轨迹凹侧,B正确。在d点时,返回器只受万有
引力,根据G =ma可得,加速度大小a= ,C正确。在d点时,返回器做近心运动,可得
G >m ,解得在d点时的速度大小v< ,D错误。
3.★★(多选)(2026届黑龙江哈尔滨三中期中)北京时间2025年7月15日8时52分,天舟九
号货运飞船(以下简称飞船)成功对接于空间站天和核心舱(以下简称核心舱)后向端
口。如图所示,对接前飞船、核心舱分别在轨道Ⅰ、Ⅱ上绕地球做匀速圆周运动,且两
者均沿顺时针方向运行。飞船通过变轨与核心舱对接最终二者一起在轨道Ⅱ上运动,
不计飞船的质量变化。下列说法正确的是 ( )
A.对接前飞船的线速度大于核心舱的线速度
B.对接前飞船的周期大于核心舱的周期
C.飞船可通过减速变轨至轨道Ⅱ上与核心舱对接
D.飞船在轨道Ⅰ上运行时的机械能小于在轨道Ⅱ上运行时的机械能
　 AD　
解析　由万有引力提供向心力,可得G =m =m r,可得v= ,T= ,可知对
接前飞船的线速度大于核心舱的线速度,飞船的周期小于核心舱的周期【点拨:高轨低
速大周期】,A正确,B错误。飞船从低轨道变轨到高轨道,需要在变轨处点火加速,所以
飞船可通过加速变轨至轨道Ⅱ上与核心舱对接,C错误。飞船从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ
需要点火加速,飞船的机械能增加,所以飞船在轨道Ⅰ上运行时的机械能小于在轨道Ⅱ
上运行时的机械能,D正确。
4.★★★(2025届陕西宝鸡模拟)2024年3月20日,长征八号火箭成功发射,将鹊桥二号直
接送入预定地月转移轨道。如图所示,鹊桥二号进入近月点为P、远月点为A的月球捕
获椭圆轨道,开始绕月球飞行。经过多次轨道控制,鹊桥二号最终进入近月点为P、远
月点为B、周期为24 h的环月椭圆轨道。关于鹊桥二号的说法正确的是 ( )

　 B　
A.离开火箭时速度大于地球的第二宇宙速度
B.在捕获轨道运行的周期大于24小时
C.在捕获轨道上经过P点时,需要点火加速,才
可能进入环月轨道
D.经过A点的加速度大于经过B点的加速度
解析 鹊桥二号进入地月转移轨道时,仍在地月系统内,其速度应小于地球的第二宇宙
速度,A错误。根据开普勒第三定律 =k可得,在捕获轨道运行的周期大于在环月椭圆
轨道运行的周期,B正确。从高轨道到低轨道需要减速做近心运动,所以鹊桥二号在捕
获轨道上经过P点时,需要点火减速,才可能进入环月轨道,C错误。根据 =ma可得,
加速度a= ,可得鹊桥二号经过A点的加速度小于经过B点的加速度,D错误。
5.★★★(2025河北,7,4分)随着我国航天事业飞速发展,人们畅想研制一种核聚变能源
星际飞行器。从某星球表面发射的星际飞行器在飞行过程中只考虑该星球引力,不考
虑自转,该星球可视为质量分布均匀的球体,半径为R0,表面重力加速度为g0。质量为m
的飞行器与星球中心距离为r时,引力势能为mg0 · (r≥R0)。要使飞行器在距星
球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动,则发射初速度为 ( )
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
　 B　
解析　飞行器在距星球表面高度为R0的轨道上做匀速圆周运动,根据万有引力提供向
心力可得G =m ,根据机械能守恒定律有 m - mv2=mg0 ,又根据黄
金代换可得GM=g0 ,联立解得v0= ,B正确。
题组2　双星和多星问题
1.★★★(2024届黑龙江三模)宇宙空间有一个恒星和黑洞组成的孤立双星系统,黑洞的
质量大于恒星的质量,它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动,双星系统中的黑洞能
缓慢“吸食”恒星表面的物质,造成质量转移且间距不变,它们的运动轨道可近似看成
圆,则 ( )
A.黑洞与恒星之间的引力大小不变
B.双星系统运动的周期变大
C.恒星运动的线速度变大
D.双星系统的总动能不变
　 C　
解析　设黑洞的质量为m1,恒星的质量为m2,根据万有引力定律可得F=G ,随着m1增
加、m2减少,m1m2变小,即引力减小【点拨:根据基本不等式可得,m1+m2不变,当m1=m2时,
m1m2最大】,A错误。设黑洞做圆周运动的半径为r1,恒星做圆周运动的半径为r2,对黑
洞,可得 =m1ω2r1,对恒星可得 =m2ω2r2,联立解得ω= ;双星的周期T=
2π ,可得T不变,B错误。根据m1ω2r1=m2ω2r2可得m1r1=m2r2;又因为r1+r2=L,联立
解得r2= L;随着m1增加,r2增大,可得恒星运动的线速度v2=ωr2增大,C正确。由于r1=
L、r2= L、ω= ,黑洞的线速度v1=ωr1,恒星的线速度v2=ωr2,可得
系统的总动能Ek= m1 + m2 = ,因m1m2变小,总动能减小,D错误。
2.★★★(2025届内蒙古包头二模)在恒星形成后的演化过程中,一颗恒星可能在运动中
接近并捕获另外两颗恒星,逐渐形成稳定的三星系统。如图所示是由三颗星体构成的
系统,星体B、C的质量均为m,星体A的质量是星体B的4倍,忽略其他星体对它们的作用,
三颗星体在相互之间的万有引力作用下,分别位于等边三角形的三个顶点上,绕某一共
同的圆心在三角形所在的平面内做圆周运动。星体A、B、C的向心加速度大小之比
为( )

　 A　
A. ∶7∶7　　　 B.4∶7∶7
C.1∶4∶4　　　 D.1∶7∶7
解析　假设三角形的边长为d,对星体A,根据万有引力定律可得,A所受的合力FA=2G
cos 30°= ;对星体B,根据正交分解可得FBx=FAB cos 60°+FCB= 、FBy=FAB
sin 60°= ,解得FB= = ;根据几何对称性可得,星体C受到的合力大
小FC=FB;则向心加速度大小之比aA∶aB∶aC= ∶ ∶ = ∶7∶7,A正确。
快速解法
运用“质心法”求解
三星系统不受外力作用,故质心为三星系统做圆周运动的圆心。根据几何关系可得4
mRA=2m(d sin 60°-RA),解得RA= d;RB= ,解得RB= d;根据几何对
称性可得,RC=RB。三颗星体的角速度相等,根据a=ω2R,可得aA∶aB∶aC=RA:RB:RC= ∶
7∶7。
3.★★★(2024重庆,7,4分)在万有引力作用下,太空中的某三个天体可以做相对位置不
变的圆周运动,假设a、b两个天体的质量均为M,间距为2r,其连线的中点为O,另一天体
c(图中未画出)质量为m(m M),若c处于a、b连线的垂直平分线上某特殊位置,a、b、c
可视为绕O点做角速度相同的匀速圆周运动,且相对位置不变,忽略其他天体的影响,引
力常量为G。则 ( )
A.c的线速度大小为a的 倍
B.c的向心加速度大小为b的一半
C.c在一个周期内的路程为2πr
　 A　
D.c的角速度大小为
解析 a、b、c三个天体角速度相同,由于m M,则对天体a有G =Mω2r,解得ω=
,D错误;设c与a、b的连线与a、b连线的中垂线的夹角为α,对天体c有2G
cos α=mω2 ,解得α=30°,则c的轨道半径为rc= = r,由公式v=ωr,可知c的线速度
大小为a的 倍,A正确;由公式a=ω2r,可知c的向心加速度大小是b的 倍,B错误;c在一
个周期内运动的路程为s=2πrc=2 πr,C错误。
4.★★★(多选)(2023福建,8,6分)人类为探索宇宙起源发射的韦伯太空望远镜运行在日
地延长线上的拉格朗日L2点附近,L2点的位置如图所示。在L2点的航天器受太阳和地
球引力共同作用,始终与太阳、地球保持相对静止。考虑到太阳系内其他天体的影响
很小,太阳和地球可视为以相同角速度围绕日心和地心连线中的一点O(图中未标出)转
动的双星系统。若太阳和地球的质量分别为M和m,航天器的质量远小于太阳、地球的
质量,日心与地心的距离为R,引力常量为G,L2点到地心的距离记为r(r R),在L2点的航
天器绕O点转动的角速度大小记为ω。下列关系式正确的是 可能用到的近似
≈ ( )
　 BD　

A.ω= 　　　 B.ω=
C.r= R　　　 D.r= R
解析　设日心到O点的距离为r1,地心到O点的距离为r2,在“日-地”双星系统中,根据牛
顿第二定律,对太阳有G =Mω2r1,对地球有G =mω2r2,其中r1+r2=R,联立解得ω=
,r1= R、r2= R,A错误,B正确。对于在拉格朗日L2点的航天器有
G +G =m'ω2(r2+r),其中该航天器质量为m',根据题目提供的近似式,解得r=
R,C错误,D正确。
5.★★★(2025届福建多校联考)宇宙中存在稳定的四星系统。如图1,四颗质量均为m
的行星位于边长为L1=L的正方形的四个顶点上,绕正方形中心一起做匀速圆周运动。
如图2,三颗质量均为m的行星位于边长为L2=2L的等边三角形的三个顶点上,绕位于三
角形中心的中央星一起做匀速圆周运动,若两个系统的环绕周期相等,则图2中中央星
的质量为 ( )
　
A. m　　　 B. m
　 C　
C. m　　　 D. m
解析 【关键:题图1中,四颗行星运行的周期均相等时,才能形成稳定的系统】题图1
中,行星的轨道半径r1= ;根据万有引力提供向心力可得2 cos 45°+ =m r1,
联立解得 = · 。【关键:题图2中,中央星处于平衡状态,其余三星做周期相
等的圆周运动】题图2中,设中央星的质量为km,顶点上行星的轨道半径r2= ;根据万
有引力提供向心力可得2 cos 30°+ =m r2,联立解得 = (3 k+3)。两
个系统的环绕周期相等,可得ω1=ω2,联立解得k= ,故中央星的质量为
m,C正确。

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