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安徽蚌埠市联考2025-2026学年第二学期期末学业水平监测高一数学
一、单选题
1．已知是虚数单位，复数，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．-1
2．若向量，则实数（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
3．利用斜二测画法作边长为2的正三角形的直观图，则所得直观图的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知正四棱台的上、下底面边长分别是、，高为，则该四棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．将函数的图象向右平移个单位长度得到余弦曲线，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知一个圆锥的底面半径为1，体积为，则其侧面积为（ ）
A． B． C． D．
7．设，角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在圆心为的半圆中，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．设，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在长方体中，，，点是棱上的动点（不含端点），过点作长方体的截面，将长方体分成上下两部分，体积分别为，则（ ）
A．对任意点，四边形是平行四边形
B．对任意点，
C．存在点，使截面为菱形
D．存在点，使是直角三角形
11．在中，分别是中线、角平分线和高，其中均在上，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
12．已知向量，，若，则___________．
13．已知都是锐角，，则______
14．设函数.若对任意实数a，均有，则k的最小值为________.
四、解答题
15．已知向量和，且与的夹角为．
(1)求；
(2)求的值；
(3)求与的夹角的余弦值．
16．已知函数的部分图象如图所示，其中点与点关于直线对称．
(1)写出点的坐标并求函数的解析式；
(2)当，时，求的值域．
17．如图，在正方体中，．
(1)证明：平面；
(2)求二面角的正弦值；
(3)求点到平面的距离．
18．在锐角三角形中，角所对的边分别为，且，
(1)求证：；
(2)求角的取值范围；
(3)求的取值范围．
19．如图，在四棱锥中，四边形为正方形，，分别为，的中点．
(1)证明：平面；
(2)若平面平面，直线与直线所成角的余弦值为．
（i）求边的长；
（ii）求四棱锥外接球的体积．
参考答案
1．A
【详解】，
所以的虚部为1.
故选：A
2．D
【详解】因为向量，
所以，
解得.
3．A
【详解】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为2，高为 ，
所以直观图的面积是.
4．C
【详解】由题意可知，该正四棱台的体积为.
5．B
【详解】由题意，,将替换为，可得：,AC错误；
由，对变形：，C正确，D错误.
6．D
【详解】∵ 圆锥底面半径，体积，由圆锥体积公式，
代入得，∴ .
∴ 圆锥母线长，
∴ 圆锥侧面积.
7．C
【详解】∵ 角的终边经过点，且，根据任意角的正切函数定义
由二倍角公式，代入得
又，因此有
化简得，结合同角三角函数平方关系，代入得：
，整理为，
解一元二次方程得.
∵ ，故，且，
舍去负根（小于，不符合余弦值域），因此.
8．A
【详解】取线段的中点，连接，由垂径定理可知，
则，
同理可得，
因为，即，所以，
所以.
9．BD
【详解】，A错误；
，B正确；
，C错误；
，D正确.
10．ABC
【详解】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
设，，
则截面与棱的交点，
则且等长；
且等长.
故四边形是平行四边形，A正确；
长方体体积，截面的对角线与交于
长方体中心，即截面过几何中心.
因此截面将长方体平分为两个全等部分，故，B正确；
，令其相等解得，
此时，满足，
四边形是平行四边形且邻边相等，
故截面是菱形，C正确；
三边平方为：
，
若，则，不符合；
若或，解得，不符合.
故无满足条件的点，使是直角三角形，D错误.
11．ACD
【详解】设，已知，
根据三角形三边关系有：，成立，，
，.
根据余弦定理：，，
所以，代入得：，
由，根据均值不等式，，时取等号，
又，，当时，，
，则，A正确；
是中线，则 ，在和中分别使用余弦定理：
在中：，
在中：，
，，将上述两式相加得：
，又，
，又，
，B错误；
，
利用二倍角公式化简左边得：
，
由，
，又，，C正确；
是高，面积，同时，
，联立解得，
令，则，
当时，，当时，，
，D正确.
12．
【详解】已知，则，计算得：.
13．
【详解】因为都是锐角，
所以，又因为，
所以，
，
因此
，
因为是锐角，
所以.
14．16
【详解】由条件知
，
当且仅当时，取到最大值.
根据条件，知任意一个长为1的开区间至少包含一个最大值点.从而，.
反之，当时，任意一个开区间均包含的一个完整周期，此时，.
综上，k的最小值为，其中，表示不超过实数x的最大整数.
15．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）已知，由数量积的定义可得：．
（2），
所以．
（3）因为，
16．(1)，
(2)
【详解】（1）依题意，点和点关于直线对称，所以点的坐标为．
由图象易得，所以，
又函数的图象过点，则，可得，
因为，故，
而，可得，
所以，解得，
设函数的最小正周期为，由图可知，则，故，
故，，所以．
（2）当时，则，
因为，则，
当时，，所以在上单调递减，
而，，所以；
当时，，且，则，
由可得，由可得，
此时函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，，则，
综上所述，函数的值域为．
17．(1)在正方体中，连结，
由平面平面，
所以，
又，
平面，且，
因此平面，
又平面，因此，
同理，，
又平面，且，
平面．
(2)
(3)
【详解】（1）略
（2）设，的交点为，连接，
由（1）知平面，
，
故为二面角的平面角,
因为，
所以，
即二面角的正弦值为．
（3）显然，
设到平面的距离为．
由得，，
解得．
即点到平面的距离为.
18．(1)因，由正弦定理得，
整理得，
即，
，故，
因为为锐角三角形，则，，
所以，即.
(2)
(3)
【详解】（1）略
（2）因为是锐角三角形，则，
解得，所以角的取值范围为．
（3）由（1）及正弦定理得
令，则，因此，
因为在区间上单调递增，
故，即，
所以的取值范围为．
19．(1)证明：取中点，连接，，如图所示：
是中点，，且，
又，且，故平行且相等，
即四边形是平行四边形，，
又平面平面，
故平面．
(2)（i）或；（ii）或
【详解】（1）略
（2）（i）因为正方形，所以且，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，所以，
因为，易知，
由（1）知，所以为直线与直线所成角，
即．
在中，由余弦定理得，
即，化简得，
解得，或，
若，因为，所以；
若，由，
,
解得．
综上，或．
（ii）①当时，两两相互垂直，且，
故四棱锥的外接球即以为棱的正方体外接球，
该外接球半径，
四棱锥外接球体积．
②当时，．
由正弦定理得，外接圆半径
作平行且等于，
因为平行且相等，平面，所以几何体为直三棱柱，
记外接圆的圆心分别为，连接，取中点，
如图所示：
易知为直三棱柱的外接球心，且，
故该外接球半径，外接球体积．
综上，所求体积为或．

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