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专题03 反比例函数与几何综合
（题型突破·举一反三）
▌题型01 类比法探索新函数的图象与性质
【典例1】
【答案】(1)①；
②③如图：
(2)①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）．
(3)或
【变式1】
【答案】(1)①2，4；②见解析；③见解析
(2)①该函数的图象关于直线对称；②当时该函数有最大值，最大值为4
(3)
【变式2】
【答案】(1)，，描点、连线如下图：
；
(2)减小，y轴；
(3)①B，②D，③或，④或．
【变式3】
【答案】(1)①，；②见解析
(2)1，3
(3)①5；②
▌题型02 反比例函数与一次函数交点问题综合
【典例2】
【答案】（1）；5；2（2）不能，图见解析，理由见解析（3），
【变式1】
【答案】(1)陌生；友好
(2)或；
(3)
【变式2】
【答案】(1)当时，方程有两个相等的实数根，
二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点；
当时，方程没有实数根，
二次函数的图像与一次函数的图像没有交点；
(2)；
(3)，答案不唯一，合理即可．
【变式3】
【答案】(1)2；2
(2)①0；；
②如图所示，即为所求；
(3)①，
理由如下：
联立得，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴或（舍去）；
②4米
▌题型03 反比例系数k的几何意义综合问题
【典例3】
【答案】(1)
(2)解：不会，理由如下：
如图，连接、，设与轴的交点为，
∵轴，
∴，轴，
由反比例函数的几何意义可知，
，，
∴为定值．
【变式1】
【答案】(1)
(2)①
②不会发生改变．理由如下：
∵设点A的坐标为，
∴可设点D的坐标为，点E的坐标为，且．
∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1，
．
，
．
即．
．
【变式2】
【答案】(1)4，6
(2)6
(3)或
【变式3】
【答案】(1)
证明：∵A、C的横坐标分别是和3，且点A、C在反比例函数图像上，
∴点，，
∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，
∴，,
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
把代入得，
∴在直线上，
∴对角线所在直线经过原点．
(2)对角线所在直线经过原点，
证明：∵点A、C在反比例函数图像上，
设点，，
∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，
∴，,
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
把代入得，
∴在直线上，
∴对角线所在直线经过原点．
(3)
【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，．
(1)当时，______；
(2)当时，______；
(3)当时，______；
(4)当时，______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
▌题型04 反比例函数的性质
【典例4】
【答案】(1)；二、四
(2)A，C
(3)
(4)
【变式1】
【答案】(1)
(2)且
【变式2】
【答案】(1)
(2)
(3)
证明：由题意得：，，，，
，，
① ， ②，
化简①得：③，
化简②得：④，
得：，
即，
，
．
【变式3】
【答案】(1)
(2)
（3）证明：由题意得：，
∴，
整理得：，
结合函数与的图象只有1个交点，则，
∴，
∴．
【变式4】
【答案】(1)，，
(2)
(3)的取值范围或
【变式5】
【答案】(1)
(2)＞
(3)
(4)
▌题型05 整点问题
【典例5】
【答案】(1)4
(2)①11；②
(3)
【变式1】
【答案】(1)，
(2)①；②
【变式2】
【答案】(1)D（），
(2)10
(3)当时，；当时，
【变式3】
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)函数是“整点函数”，理由见解析
(3)或
(4)
▌题型06 求一次函数与反比例函数围成图形面积
【典例6】
【答案】(1)，4
(2)或
(3)，，，
【变式1】
【答案】(1)直线的解析式为；
(2)或；
(3)；
(4)或或．
【变式2】
【答案】(1)①；②
(2)的面积是定值，定值为
【变式3】
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【变式4】
【答案】(1)，
(2)点，面积的最小值为
▌题型07 反比例函数与跨学科问题
【典例7】
【答案】(1)①；②零刻度所对应的点与点之间的距离为
(2)生锈秤砣的质量为
(3)
【变式1】
【答案】(1)
(2)9.6×10-3 m2
【变式2】
【答案】(1)高
(2)；
(3)这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的，理由如下：
根据题意，得当时，，
故这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的．
【变式3】
【答案】(1)反比例函数解析式为
(2)
(3)该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为
【变式4】
【答案】(1)，
(2)
(3)
【变式5】
【答案】(1)
(2)
(3)
▌题型08 反比例函数中的平行与相等
【典例8】
【答案】(1)，
(2)7.5
(3)
证明：∵轴，轴，
∴，
又，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【变式1】
【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数解析式为
（2）轴，轴，
，．
设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
又直线的表达式为，两直线k相等，
，
轴，
，
四边形是平行四边形．
【变式2】
【答案】(1)正确，
证明如下：
由，可得．
又，
，
，
．
(2)
证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则；
又，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
；
(3)k
【变式3】
【答案】(1) 证明：∵函数（，是常数）的图象经过，
∴．
∴ ，
设交于点E，
由题意，可得：B点的坐标为，D点的坐标为，E点的坐标为，
∵，
∴，；
据题意，点C的坐标为，，
∵，
∴，，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
(2)或
▌题型09 与反比例函数有关的新定义问题
【典例9】
【答案】(1)
(2)①；②6
(3)4
【变式1】
【答案】(1)
(2)
不在，理由如下：
根据题意，，
若经过点，
∴，
∴，
整理，得．
∵，
∴此方程无解，
∴不存在的值，使得，
∴点不在函数和的“均值函数”图象上；
(3)
证明：∵点在的图象上，
∴或，
∵轴，
∴，，
∴，，
∵轴，
∴，，
∴，．
∵和的“均值函数”为，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【变式2】
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【变式3】
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
▌题型10 反比例函数与几何综合
【典例10】
【答案】(1)
(2)或或
(3)
【变式1】
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【变式2】
【答案】(1)，相等，
(2)解：成立，理由如下：
反比例函数（）过，点，
∴，即，
设，设直线为，
∵，
∴，解得：，
∴直线为，
∴，
∵，，
同理可得直线为：，
∴，
∴，，
∵，，
∴.
(3)
【变式3】
【答案】(1)①；
②点在轴上，理由如下：
由①可得，反比例函数的解析式为，
将点代入，得，
∴直线的解析式为，
同理，直线的解析式为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
联立直线与反比例函数，得，
，
解得或，
∴点的坐标为，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴点在轴上．
(2)证明：由题意可知，，，
∴，，
∵，
∴，
由（1）可知，直线的解析式为，直线的解析式为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
同理，点的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，
由勾股定理可得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
(3)如图，平行四边形即为所求：
▌题型11 反比例函数的对称问题
【典例11】
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)当是等腰三角形时，的值为或
【变式1】
【答案】(1)
(2)
【变式2】
【答案】(1)
(2)点；直线向上平移的距离为
【变式3】
【答案】(1)，
(2)反比例函数的解析式为或
(3)的值为或
【变式4】
【答案】(1)①；②或；
(2)
证明：取的中点K，连接，如图：
由题意，得，，
∵点B与点A关于原点O中心对称，
∴，
将，分别代入中，
得：，
解得，
∴直线解析式为，
令，则，
∴；
设直线的函数表达式为，
将，分别代入中，
得：，
解得，
∴直线的函数表达式为，
令，则，
∴；
∵K为中点，
∴，
∵，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴．
▌题型12 反比例函数与特殊三角形存在性问题
【典例12】
【答案】(1)；
(2)存在， 、、、
【变式1】
【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为
(2)点的坐标为或
【变式2】
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，，，
【变式3】
【答案】(1)
(2)
(3)存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或，理由见详解
▌题型13 反比例函数与特殊四边形存在性问题
【典例13】
【答案】(1)，
(2)
(3)；；；
【变式1】
【答案】(1)；
(2)6；
(3)．
【变式2】
【答案】(1)，，反比例函数解析式为
(2)
(3)点坐标为或或或,
【变式3】
【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
(2)
(3)存在，
▌题型14 反比例函数与其它存在性问题
【典例14】
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，
【变式1】
【答案】(1)，
(2)15
(3)存在，或
【变式2】
【答案】(1)
(2)
【变式3】
【答案】(1)，
(2)
(3)或
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专题03 反比例函数与几何综合
（题型突破·举一反三）
题型01 类比法探索新函数的图象与性质
题型02 反比例函数与一次函数交点问题综合
题型03 反比例系数k的几何意义综合问题
题型04 反比例函数的性质
题型05 整点问题
题型06 求一次函数与反比例函数围成图形面积
题型07 反比例函数与跨学科问题
题型08 反比例函数中的平行与相等
题型09 与反比例函数有关的新定义问题
题型10 反比例函数与几何综合
题型11 反比例函数的对称问题
题型12 反比例函数与特殊三角形存在性问题
题型13 反比例函数与特殊四边形存在性问题
题型14 反比例函数与其它存在性问题
▌题型01 类比法探索新函数的图象与性质
【典例1】（2025·宁夏固原·三模）小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下：
(1)绘制函数图像
… 1 2 3 …
… …
①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______；
②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整．
(2)探究函数性质
通过观察图象，写出该函数的两条性质：
①_______
②_______
(3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______．
【答案】(1)①；
②③如图：
(2)①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）．
(3)或
【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的．
（1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象；
（2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可；
（3）根据图象即可得出答案．
【详解】（1）解：（1）①把代入，
得，
故答案为：；
②略
③略
（2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称；
②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大．
③函数值小于0．
（3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或．
【变式1】（22-23九年级下·甘肃武威·阶段检测）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数的性质．小明结合已有的经验探究了函数的图象及性质．
x … 0 1 2 3 4 …
y … 1 m n 2 1 …

(1)绘制函数图象①列表：上表是x与y的部分对应值，其中 ， ．
②描点：根据表中的数值描点．
③连接线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象．
(2)探究函数性质：请写出函数的两条性质：① ；② ．
(3)运用函数图象及性质，根据函数图象，写出不等式，解集是 ．
【答案】(1)①2，4；②见解析；③见解析
(2)①该函数的图象关于直线对称；②当时该函数有最大值，最大值为4
(3)
【分析】（1）①将和分别代入即可求m和n；②描点、连线，画出函数图象即
（2）写出两条符合图象的性质即可；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）解：当时，，当时，，
画出函数图象如下：
；
故答案为：，；
（2）解：性质1：该函数的图象关于直线对称；
性质2：当时该函数有最大值，最大值为4．
（3）解：观察图象可知，不等式的解集是．
【点睛】本题考查了函数的图形及性质，解题的关键是熟练掌握研究函数的方法：用列表、描点、连线作出图象，再数形结合研究函数性质．
【变式2】（22-23九年级下·湖南郴州·阶段检测）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中___________，____________．
…… -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 ……
…… -3.8 -2.5 -1 1 5 5 -1 -3.8 ……
②描点：请根据表中所给的数值在图中描点；
③连线：请结合反比例函数图象的特征，画出函数图象；
(2)探究函数性质
①当时，函数值y随着自变量x的增大而______________；（填“减小”或“增大”）
②函数的图象关于___________对称；
(3)运用函数图象及性质
①点，，在函数图象上，请比较，，的大小（ ）
A． B． C． D．
②点，在函数图象上，请比较，的大小（ ）
A． B． C． D．不确定
③写出方程的解_____________；
④写出不等式的解集___________．
【答案】(1)，，描点、连线如下图：
；
(2)减小，y轴；
(3)①B，②D，③或，④或．
【分析】（1）代入计算即可求出，的值，在表格中描点、连线即可；
（2）①由（1）所作图象可知当时，函数值y随着自变量x的增大而减小；
②函数的图象关于y轴对称；
（3）①由图象可知，离对称轴越远，函数值越小，对称轴为y轴，依据即可比较；
②同①可知，由于可知；
③由（1）列表可知，方程的解；
④由（1）列表可知方程的解为或，结合图像可知解集．
【详解】（1）解：①当时，，
当时，，
故答案为：，，
（2）①由（1）所作图象可知，
当时，函数值y随着自变量x的增大而减小，
②函数的图象关于y轴对称，
故答案为：减小，y轴；
（3）①由图象可知，离对称轴越远，函数值越小，对称轴为y轴，
，
，
故选：B；
②同①可知，
，
，
无法确，
故选D；
③由（1）列表可知，
方程的解为：
或，
故答案为：或；
④由（1）列表可知是方程的解，
由对称性可知方程的解为或，
结合图像可知解集为：
或，
故答案为：或．
【变式3】（2022·河南南阳·二模）给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：
(1)图象初探
①列表如下
1 2 3 4
3
请直接写出m，n的值；
②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
图①
(2)性质再探
请结合函数的图象，写出当________，y有最小值为________；
(3)学以致用
某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为千元/平方米．
设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：．
根据以上信息，请回答以下问题：
①水池总造价的最低费用为________千元；
②若该农户预算不超过千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？
【答案】(1)①，；②见解析
(2)1，3
(3)①5；②
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，数形结合是解此题的关键．
（1）①把和分别代入解析式即可得出结论；
②把表格中，的对应值在平面直角坐标系中描出来，再用光滑的曲线连接起来；
（2）根据图形得出结论；
（3）①根据（2）可得结论；
②令，解不等式即可．
【详解】（1）①，
当时，，
当时，，
，；
②如图：
（2）由图象可得：当时，的最小值为3，
故答案为：1，3；
（3）①由（2）可知，当时，的最小值为5，
水池总造价的最低费用为5千元，
故答案为：5；
②由题意，
，
，
解得：．
▌题型02 反比例函数与一次函数交点问题综合
【典例2】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及的值．
【答案】（1）；5；2（2）不能，图见解析，理由见解析（3），
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键。
（1）联立解析式解方程组得到另一个交点坐标；
（2）联立一次函数和反比例函数的解析式组成方程组，方程组无解所以不能围出；
（3）两个图象有唯一交点，即联立一次函数和反比例函数的解析式，消元后的一元二方程有两个相等实根，根据求解即可．
【详解】解：（1）将反比例函数与直线联立得：
，
整理得：，
解得：，，
另一个交点坐标为，
为米，为米，
米，米．
故答案为：，5，2；
（2）解：当时，直线为，
联立与，
得，
即，
判别式，
无交点，所以不能围出；
通过图象可得：函数与无交点，所以不能围出；
（3）当直线与双曲线有唯一交点时，联立得，
即，
判别式，
解得（舍去），
此时，
∴交点坐标为．
【变式1】（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．
根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：
【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”
【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”
【问题解决】
(1)对于函数①，②，③．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”；
(2)若与是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______；若与是“相连函数”，则的值为______；
(3)如图3，过点的直线、对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，、与轴分别交于，两点，已知，，求的值．
【答案】(1)陌生；友好
(2)或；
(3)
【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可；
（2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值；
（3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值．
【详解】（1）解：对于①与②，联立得，
整理，得，
∵，
∴该方程无实数解，即与无交点，
∴①与②是“陌生函数”，
对于①与③，联立得，
整理，得，
∴，
∴与有两个交点，
∴①与③是“友好函数”；
（2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象，
∴当时，的取值范围是或；
联立与，得，
，
整理，得，
∵与是“相连函数”，
∴，
解得；
（3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，
联立与，得，
，
整理，得，
∵与是“相连函数”，
∴，
∴，即，
∴直线的函数解析式为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
同理，点的坐标为，
∴，即，
∴．
【变式2】（2023·山西长治·二模）阅读与思考
巧用方程思想解决函数交点问题 我们知道，求两个一次函数图像的交点坐标时，可将问题转化为求方程组的解，即联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是其交点的坐标，同样，我们解决二次函数与直线的交点问题时，也可以类比这一思路求解． 下面是小林同学通过类比上述思路解决二次函数图像与一次函数图像的交点情况的部分探究过程：联立得． 整理，得． ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程． ∴． 当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图像与一次函数的图像有两个交点．
任务：
(1)请参照阅读材料中的分析过程，分别写出和时的分析结果；
(2)若二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点，求t的值；
(3)实际上，除了上述两种函数图像的交点外，初中数学还会遇到反比例函数图像与一次函数图像的交点情况，例如：反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点，则这个一次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可）
【答案】(1)当时，方程有两个相等的实数根，
二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点；
当时，方程没有实数根，
二次函数的图像与一次函数的图像没有交点；
(2)；
(3)，答案不唯一，合理即可．
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式说明根的情况和函数图像交点的情况即可；
（2）联立方程组，化简成一元二次方程的一般形式，用根的判别式，代入求解；
（3）函数图像有两个交点，保证根的判别式即可．
【详解】（1）解：根据一元二次方程根的判别式可得：
当时，方程有两个相等的实数根，
二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点；
当时，方程没有实数根，
二次函数的图像与一次函数的图像没有交点；
（2）联立函数表达式：，
可得：，
化简得： ，
函数图像有一个交点，
，
解得：；
故答案为：；
（3）反比例函数图像与一次函数图像有两个交点
∴联立反比例函数与一次函数解析式，满足，
如：，答案不唯一，合理即可．
【点睛】本题考查联立函数解析式求交点坐标和个数，解题的关键是掌握二次函数与一次函数、反比例函数与一次函数联立时，可得一元二次方程，需判断根的根的判别式：若时，方程有两个不相等的实数根，即有两个交点；若时，方程有两个相等的实数根，即有一个交点；若时，方程无实数根，即没有交点．
【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期末）综合与实践
在美化校园的活动中，某兴趣小组准备借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为米的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），使得矩形花园的面积恰好等于篱笆的长度，组员把这样的矩形命名为“完美矩形”．在围的过程中，兴趣小组提出问题：一定能围出“完美矩形”吗？如果能围出，那么对篱笆长度有什么要求？
(1)由简单情形入手，分析问题
假设篱笆长为4米，即时，设米，米，根据题意可得，解得_______________，______________，即当篱笆长为4米时，可以围出“完美矩形”；
(2)建立函数模型，画出函数图象
设米，米，依题意得，得到与的函数关系式为．再由篱笆长为米，得，即．兴趣小组的思路是用函数与函数来研究，作出两个函数的图象，如果两个图象在第一象限有交点，说明可以围出“完美矩形”．
接下来先画函数的图象：
列表：恰当地选取自变量的几个值，计算出对应的值，如表格所示，
… 0 2 3 4 …
… 4 3 2 …
描点：以表中各对x、y的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
任务：
①上面表格中，___________，___________；
②请你将下图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来；
(3)观察函数图象，数形结合解决问题
①一次函数的图象可由直线平移得到．当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，此时交点坐标为，继续移动……由此，兴趣小组得出了能围出“完美矩形”的篱笆长的范围，请你写出的取值范围，并说明理由；
②在直线平移的过程中，直接写出当为时“完美矩形”的长．
【答案】(1)2；2
(2)①0；；
②如图所示，即为所求；
(3)①，
理由如下：
联立得，
∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴或（舍去）；
②4米
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，正确理解题意是解题的关键．
（1）解方程组即可得到答案；
（2）①把和分别代入函数解析式中求解即可；②根据题意作图即可；
（3）①联立两函数解析式得到关于x的一元二次方程，根据方程有实数根，利用判别式求解即可；②根据（3）①所得的方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴，即，
解得，
∴；
（2）解：①在中，当时，，
当时，，
∴；
②略
（3）解：① 略
②当时，则，
解得或，
当时，，
当时，，
∴当为时“完美矩形”的长为4米．
▌题型03 反比例系数k的几何意义综合问题
【典例3】（25-26八年级下·上海徐汇·期末）如图，点 是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图像于点．点是轴上任意一点，连接 、．
(1)如果点的横坐标为，求的面积；
(2)如果点是反比例函数的图像上任意一点，那么的面积会发生改变吗？给出你的判断并通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)解：不会，理由如下：
如图，连接、，设与轴的交点为，
∵轴，
∴，轴，
由反比例函数的几何意义可知，
，，
∴为定值．
【分析】（1）先求出点、的坐标，再求出的面积即可；
（2）连接、，设与轴的交点为，由反比例函数的几何意义可知，，由等积变形可得为定值．
【详解】（1）解：将代入，得，
∴点的坐标为，
∵轴，
∴，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∴，
∵点是轴上任意一点，
∴点到直线的距离为，
∴；
（2）略
【变式1】（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接．
①当点A的横坐标为4时，求的面积；
②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①
②不会发生改变．理由如下：
∵设点A的坐标为，
∴可设点D的坐标为，点E的坐标为，且．
∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1，
．
，
．
即．
．
【分析】（1）利用反比例函数的性质求解；
（2）①根据函数解析式求出点纵坐标，设点D的坐标为，点E的坐标为，得出，然后利用割补法表示出三角形的面积即可；
②设点A的坐标为，表示出点D的坐标为，点E的坐标为，然后利用割补法表示出三角形的面积即可．
【详解】（1）解：∵矩形的面积为4，
∴，
∴或，
∵函数图象位于第一象限，
∴
∴该反比例函数的解析式为；
（2）解：①∵点A的横坐标为4，
∴，
∴点A的纵坐标为1．
∴可设点D的坐标为，点E的坐标为．
∵线段和的长成反比例关系，比例系数为1，
．
．
即．
；
②略
【变式2】（25-26九年级上·全国·单元复习）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为．
(1)初步尝试
如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积．
(2)类比探究
如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值．
(3)拓展延伸
如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值．
【答案】(1)4，6
(2)6
(3)或
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，二元一次方程组的解法，熟练的利用反比例函数k的几何意义建立方程或方程组解题是关键．
（1）由反比例函数的几何意义可得答案；
（2）如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可；
（3）分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，设，如图，当在的上方时， 如图，当在的下方时， 再进一步利用面积建立方程组解题即可．
【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，
∴，，
∴；
（2）解：如图4，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，
∴四边形，，，均为矩形，且，
∴，
设为h，而，，与的距离为5，
∴，
∴，
解得：，
∴；
（3）解：分别延长，交轴于，过点作轴于点，则四边形，，，都为矩形，且， ，，，
设，
如图，
当在的上方时，而轴，和间的距离为12，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
如图，当在的下方时，而轴，和间的距离为12，
∴，
同理可得：，解得：，
综上：或．
【变式3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究．
(1)如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点；
(2)若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由；
(3)如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积．
【答案】(1)
证明：∵A、C的横坐标分别是和3，且点A、C在反比例函数图像上，
∴点，，
∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，
∴，,
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
把代入得，
∴在直线上，
∴对角线所在直线经过原点．
(2)对角线所在直线经过原点，
证明：∵点A、C在反比例函数图像上，
设点，，
∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，
∴，,
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
把代入得，
∴在直线上，
∴对角线所在直线经过原点．
(3)
【分析】（1）先求出点，，得出，,再求出直线的解析式为：，证明在直线上，即可得出结论；
（2）设点，，同（1）即可求解；
（3）过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点，证明，设，则，得出，进而根据完全平方公式变形得出，再根据三角形的面积公式以及勾股定理，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图所示，
过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点，
∴
∵
∴
∴
又∵，
∴
∴
设，则
∴
∵点A、C在反比例函数图像上，
∴
∴
∴
∴
∴（负值舍去）
∴
【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，．
(1)当时，______；
(2)当时，______；
(3)当时，______；
(4)当时，______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，然后再利用求解即可．
【详解】（1）解：，，，…，的横坐标依次为1，2，3，…，2026，
阴影矩形的一边长都为1，
记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示：
将面积为，，…，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则，
当时，把代入，得，即，，
根据反比例函数中的几何意义可知，
，
故答案为：；
（2）解：同理当时，把代入，得，即，，
根据反比例函数中的几何意义可知，
，
故答案为：；
（3）解：当时，把代入，得，即，
，根据反比例函数中的几何意义可知，
，
故答案为：；
（4）解：当时，把代入，得，即，，
根据反比例函数中的几何意义可知，
，
故答案为：．
▌题型04 反比例函数的性质
【典例4】（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）已知在反比例函数（为常数，且）的图象上．
(1)______________，该反比例函数的图象在第_____________象限；
(2)判断点，，在该反比例函数的图象上的点是_____________．
(3)当时，该反比例函数的函数值的取值范围为_________________．
(4)，，在反比例函数图象上，且，比较的大小．（用<号连接）________________．
【答案】(1)；二、四
(2)A，C
(3)
(4)
【分析】此题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，比较反比例函数值大小，解题的关键是熟练掌握待定系数法．
（1）将代入即可求出；然后得到反比例函数，根据即可得到该反比例函数的图象在第二、四象限；
（2）分别将点A，B，C的横坐标代入求解判断即可；
（3）分别求出时和时的函数值，然后根据增减性求解即可；
（4）首先判断出点D，E在第二象限，点F在第四象限，然后根据该反比例函数的图象在第二、四象限和增减性求解即可．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得；
∴反比例函数，
∵，
∴该反比例函数的图象在第二、四象限；
（2）解：将代入，
∴点在该反比例函数的图象；
将代入，
∴点不在该反比例函数的图象；
将代入，
∴点在该反比例函数的图象；
∴在该反比例函数的图象上的点是A，C；
（3）解：∵该反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
∵，
∴当时，；当时，；
∴该反比例函数的函数值的取值范围为；
（4）解：∵，，在反比例函数图象上，且，
∴点D，E在第二象限，
∵，
又∵该反比例函数在第二象限内y随x的增大而增大，
∴，
∵，
∴点F在第四象限，
∴，
∴．
【变式1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）在坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)且
【分析】（1）将点代入一次函数可得，即；再将代入反比例函数求解即可；
（2）由反比例函数增减性可得随x的增大而减小，随x的增大而减小；则当时，，；当时，，；再根据题意可得；然后不等式组即可．
【详解】（1）解：将点代入一次函数得，解得：，
∴，
∴，解得：，
∴反比例函数的解析式．
（2）解：如图：当时，随x的增大而减小，随x的增大而减小，
当时，，；
当时，，；
∵当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值，
∴；
∴．
∵正比例函数，
∴，
综上所述，且．
【变式2】（24-25八年级下·浙江丽水·期末）已知反比例函数过点．
(1)当时，求的值．
(2)若，求m的取值范围．
(3)反比例函数过点，当时，，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)
证明：由题意得：，，，，
，，
① ， ②，
化简①得：③，
化简②得：④，
得：，
即，
，
．
【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
（1）根据待定系数法求出，进而求解；
（2）根据反比例函数图象的性质可分析出点和点所在象限；
（3）分别表示出每个点的纵坐标，代入条件式化简即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
代入中：，
当时，；
（2）解：反比例函数在每个象限内随的增大而减小，
∵，
要使，则点在第三象限，点在第一象限，
得：，
解得：；
（3）略
【变式3】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，已知点，点在反比例函数的图象上．
(1)求函数的表达式；
(2)当时，求的取值范围（直接写出结果）；
(3)设函数，若函数与的图象只有一个交点，求证：．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题考查的是利用待定系数法求解反比例函数的解析式，反比例函数的图象与性质，一元二次方程根的判别式的应用；
（1）由点，点在反比例函数的图象上．可得，再解方程并进一步求解即可；
（2）当时，随的增大而减小；从而可得答案；
（3）由，整理得：，结合函数与的图象只有1个交点，则，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵点，点在反比例函数的图象上．
∴，
解得：；
∴，
∴；
（2）∵，
∴当时，随的增大而减小，且；
当时，，
∴当时，的取值范围为；
（3）证明：由题意得：，
∴，
整理得：，
结合函数与的图象只有1个交点，则，
∴，
∴．
【变式4】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知函数的图象交于点和点．
(1)分别求函数、的表达式及的值；
(2)当时，；当时，；求的取值范围；
(3)对于实数，当时，；当时，，求的取值范围．
【答案】(1)，，
(2)
(3)的取值范围或
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数综合题，
（1）将代入表达式求出，再把点代入表达式即可求出；
（2）根据反比例函数性质列不等式求出即可；
（3）先求出当时，相应的p值，再结合图象性质写出范围即可．
【详解】（1）解：函数的图象交于点和点，
把代入，
则，
，
，
把代入，
则，
，
，
把代入，
，
；
（2）解：函数中，，
该函数图象在二、四象限，
当时，，
，
，
当时，，
，
，
；
（3）解：当时，，，
当时，，
解得：或，
当时，则或；
当时，，，
当时，，
或，
解得：或，
当时，则或；
综上所述，的取值范围或．
【变式5】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知矩形的面积为10，一边长为，另一边长为．
(1)直接写出与的函数表达式（标注自变量的取值范围）；
(2)若是该函数图象上的两个点，则_________（用“”、“”或“”填空；
(3)当时，若是该函数图像上的两个点，试比较与的大小，并说明理由．
(4)已知一次函数，当时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)＞
(3)，理由见解析
(4)
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题关键．
（1）根据矩形的面积=长×宽，列出解析式即可；
（2）将A，B两点的横坐标代入函数解析式，求出两点的纵坐标，比较大小即可；
（3）判断出，根据反比例函数的性质解答即可；
（4）分和两种情况结合函数图象讨论求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
∴，
∴y与x的函数表达式是，
（2）解：当时，，当时，，
∵，
∴，
故答案为：＞；
（3）解：∵y与x的函数表达式是，
∴，
根据函数图象的性质可知：y随x的增大而减小，
∵，
∴
∴，
（4）解：∵当时，恒成立
∴设，
当时，当时，恒成立不存在，
当时，当时，恒成立，则当时，，即：
，
解得，．
▌题型05 整点问题
【典例5】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．
(1)求的值
(2)如图1，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点，记为线段、双曲线所围成的区域为（含边界），
①当时，区域的整点个数为 ；
②当区域的整点个数为4时，点横坐标满足，则纵坐标取值范围为 ；
(3)直线将分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为，直线下方（不包含直线）区域记为，当的整点个数之差不超过2时，则的取值范围为 ．
【答案】(1)4
(2)①11；②
(3)
【分析】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键．
（）根据点A在的图象上，可求出的值；
（）标出区域，再统计区域内的整数点即可；
过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可
【详解】（1）解：∵双曲线经过点，
∴，
即的值为；
（2）解：当时，由图可知，
上的整点有个，
上的整点有个，
双曲线上段的整点有个，
区域内部的整点有个，
又点，，都被算了次，
所以区域的整点个数为：，
故答案为：；
∵区域的整点个数为4，且点横坐标满足，
∴区域内的整点为，，，，如图所示：
∴纵坐标的取值范围为；
（3）解：由题知，，
则不论为何值，时，即直线过定点，
如图所示，当时，区域内的整点共有个，
又被分成的区域和的整点个数之差不超过，
则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求，
此时，得，
当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求，故当点在直线上方时，即可，
此时，
解得：，
故的取值范围是：．
【变式1】（2023·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数的图像与一次函数的图像交于点．
(1)求，的值；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．点是射线上一点，过点分别作轴，轴的垂线交函数的图像于点，．将线段，和函数的图像在点，之间的部分所围成的区域（不含边界）记为．
利用函数图像解决下列问题：
①若点的横坐标是，直接写出区域内整点个数；
②若区域内恰有个整点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)，
(2)①；②
【分析】（1）先根据直线的解析式可求的值，从而可得点的坐标，再将点坐标代入反比例函数的解析式可得的值；
（2）①先求出点坐标，再根据反比例函数的解析式求出点、坐标，然后结合函数图像、整点的定义即可得；②由图可知点不可能在点下方，故点在点上方，结合函数图像列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：函数的图像与一次函数的图像交于点，
，即，
，
将代入反比例函数中，解得：，
故答案为：，；
（2）①由（1）可知反比例函数解析式为，
点是射线上一点，的横坐标是，
将代入，得
将代入，得
点与 轴，轴的垂线交函数的图像于点，，
，，
如图：
结合函数图像可知，区域内有个整数点；
②区域内恰有个整点，由图可知点只能位于的上方如图：
如图，当的纵坐标为时，横坐标为，
结合图像可知，当时，区域内有个整数点．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，掌握反比例函数的性质，正确画出函数图像是解题关键．
【变式2】（22-23八年级下·浙江金华·期中）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．

(1)当时，求D点的坐标和m值．
(2)当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值．
(3)当时，请直接写出t与m之间的关系式．
【答案】(1)D（），
(2)10
(3)当时，；当时，
【分析】（1）联立方程组求解可得，根据点为整点，可得，代入，求得，与联立，可求得，再通过联立求解可得，，即可得出答案；
（2）根据题意可得，必为整点，即为偶数，由，可得，，进而推出，，建立方程求解即可得出答案；
（3）当时，线段上有2个整点：设D（d，d），，
，进而得出，建立方程求解即可求得；当时，线段上只有1个整点，设，则线段上有个整点，线段上有个整点，得出，，可推出，再把点的坐标代入，即可得出．
【详解】（1），
，
由，解得：，
，
点为整点，且点的横坐标是小于2的正整数，
点的横坐标为1，
，
把代入，得，
解得：，
，
联立得，解得：，，
，
由，解得：，
，，
线段上整点有1个：，线段上整点有4个：，，，．
；
（2）线段上的整点个数为7，，必为整点，
为偶数，
，
，，
，
线段上有3个整点，
，，
，
，
解得：；
（3）当时，线段AD上整点个数为2，即A、D两点，
∴线段BC上整点个数为2m，由对称可知，BD上整点个数为，
设D（d，d），则，
又∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当时，线段AD上只有一个整点A，
∴线段BC上整点个数为m，
由对称BD上整点个数为，设A（a，a），则B，
∴，
∴，
∴，即；
综上，当时，；当时，
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，抓住图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解决问题的关键．
【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边长为n（n为正整数，且），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点在等腰直角三角形边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形只有两个交点且交点均是等腰直角三角形的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形的“整点函数”．

(1)如图1，当时，一次函数是等腰直角三角形的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为______（写出一个即可）；
(2)如图2，当时，函数的图像经过，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由；
(3)当时，二次函数经过的中点，若该函数是“整点函数”，求的取值范围；
(4)在（3）的条件下，是二次函数图象上两点，若点、之间的图象（包括点、）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)函数是“整点函数”，理由见解析
(3)或
(4)
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数综合：
（1）求出恰好经过A、B的直线解析式即可得到答案；
（2）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用直线和反比例函数解析式，求出二者的交点坐标即可得到结论；
（3）先利用待定系数法求出，进而得到对称轴为直线，则抛物线一定经过点，再分当，当两种情况讨论求解即可；
（4）根据（3）所求分当，当两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
当直线恰好经过A、B时符合题意，
∴，
∴，
∴，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：把代入中得，
∴反比例函数解析式为，
由题意得，，，
直线的解析式为．
联立，解得或，
与线段有两个交点，分别为和，且都是整点；
函数是“整点函数”；
（3）解：当时，，，
∴中点坐标，
过，
，
，
，
∴抛物线的对称轴为直线，
由题意，抛物线一定经过点，
当时，抛物线是“整点函数”，且顶点坐标为，
，
，
；
当时，则抛物线与轴正半轴的交点在点右侧，即当时，，，
∴，
．
综上，的取值范围是或．
（4）解：由（3）可知抛物线的对称轴为直线．
①当时，则顶点为最高点，为最低点，
，
整理得，，（舍），
②当时，，
抛物线开口向上，在对称轴右侧，随的增大而增大，
最高点为点，最低点为点．
．
解得（舍），．
综上所述，的值为1．
▌题型06 求一次函数与反比例函数围成图形面积
【典例6】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点．
(1)求一次函数的解析式及面积；
(2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围．
(3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标．
【答案】(1)，4
(2)或
(3)，，，
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）将点、的坐标代入反比例函数解析式，即可得出、的值，从而得出点、的坐标，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的解析会，计算出直线与轴、轴的交点坐标为、，再由三角形的面积公式即可得解；
（2）由，，再结合函数图象即可得解；
（3）由题意可得，设，即，再由列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点，
将与坐标代入反比例解析式得：，，
、，
代入一次函数解析式得：
，
解得：，，
则一次函数的解析式为，
当时，，当时，则，
解得，
∴直线与轴、轴的交点坐标为、，
∴；
（2）解：∵，，
∴反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或；
（3）解：∵，
∴，
设，即，
，
∴，
解得：或，
∴，，
同理可得：，，
综上所述，点的坐标为，，，．
【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于、，且直线与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若不等式成立，则的取值范围是________；
(3)连接，直接写出的面积________；
(4)若直线与轴平行，且与双曲线交于点，与直线交于点，连接、，当的面积是面积的时，直接写出的值________．
【答案】(1)直线的解析式为；
(2)或；
(3)；
(4)或或．
【分析】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，函数图象解不等式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）先求出，然后利用待定系数法即可求解；
（）根据图象即可求解；
（）由（）得直线的解析式为，，则有，所以，然后通过即可求解；
（）由（）得直线的解析式为，则，，所以，然后分当时和时两种情况进行求解并检验即可．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过，
∴，解得：，
∴，
∵直线图象过、，
∴，解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：由图象可知：不等式成立，则的取值范围是或，
故答案为：或；
（3）解：如图，
由（）得直线的解析式为，，
当时，，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：；
（4）解：如图，
由（）得直线的解析式为，
∴，，
∴，
∴，
∵的面积是面积的，
∴当时，
，
，
整理得：，
解得：或，
经检验：或是原方程的解，
当时，
，
，
整理得：，
解得：或，
经检验：或是原方程的解，
∵，
∴，
故答案为：或或．
【变式2】（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）如图，动点在函数的图象，过点分别作轴和轴的平行线交反比例函数的图象于点、，作直线，设直线表达式为．
(1)若点的坐标为，
①求直线的函数解析式；
②连接、，求的面积；
(2)连接、，试探究点在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)的面积是定值，定值为
【分析】本题考查点的坐标，一次函数和反比例函数的综合，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握待定系数法求解析式．
（1）①根据点的坐标即可求出，． 再利用待定系数法即可求出直线的函数表达式；②延长交轴于点，延长交轴于点，易证四边形是矩形，根据反比例函数k的几何意义可得，由①可求，根据即可求解；
（2）延长与轴交于点，设，则表示出，，，，，利用即可求出的面积是定值，定值为．
【详解】（1）解：①∵点的坐标为，轴，轴，
∴，，
把代入中，得，
∴，
把代入中，得，
∴．
把、的坐标都代入中，得 ，
解得，
∴直线的函数表达式为：；
②延长交轴于点，延长交轴于点，
∵轴，轴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵点B，点C在反比例函数的图象上，点M在反比例函数的图象上，
∴，
由①知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：的面积是定值．
延长与轴交于点，
设，则，，，
∴，，，，，
∴
．
∴的面积是定值，定值为．
【变式3】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，B两点，点C是一次函数的图象与y轴的交点
(1)求一次函数的表达式和点B的坐标．
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
(3)连接，，若点P是y轴上一点，连接，，若的面积是的面积的，求点P的坐标．
【答案】(1)，
(2)或
(3)或
【分析】（1）将点代入之中得点，再将点代入之中得，由此可得一次函数的表达式；解方程组可得点的坐标；
（2）根据点，，结合函数的图象可得出不等式的解集；
（3）过点作轴于，过点作轴于，则，，再求出，则，进而，则的面积是4，设，分两种情况讨论如下：①当点在点的上方时，则点，根据得，由此解出，进而可得点的坐标；②当点在点的上方时，则点，同理得，进而可得点的坐标，综上所述即可得出答案．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
∴，
点，
一次函数的图象经过点，
，
解得：，
一次函数的表达式为：，
解方程组，得，，
点的坐标为，
故一次函数的表达式为，点；
（2）解：一次函数与反比例函数的图象交于，，
不等式的解集为：或；
（3）解：过点作轴于，过点作轴于，如图1所示：
点，点，
，，
对于，当时，，
一次函数与轴的交点的坐标为，
，
，
的面积是的面积的，
的面积是4，
设，
分两种情况讨论如下：
①当点在点的上方时，则，如图2所示：
点的坐标为，
，
，
解得：，
点的坐标为；
②当点在点的下方时，则，如图2所示：
点的坐标为，
同理：，
点的坐标为．
综上所述：点的坐标为或．
【点睛】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求一次函数的表达式，及反比例函数与一次函数的交点坐标，理解反比例函数与一次函数的性质是解决问题的关键．
【变式4】（2024·重庆·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直轴于点，为坐标原点，四边形的面积为．
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)在反比例函数位于第三象限的图象上是否存在一点，使得的面积最小？如果有，求出点的坐标和的面积最小值．
【答案】(1)，
(2)点，面积的最小值为
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点坐标，待定系数法求一次函数、反比例函数的关系式，掌握反比例函数与一次函数的交点坐标的计算方法是正确解答的前提，根据坐标得出相应线段的长是计算面积的关键．
（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进而利用四边形的面积得出，解方程即可求得N的坐标，然后把M、N的坐标代入，进一步求得一次函数的解析式；
（2）求出与直线平行且在第三象限内与反比例函数有唯一公共点的坐标即为点P的坐标，此时面积的最小，利用三角形、梯形面积以及各个部分面积之间的关系进行计算即可．
【详解】（1）解：如图，
∵反比例函数过点，
，
反比例函数的解析式为，
设，
，
，
四边形的面积为，
四边形的面积为，
，
解得，舍去，
，
一次函数的图象经过点、，
，解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：与直线平行，且在第三象限与反比例函数有唯一公共点时，的面积最小，
设与直线平行的直线的关系式为，当与在第三象限有唯一公共点时，
方程有唯一解，
即有两个相等的实数根，
，
解得或舍去，
与直线平行的直线的关系式为，
方程的解为，
经检验，是原方程的解，
当时，，
点，
如图，过点作的垂线，交的延长线于点，交轴于点，延长交于点，
由题意得，
，，，， ，
，
答：点，面积的最小值为．
▌题型07 反比例函数与跨学科问题
【典例7】（2026·河北石家庄·二模）杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”．
设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．）
(1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离；
①根据题意，求出关于的函数表达式；
②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离；
(2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量；
(3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围．
【答案】(1)①；②零刻度所对应的点与点之间的距离为
(2)生锈秤砣的质量为
(3)
【分析】（1）①根据公式代入已知数量可得答案；②由零刻度时，，即可求解；
（2）根据题意可得当一个物体的质量为，，设生锈的秤砣的质量为，可得，即可求解；
（3）把 ，代入，可得，从而得到越大，越小，即可求解．
【详解】（1）解：① ，，，
，
．
②∵零刻度时， ，
．
∴零刻度所对应的点与点之间的距离为．
（2）解：∵当一个物体的质量为，
，
，
设生锈的秤砣的质量为，
，
解得：，
∴生锈秤砣的质量为．
（3）解：由题意得： ，代入．得：
，
，
，
越大，越小，
当时，，
．
【变式1】（2026·广东汕头·三模）最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表：
地面所受压强 … …
接触面积 … …
(1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式；
(2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？
【答案】(1)
(2)9.6×10-3 m2
【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，利用待定系数法求解即可．
（2）将代入求解即可．
【详解】（1）解：设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为．
将代入，
得，
∴地面所受压强关于接触面积的函数表达式为．
（2）解：将代入时，
则，
∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为平方米．
【变式2】（25-26八年级下·北京·阶段检测）【问题情境】
排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成．如图1，现要利用若干长为的相同吸管制简易排箫．
【实验操作】
将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表（表1）：
长度x（ ） 200 150 120 100 80 60 50
振动频率y（） 435 580 725 870 1450 1740
【探索发现】
(1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越_________（填“高”或“低”）；
(2)请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．小帆发现：振动频率y与吸管长度x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式．
(3)已知频率越高，音调越高；频率越低，音调越低．表2是C调音符与频率对照表，根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由．
表2：C调音符与频率对照表
音符 不同音区的频率（）
低音区 中音区 高音区
262 523 1046
294 587 1175
330 659 1318
349 698 1397
392 784 1568
440 880 1760
494 988 1976
【答案】(1)高
(2)；
(3)这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的，理由如下：
根据题意，得当时，，
故这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的．
【分析】（1）根据表中的函数值变化情况解答即可；
（2）利用画图象的基本步骤，待定系数法求解即可．
（3）当时，，对照表解答即可；
【详解】（1）解：通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高；
（2）解：设，当时，，
故，
解得，
故；
图象略
（3）略
【变式3】（25-26八年级下·上海黄浦·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题：
(1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ；
(2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ；
(3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围．
【答案】(1)反比例函数解析式为
(2)
(3)该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为
【分析】（1）设反比例函数的解析式为，观察图像，结合点计算出反比例函数的，即可得到答案；
（2）把代入反比例函数的解析式中即可求解；
（3）浸入溶液的高度不能低于，则，从而解得的取值范围．
【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，代入图像上点得，
∴；
（2）解：∵，，
得；
（3）解：由题意可知，，即，解得，
又，
∴，
答：该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围为．
【变式4】（2026·湖北宜昌·一模）某综合实践活动小组结合物理热敏电阻特性与数学函数知识，设计了一款简易温度监测报警装置（图1），其工作原理是通过温度传感器监测环境温度，当环境温度达到设定的超限报警温度点时，启动超限报警功能．热敏电阻（单位：）与环境温度（单位：）满足的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图2所示；图3的电路中，电源电压伏，定值电阻，电压表测两端电压（单位：V），当达到设定阈值时触发报警．
温馨提示：①欧姆定律；②串联电路电流处处相等，总电压等于各部分电压之和．
(1)求，的值，并写出关于的函数解析式；
(2)求关于的函数解析式；
(3)若电压表量程为，为保护电压表，请确定该监测报警装置可监测的最高环境温度．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）将，代入，求出k、b的值，即可得出函数解析式；
（2）根据可变电阻和定值电阻的电流大小相等，得出，将，，代入求出结果即可；
（3）根据反比例函数的性质得出随的增大而增大，从而得出当取最大值3时，有最大值，求出最大值即可．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得：，
∴．
（2）解：由题意得：可变电阻电压，
∵，可变电阻和定值电阻的电流大小相等，
∴，
将，，代入化简得：
．
（3）解：∵中，，
∴随的增大而增大，即当取最大值3时，有最大值，
∴最大为，
∵，符合的取值范围，
∴该装置可监测的最高环境温度为．
【变式5】（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为．
(1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值；
(2)求关于总电阻的函数解析式：
(3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】结合图像求出与的函数关系式，以及利用反比例函数的性质求解电流的取值范围．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，
由图2可知，图像经过点和，
代入得：，
解得：，
．
当时，（），
，且，
（）．
（2）解：电流与总电阻成反比例，
设，
由（1）可知，当时，，此时，
代入得：，
解得：，
关于电阻的函数解析式为．
（3）解：由（1）可知，，
当时，（），
当时，（），
当时，，
，且，
随的增大而减小，
当时，取最大值，（），
当时，取最小值，（），
电流表显示电流的取值范围．
▌题型08 反比例函数中的平行与相等
【典例8】（河南省洛阳市汝阳县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5．
(1)求k和m的值；
(2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积；
(3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形．
【答案】(1)，
(2)7.5
(3)
证明：∵轴，轴，
∴，
又，，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【分析】此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法，灵活运用待定系数法是解本题的关键．
（1）由的面积求出m的值，由m的值确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值；
（2）先求出，再根据待定系数法求出直线的解析式为，进而确定，即可求解；
（3）推出，，即可证明．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）解：点代入得，
设直线的解析式为，
由得，
∴，
令得，
∴，
∴．
（3）略
【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于、两点，一次函数分别交x轴、y轴于C、D两点，轴于点E．
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)作轴于点F，连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数解析式为
(2)见解析
【分析】（1）先将A点坐标代入反比例解析式，得到反比例解析式，再将B点坐标代入反比例解析式得到B点坐标，根据A、B点坐标求出一次函数解析式；
（2）先求出直线的解析式，对比直线的解析式和直线的解析式，发现k相等，得到两直线平行，即，再结合条件得到，从而证明四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
代入得，
，
反比例函数解析式为，
反比例函数的图象过点，
，
，
一次函数经过，，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）轴，轴，
，．
设直线的解析式为，
将，代入得，
，
解得，
直线的解析式为，
又直线的表达式为，两直线k相等，
，
轴，
，
四边形是平行四边形．
【变式2】（23-24九年级上·山东济南·期末）请阅读以下材料，并完成相应任务．
问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．”
(1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
(2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：．
(3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)．
【答案】(1)正确，
证明如下：
由，可得．
又，
，
，
．
(2)
证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则；
又，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
；
(3)k
【分析】（1）由，可得，求证，即可求解；
（2）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则，推出四边形和四边形都是平行四边形，即可求解；
（3）根据反比例函数的几何意义求解面积即可.
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：如图（2），连接，，则．
又，
，
，， ，
．
【变式3】（24-25九年级下·上海·阶段检测）已知：反比例函数图象过和．过作轴垂线垂足为，过作轴垂线，垂足为，连结、、、．
(1)求证：
(2)当时，求直线的解析式．
【答案】(1)见解析
(2)或
【分析】（1）待定系数法求出的值，根据反比例函数上的点的特点，得到之间的关系，依题意可证，，得到，证明，得到，进而得到；
（2）由于，当时，有两种情况：①当时，四边形是平行四边形，由（1）得，点B的坐标是，设直线的函数解析式为，用待定系数法可以求出解析式；②当与所在直线不平行时，四边形是等腰梯形，则，可求点B的坐标是，设直线的函数解析式，用待定系数法可以求出解析式即可．
【详解】（1）证明：∵函数（，是常数）的图象经过，
∴．
∴ ，
设交于点E，
由题意，可得：B点的坐标为，D点的坐标为，E点的坐标为，
∵，
∴，；
据题意，点C的坐标为，，
∵，
∴，，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴当时，有两种情况：
①当时，四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得，，，
∴，
∴，得．
∴点B的坐标是．
设直线的函数解析式为，把点A，B的坐标代入，
得 ，
解得．
故直线的函数解析式是．
②当与所在直线不平行时，四边形是等腰梯形，则，
∴，
∴点B的坐标是．
设直线的函数解析式为，把点A，B的坐标代入，
得 ，
解得 ，
故直线的函数解析式是．
综上所述，直线的函数解析式是或．
【点睛】此题考查反比例函数综合题，待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，相似三角形的判定和性质，平行四边形和等腰梯形的性质等知识，利用数形结合，分类讨论的思想求解，是解题的关键．
▌题型09 与反比例函数有关的新定义问题
【典例9】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）定义：函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”．如图1，图象上的点就是这个函数的“等距点”．
(1)求函数的“等距点”；
(2)如图2，点，都是函数（是常数）的“等距点”，
①点的坐标为 ；
②点的坐标是，连接，求的面积；
(3)若二次函数只有一个“等距点”，请直接写出的值．
【答案】(1)
(2)①；②6
(3)4
【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，涉及到反比例函数和一次函数的性质，理解新定义是解题的关键．
（1）由题意得：，即可求解；
（2）①由，即可求解；②由的面积，即可求解；
（3）由题意得，“等距点”所在的函数表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：或，则且或且，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，“等距点”所在的函数表达式为：，
∴，
∵直线与直线平行，
∴，
解得：，
∴，
即函数的“等距点”为；
（2）解：①将点的坐标代入函数表达式得：，
则函数的表达式为：，与直线有交点，
则，即，
解得：，
∵时，
则点，
故答案为：；
②根据函数的对称性，
则的面积；
（3）解：由题意得“等距点”所在的表达式为：，
联立上式和抛物线的表达式得：或，
则或，
解得：．
【变式1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）定义：已知反比例函数（）和（），当且时，称为这两个函数的“均值函数”．完成下列问题：
(1)已知反比例函数和，则它们的“均值函数”是 ；
(2)判断：点是否在反比例函数和的“均值函数”图象上，请说明理由；
(3)如图，已知，反比例函数和的“均值函数”为，点在的第一象限图象上，过点分别作轴、轴的垂线，与和的图象交于点，，，．求证：．
【答案】(1)
(2)
不在，理由如下：
根据题意，，
若经过点，
∴，
∴，
整理，得．
∵，
∴此方程无解，
∴不存在的值，使得，
∴点不在函数和的“均值函数”图象上；
(3)
证明：∵点在的图象上，
∴或，
∵轴，
∴，，
∴，，
∵轴，
∴，，
∴，．
∵和的“均值函数”为，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【分析】（）根据两个函数的“均值函数”的定义即可求解；
（）根据题意得，若经过点，则转化为，然后根据根的判别式即可求解；
（）由点在的图象上，则或，再根据轴，轴，求出，，，，再由和的“均值函数”为，则，最后由平行四边形的判定与性质即可求证；
本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵反比例函数和，
∴，
∴它们的“均值函数”是，
故答案为：；
（2）解：略；
（3）证明：略．
【变式2】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）我们定义：若点A在一个函数的图像上，且点A的横、纵坐标互为相反数，则称点A为这个函数的“反点”．
(1)一次函数的“反点”的坐标为______；
(2)已知反比例函数与一次函数有公共的“反点”，求k的值；
(3)若点P为反比例函数的“反点”，则点P到直线上任意一点的最小距离为______；
(4)已知关于x的二次函数对于任意的常数n恒有两个“反点”，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）设一次函数的“反点”的坐标为，则，求解即可；
（2）设一次函数的“反点”的坐标为，则，求解，得到“反点”的坐标为，代入反比例函数，即可求解；
（3）易求反比例函数的“反点”P的坐标为或，设点P到直线上任意一点Q的距离最短，点Q的坐标为，根据两点间距离公式求得的长，再根据二次函数的性质即可得到最小值；
（4）由关于x的二次函数对于任意的常数n恒有两个“反点”，得有两个不等的实数根，得到恒成立，进而关于n的方程无解，即可求得m的取值范围．
【详解】（1）设一次函数的“反点”的坐标为，
∴，
解得，
∴该“反点”的坐标为．
故答案为：；
（2）设一次函数的“反点”的坐标为，
∴，
解得，
∴该“反点”的坐标为．
∵反比例函数与一次函数有公共的“反点”，
∴，
解得；
（3）由（2）得，则反比例函数为，
设反比例函数的“反点”坐标为，
∴，
解得，
∴点P的坐标为或，
设点P到直线上任意一点Q的距离最短，点Q的坐标为，
①若点，
则
当时，有最小值，为，
②若点，
则
当时，有最小值，为，
综上所述，点P到直线上任意一点的最小距离为；
故答案为：；
（4）令得，
整理，得，
由题意，得有两个不等的实数根，
∴，
∵对于任意的n，不等式恒成立，
∴关于n的方程无解，
∴，
即，
∴．
【点睛】本题考查新定义，函数的图象，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，根的判别式．解题的关键是理解新定义，综合运用函数的相关知识，熟练掌握函数与方程不等式的联系．
【变式3】（2025·广东·二模）【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为．
【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题：
(1)求点的“纵横差”；
(2)求函数的“纵横极差”；
(3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了新定义下的运算，反比例函数的图象和性质，掌握新定义下的运算是解题的关键．
（）根据“纵横差”的定义求解即可；
（）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可；
（）根据“纵横极差”的定义得，然后通过反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，点的“纵横差”为；
（2）解：由题意，函数图象上所有点的“纵横差”为，
又∵当时，随的增大而减小，
∴当时，的值最大，最大值是，
∴函数的“纵横极差”为；
（3）解：∵，
∴由题意，该函数图象上所有点的“纵横差”为，
根据反比例函数的性质，对的符号进行分类讨论：当时，
若，则的最大值在处取得，即最大值为，
∴“纵横极差”为，符合条件；
若，则的最大值在处取得，即最大值为，
∴“纵横极差”为，解得，不符合条件，舍去，
综上所述，的值为．
▌题型10 反比例函数与几何综合
【典例10】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接．
(1)求的值；
(2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)或或
(3)
【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标，然后代入反比例函数即可解答；
（2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标；
（3）先利用A、D两点坐标求出直线解析式，联立直线与反比例函数，通过一元二次方程判别式算出双曲线与线段有一个交点时的临界；再求出双曲线过点B时的临界，分区间分析双曲线与四边形边的交点数量，得到恰好有两个交点时k的取值范围。
【详解】（1）解：，
，
解得：，，
由题意得，，，
，，
，，
四边形是矩形，
，
点的坐标为；
将代入，得．
（2）解：存在，
点是的中点，，
，
，
反比例函数的解析式为，
设，，
以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形，
下面分3种情况讨论：
①当与互相平分，则
解得，
；
②当与互相平分，则
解得，
；
③当与互相平分，则
解得，
；
综上所述，点的坐标为或或．
（3）已知，，设直线解析式为，
将两点代入得：
把代入，得
，
解得，
直线的解析式为．
当的图象与直线恰好有一个交点时，联立方程：
两边同乘整理得：，
只有一个交点，
一元二次方程判别式，
，
解得．
当反比例函数图象经过点时，，
此时双曲线仅与四边形交于点，只有1个交点．
当时，双曲线与线段产生2个交点，交点总数超过2个，不符合题意；
当时，双曲线仅与线段、线段各有1个交点，恰好共2个交点；
当时，双曲线与四边形无交点．
反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点时，．
【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值；
(3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可；
（2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果；
（3）过C作轴交于点T，设，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果．
【详解】（1）解：将代入直线得，，
解得，
∴一次函数的解析式为，
再将代入得，，
∴反比例函数的解析式为，
联立，得，
解得：（舍去），，
∴；
（2）解：在中，当时，，则，
作点E关于x轴的对称点，则，
根据轴对称性质，，
∴．
当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．
，
∴的最小值为．
设直线的方程为．
将和代入得，
解得．
∴直线的方程为
令，得，解得．
∴点P的坐标为．
（3）解：如图，过C作轴交于点T，
设，则，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴点C的坐标为．
【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、．
(1)如图1，已知点，点，
直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ；
(2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由；
(3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积．
【答案】(1)，相等，
(2)解：成立，理由如下：
反比例函数（）过，点，
∴，即，
设，设直线为，
∵，
∴，解得：，
∴直线为，
∴，
∵，，
同理可得直线为：，
∴，
∴，，
∵，，
∴.
(3)
【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解；
（2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解；
（3）设点，点，点，求解直线的解析式为： 直线的解析式为：，进一步求解即可.
【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，
∴，
设直线为，而点，
∴，
解得：，
∴直线为，
∴，
∵，，
同理可得直线为，
∴，
∴，，
∴.
（2）略
（3）解：设点，点，点，
同理可得：直线的解析式为：，
当，，
当，，
解得：，
∴点，点，
同理可得：直线的解析式为：，
同理：点，点，
∴，，
与的乘积．
【变式3】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，，，的横坐标为，其中．一次函数与反比例函数的图象经过、两点，一次函数经过点、．
(1)若四边形为平行四边形．
①当，时，直接写出点的坐标__________；
②当时，点是否在轴上？请说明理由；
(2)小明根据（1）中的发现，提出问题：若点在轴上，如何用尺规作图作出平行四边形？经过思考，他给出了如图2的作法：延长交轴于点，以为圆心为半径画弧交轴于点，连接交轴于点，以为圆心为半径画弧交轴于点，连接、，四边形即为所求作的平行四边形．证明小明所作四边形即为所求作的平行四边形；
(3)小亮对小明的作图方法产生了浓厚的兴趣，提出了不同的作图方法，用圆规和没有刻度的直尺作出平行四边形．请帮助小亮同学在图3中完成作图，不需要说明理由．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】(1)①；
②点在轴上，理由如下：
由①可得，反比例函数的解析式为，
将点代入，得，
∴直线的解析式为，
同理，直线的解析式为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
联立直线与反比例函数，得，
，
解得或，
∴点的坐标为，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴点在轴上．
(2)证明：由题意可知，，，
∴，，
∵，
∴，
由（1）可知，直线的解析式为，直线的解析式为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
同理，点的坐标为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，点的坐标为，点的坐标为，
由勾股定理可得，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
(3)如图，平行四边形即为所求：
【分析】（1）①先求出反比例函数的解析式，再求出点和点的坐标，利用平行四边形的性质求出点的坐标即可；
②分别计算出点和点的坐标，由平行四边形的性质可计算出，因此点在轴上；
（2）由尺规作图容易得到，，进而得到，因此．利用（1）中的直线解析式可计算出，，由可得．由勾股定理可得，，，结合可得，从而证明四边形是平行四边形；
（3）延长交轴于点，延长交轴于点，以点为圆心，的长为半径画弧交轴于点，，以点为圆心，的长为半径画弧交轴于点，连接、、，四边形即为所求作的平行四边形．
【详解】（1）解：①将点代入，得，
∴反比例函数的解析式为，
将代入，得，
∴点的坐标为，
∵，
∴点的坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
②略
（2）略
（3）解：如图，作轴于点，作轴于点，
将代入，得，
∴点的坐标为，
由（2）可知，点的坐标为，
∴，，
∵，，
又∵轴，轴，
∴，，，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
由尺规作图可知，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
▌题型11 反比例函数的对称问题
【典例11】（25-26八年级下·福建漳州·期末）【问题背景】
在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点．
【构建联系】
(1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式．
【深度拓展】
(2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标．
【动态延伸】
(3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值．
【答案】(1)
(2)点的坐标为
(3)当是等腰三角形时，的值为或
【分析】（1）由矩形的性质可得点的坐标为，结合平移可得点的坐标为，进一步求解即可；
（2）表示平移个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为．可得，再进一步求解即可；
（3）利用矩形的性质求解．当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，此时点与点重合，③当时，设，再进一步结合反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解： 四边形是矩形，，，
∴，，
点的坐标为．
由平移得：点的坐标为．
把代入，得，
该双曲线的解析式为：．
（2）解：平移个单位长度后，点的坐标为，
边平移后所在的直线为，，
点的坐标为．
点、在图象上，
，
解得：，
点的坐标为．
（3）解：如图3，四边形是矩形，
．
当是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当时，
由平移可得：，．
．
点、在图象上，
．
解得．
②当时，此时点与点重合，
，．
点、在图象上，
，
解得．
③当时，设．
由平移可得，，
，
，
解得，
．
点、在图象上，
．
解得．
，
这与题意不符，舍去．
综上所述，当是等腰三角形时，的值为或．
【变式1】（2026·江西赣州·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点，．
(1)若点的横坐标为3，求反比例函数的解析式；
(2)点与点关于原点对称，若，则_______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求出，代入反比例函数，即可解答；
（2）设，联立，利用一元二次方程根与系数的关系求出，由点与点关于原点对称，得到，再求出，根据题意求出，再求出， 即可求解．
【详解】（1）解：当时，，即，
将代入反比例函数，
则，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：设，
联立，则，
∴，
∴，
∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【变式2】（2026·河南许昌·一模）如图，直线：与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)将直线向上平移，在轴上方与反比例函数的图象交于点，连接，直线与反比例函数的图象交于点．当点与点关于直线对称时，求点的坐标及直线平移的距离．
【答案】(1)
(2)点；直线向上平移的距离为
【分析】（）先把交点代入，求出的值以确定点的坐标；再将点的坐标代入反比例函数，求出的值，进而得到反比例函数的解析式；
（）先利用点与点关于直线对称的性质，通过构造直角三角形并证明全等，得出对应边相等，结合点的坐标得到点；再设平移后的直线解析式，将点代入求出解析式中的参数，最后通过计算平移前后直线的截距差，得到直线向上平移的距离．
【详解】（1）解：将点代入，
得，
解得，
∴，
将点代入，得，
解得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：∵点与点关于直线对称，
∴，，
∴，
∴，
如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，，
∴点，
设直线向上平移后的直线对应的解析式为，
将点代入，得，
解得，
∴，
∴直线向上平移的距离为．
【变式3】（2026·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上．
(1)求的值及点的坐标；
(2)若为等腰直角三角形，，求反比例函数的解析式；
(3)过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值．
【答案】(1)，
(2)反比例函数的解析式为或
(3)的值为或
【分析】（1）由待定系数法求出的表达式，进而求解；
（2）当点在第一象限或第三象限时，利用一线三垂直构造三角形全等求点的坐标即可；
（3）当点在第一象限或第三象限时，证明，则，即可求解．
【详解】（1）解：将点代入得，，
，
将点代入得，，解得，
直线的表达式为：，
令，即，解得，
；
（2）解：当点在第一象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示，
，，
为等腰直角三角形，，
，，
，
，，，
，
，，
，
，
点在反比例函数图象上，
，解得，
反比例函数的解析式为；
当点在第三象限时，过点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，如图所示，
，，
为等腰直角三角形，，
，，
，
，，，
，
，，
，
，
点在反比例函数图象上，
，解得，
反比例函数的解析式为；
综上所述：反比例函数的解析式为或；
（3）解：如图，当点在第一象限时，设点，
点与点关于点对称，
点，
，，，
，，
，
，即，
，
解得（负值已舍去），
，
，
为的中点，
由中点坐标公式得：点，即，
．
如图，当点在第三象限时，过点作轴于，过点作轴交延长线于点，
设点，
点与点关于点对称，
点，
，，，
，，
，
，即，
，
解得（正值已舍去），
，
，
轴，
，
，
，
，
，
，，
，即，
．
综上所述，的值为或．
【变式4】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，点是反比例函数图象上不重合的两个点，作直线交轴于点．设点的横坐标分别为，直线的函数表达式为．
(1)当时，
①求直线的函数表达式；
②若，直接写出的取值范围；
(2)若点和点关于原点对称，作直线交轴于点，求证：．
【答案】(1)①；②或；
(2)
证明：取的中点K，连接，如图：
由题意，得，，
∵点B与点A关于原点O中心对称，
∴，
将，分别代入中，
得：，
解得，
∴直线解析式为，
令，则，
∴；
设直线的函数表达式为，
将，分别代入中，
得：，
解得，
∴直线的函数表达式为，
令，则，
∴；
∵K为中点，
∴，
∵，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴．
【分析】（1）①求得可得，，再用待定系数法可得直线的函数表达式；
②求出，观察函数图象可得x的取值范围；
（2）取的中点K，连接，求出直线解析式为，可得，求得，可得直线的函数表达式为，即可得，故，从而，．
【详解】（1）解：①当时，，，
将这两点坐标分别代入中，
得：，
解得，
∴直线的函数表达式为；
②在中，令，则，
∴，
由图可知，若，则的取值范围为或；
（2）略
【点睛】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法，反比例函数与一次函数交点问题，垂直平分线的判定与性质等，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关直线解析式．
▌题型12 反比例函数与特殊三角形存在性问题
【典例12】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)存在， 、、、
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、勾股定理的应用，解题的关键是联立函数解析式求交点坐标，利用勾股定理列方程分析直角三角形的存在性．
（1）联立一次函数解析式求出交点A的坐标，将A点代入反比例函数解析式求出k值；
（2）设出x轴上点P的坐标，利用两点间距离公式表示出、、，分三种直角情况列方程求解，判断方程是否有解以确定P点坐标．
【详解】（1）解：依题得解得，即
将代入得，即反比例函数解析式为：；
（2）解：如图，假设在x轴上存在使为直角三角形，
联立解得：或，
即，，
，
，．
分三种直角情况讨论：
情况1：为直角
∵，
化简得 ，即 ，
解得 ，对应点 、．
情况2：为直角
则，即
化简得 ，解得 ，对应点 ．
情况3：为直角
则，即，
化简得 ，解得 ，对应点 ．
∴x轴上存在点 、、、，使为直角三角形．
【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求反比例函数与一次函数的关系式；
(2)在轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为
(2)点的坐标为或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将代入反比例函数求出的值即可得出反比例函数的解析式，将代入反比例函数求出的值即可得出点的坐标，最后利用待定系数法计算即可得出结果；
（2）由（1）可得，，则，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果．
【详解】（1）解：将代入反比例函数可得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
将代入反比例函数可得：，
∴，
将，代入一次函数可得，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：由（1）可得：，，
∴，
设，
则，，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴，
整理可得：，
解得：，，
∴点的坐标为或．
【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）．
(1)利用图中条件，求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，，，，
【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数的图象与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握以上性质是解题的关键．
（1）将反比例函数图象上的点的坐标代入其解析式即可；
（2）先求出一次函数的解析式，再进而得到与轴的交点坐标，最后通过三角形的面积公式即可求出答案；
（3）先设，再根据等腰三角形的判定与性质，分情况讨论即可求值．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，
将代入得，，
解得，，
反比例函数的解析式为．
（2）解：根据题意将代入得，，
．
将和分别代入得，
，
解得，，
一次函数的解析式为，
当时，即，
解得，，
，
，
．
（3）解：存在．
设，
，
，，，
当时，，
，
解得，或，
，；
当时，，
，
解得，或（不符合专题03 反比例函数与几何综合
（题型突破·举一反三）
/ 让教学更有效
1 / 2
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题型01 类比法探索新函数的图象与性质
题型02 反比例函数与一次函数交点问题综合
题型03 反比例系数k的几何意义综合问题
题型04 反比例函数的性质
题型05 整点问题
题型06 求一次函数与反比例函数围成图形面积
题型07 反比例函数与跨学科问题
题型08 反比例函数中的平行与相等
题型09 与反比例函数有关的新定义问题
题型10 反比例函数与几何综合
题型11 反比例函数的对称问题
题型12 反比例函数与特殊三角形存在性问题
题型13 反比例函数与特殊四边形存在性问题
题型14 反比例函数与其它存在性问题
▌题型01 类比法探索新函数的图象与性质
【典例1】（2025·宁夏固原·三模）小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下：
(1)绘制函数图像
… 1 2 3 …
… …
①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______；
②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整．
(2)探究函数性质
通过观察图象，写出该函数的两条性质：
①_______
②_______
(3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______．
【变式1】（22-23九年级下·甘肃武威·阶段检测）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数的性质．小明结合已有的经验探究了函数的图象及性质．
x … 0 1 2 3 4 …
y … 1 m n 2 1 …

(1)绘制函数图象①列表：上表是x与y的部分对应值，其中 ， ．
②描点：根据表中的数值描点．
③连接线：用平滑的曲线顺次连接各点，请画出函数图象．
(2)探究函数性质：请写出函数的两条性质：① ；② ．
(3)运用函数图象及性质，根据函数图象，写出不等式，解集是 ．
【变式2】（22-23九年级下·湖南郴州·阶段检测）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有经验，请画出函数的图象，并探究该函数性质．
(1)绘制函数图象
①列表：下列是x与y的几组对应值，其中___________，____________．
…… -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 ……
…… -3.8 -2.5 -1 1 5 5 -1 -3.8 ……
②描点：请根据表中所给的数值在图中描点；
③连线：请结合反比例函数图象的特征，画出函数图象；
(2)探究函数性质
①当时，函数值y随着自变量x的增大而______________；（填“减小”或“增大”）
②函数的图象关于___________对称；
(3)运用函数图象及性质
①点，，在函数图象上，请比较，，的大小（ ）
A． B． C． D．
②点，在函数图象上，请比较，的大小（ ）
A． B． C． D．不确定
③写出方程的解_____________；
④写出不等式的解集___________．
【变式3】（2022·河南南阳·二模）给定一个函数：，为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，进行如下探索：
(1)图象初探
①列表如下
1 2 3 4
3
请直接写出m，n的值；
②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
图①
(2)性质再探
请结合函数的图象，写出当________，y有最小值为________；
(3)学以致用
某农户要建进一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3千元/平方米，侧面造价为千元/平方米．
设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：．
根据以上信息，请回答以下问题：
①水池总造价的最低费用为________千元；
②若该农户预算不超过千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？
▌题型02 反比例函数与一次函数交点问题综合
【典例2】（25-26九年级上·湖南郴州·期中）如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为．
【问题提出】
小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？
【问题探究】
（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：
设为为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标．如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______，______．
【类比探究】
（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由．
【问题延伸】
（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及的值．
【变式1】（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．
根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：
【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数”
【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”
【问题解决】
(1)对于函数①，②，③．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”；
(2)若与是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______；若与是“相连函数”，则的值为______；
(3)如图3，过点的直线、对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，、与轴分别交于，两点，已知，，求的值．
【变式2】（2023·山西长治·二模）阅读与思考
巧用方程思想解决函数交点问题 我们知道，求两个一次函数图像的交点坐标时，可将问题转化为求方程组的解，即联立两个一次函数表达式组成方程组，方程组的解就是其交点的坐标，同样，我们解决二次函数与直线的交点问题时，也可以类比这一思路求解． 下面是小林同学通过类比上述思路解决二次函数图像与一次函数图像的交点情况的部分探究过程：联立得． 整理，得． ∵， ∴方程是关于x的一元二次方程． ∴． 当时，方程有两个不相等的实数根， ∴二次函数的图像与一次函数的图像有两个交点．
任务：
(1)请参照阅读材料中的分析过程，分别写出和时的分析结果；
(2)若二次函数的图像与一次函数的图像有一个交点，求t的值；
(3)实际上，除了上述两种函数图像的交点外，初中数学还会遇到反比例函数图像与一次函数图像的交点情况，例如：反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点，则这个一次函数的表达式可以是_____．（写出一个即可）
【变式3】（25-26九年级上·广东深圳·期末）综合与实践
在美化校园的活动中，某兴趣小组准备借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长为米的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围两边），使得矩形花园的面积恰好等于篱笆的长度，组员把这样的矩形命名为“完美矩形”．在围的过程中，兴趣小组提出问题：一定能围出“完美矩形”吗？如果能围出，那么对篱笆长度有什么要求？
(1)由简单情形入手，分析问题
假设篱笆长为4米，即时，设米，米，根据题意可得，解得_______________，______________，即当篱笆长为4米时，可以围出“完美矩形”；
(2)建立函数模型，画出函数图象
设米，米，依题意得，得到与的函数关系式为．再由篱笆长为米，得，即．兴趣小组的思路是用函数与函数来研究，作出两个函数的图象，如果两个图象在第一象限有交点，说明可以围出“完美矩形”．
接下来先画函数的图象：
列表：恰当地选取自变量的几个值，计算出对应的值，如表格所示，
… 0 2 3 4 …
… 4 3 2 …
描点：以表中各对x、y的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
任务：
①上面表格中，___________，___________；
②请你将下图中直线两侧的各点分别用一条光滑的曲线顺次连接起来；
(3)观察函数图象，数形结合解决问题
①一次函数的图象可由直线平移得到．当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，此时交点坐标为，继续移动……由此，兴趣小组得出了能围出“完美矩形”的篱笆长的范围，请你写出的取值范围，并说明理由；
②在直线平移的过程中，直接写出当为时“完美矩形”的长．
▌题型03 反比例系数k的几何意义综合问题
【典例3】（25-26八年级下·上海徐汇·期末）如图，点 是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图像于点．点是轴上任意一点，连接 、．
(1)如果点的横坐标为，求的面积；
(2)如果点是反比例函数的图像上任意一点，那么的面积会发生改变吗？给出你的判断并通过计算说明理由．
【变式1】（2026·江西南昌·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A分别作x，y轴的垂线，垂足为C和B，矩形的面积为4．
(1)求该反比例函数的解析式；
(2)如图2，点D，E分别在边上，线段和的长成反比例关系，比例系数为1，顺次连接．
①当点A的横坐标为4时，求的面积；
②当点A在该反比例函数的图象上运动时，的面积是否发生改变？若发生改变，写出它们的变化规律；若没有发生改变，请说明理由．
【变式2】（25-26九年级上·全国·单元复习）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点A是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为．
(1)初步尝试
如图2，点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积．
(2)类比探究
如图3，点A，C在反比例函数的图象上，点B，D在反比例函数的图象上，轴，与在x轴的两侧，，，与的距离为5，求的值．
(3)拓展延伸
如图5，已知反比例函数和，，若点B，C在图象上，点A，D在图象上，且轴，，，和间的距离为12，求的值．
【变式3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究．
(1)如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点；
(2)若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由；
(3)如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积．
【变式4】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在反比例函数的图象上有，，，…，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，．
(1)当时，______；
(2)当时，______；
(3)当时，______；
(4)当时，______．
▌题型04 反比例函数的性质
【典例4】（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）已知在反比例函数（为常数，且）的图象上．
(1)______________，该反比例函数的图象在第_____________象限；
(2)判断点，，在该反比例函数的图象上的点是_____________．
(3)当时，该反比例函数的函数值的取值范围为_________________．
(4)，，在反比例函数图象上，且，比较的大小．（用<号连接）________________．
【变式1】（25-26九年级上·北京·阶段检测）在坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值，直接写出的取值范围．
【变式2】（24-25八年级下·浙江丽水·期末）已知反比例函数过点．
(1)当时，求的值．
(2)若，求m的取值范围．
(3)反比例函数过点，当时，，求证：．
【变式3】（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在直角坐标系中，已知点，点在反比例函数的图象上．
(1)求函数的表达式；
(2)当时，求的取值范围（直接写出结果）；
(3)设函数，若函数与的图象只有一个交点，求证：．
【变式4】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知函数的图象交于点和点．
(1)分别求函数、的表达式及的值；
(2)当时，；当时，；求的取值范围；
(3)对于实数，当时，；当时，，求的取值范围．
【变式5】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段检测）已知矩形的面积为10，一边长为，另一边长为．
(1)直接写出与的函数表达式（标注自变量的取值范围）；
(2)若是该函数图象上的两个点，则_________（用“”、“”或“”填空；
(3)当时，若是该函数图像上的两个点，试比较与的大小，并说明理由．
(4)已知一次函数，当时，恒成立，求的取值范围．
▌题型05 整点问题
【典例5】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．
(1)求的值
(2)如图1，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点，记为线段、双曲线所围成的区域为（含边界），
①当时，区域的整点个数为 ；
②当区域的整点个数为4时，点横坐标满足，则纵坐标取值范围为 ；
(3)直线将分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为，直线下方（不包含直线）区域记为，当的整点个数之差不超过2时，则的取值范围为 ．
【变式1】（2023·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数的图像与一次函数的图像交于点．
(1)求，的值；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．点是射线上一点，过点分别作轴，轴的垂线交函数的图像于点，．将线段，和函数的图像在点，之间的部分所围成的区域（不含边界）记为．
利用函数图像解决下列问题：
①若点的横坐标是，直接写出区域内整点个数；
②若区域内恰有个整点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【变式2】（22-23八年级下·浙江金华·期中）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．

(1)当时，求D点的坐标和m值．
(2)当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值．
(3)当时，请直接写出t与m之间的关系式．
【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边长为n（n为正整数，且），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点在等腰直角三角形边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形只有两个交点且交点均是等腰直角三角形的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形的“整点函数”．

(1)如图1，当时，一次函数是等腰直角三角形的“整点函数”，则符合题意的一次函数的表达式为______（写出一个即可）；
(2)如图2，当时，函数的图像经过，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由；
(3)当时，二次函数经过的中点，若该函数是“整点函数”，求的取值范围；
(4)在（3）的条件下，是二次函数图象上两点，若点、之间的图象（包括点、）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值
▌题型06 求一次函数与反比例函数围成图形面积
【典例6】（25-26九年级上·安徽马鞍山·期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点．
(1)求一次函数的解析式及面积；
(2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围．
(3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标．
【变式1】（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于、，且直线与轴交于点．
(1)求直线的解析式；
(2)若不等式成立，则的取值范围是________；
(3)连接，直接写出的面积________；
(4)若直线与轴平行，且与双曲线交于点，与直线交于点，连接、，当的面积是面积的时，直接写出的值________．
【变式2】（24-25九年级上·广东江门·阶段检测）如图，动点在函数的图象，过点分别作轴和轴的平行线交反比例函数的图象于点、，作直线，设直线表达式为．
(1)若点的坐标为，
①求直线的函数解析式；
②连接、，求的面积；
(2)连接、，试探究点在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由．
【变式3】（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，B两点，点C是一次函数的图象与y轴的交点
(1)求一次函数的表达式和点B的坐标．
(2)根据图象直接写出不等式的解集．
(3)连接，，若点P是y轴上一点，连接，，若的面积是的面积的，求点P的坐标．
【变式4】（2024·重庆·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，垂直轴于点，为坐标原点，四边形的面积为．
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)在反比例函数位于第三象限的图象上是否存在一点，使得的面积最小？如果有，求出点的坐标和的面积最小值．
▌题型07 反比例函数与跨学科问题
【典例7】（2026·河北石家庄·二模）杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”．
设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．）
(1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离；
①根据题意，求出关于的函数表达式；
②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离；
(2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量；
(3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围．
【变式1】（2026·广东汕头·三模）最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表：
地面所受压强 … …
接触面积 … …
(1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式；
(2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？
【变式2】（25-26八年级下·北京·阶段检测）【问题情境】
排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成．如图1，现要利用若干长为的相同吸管制简易排箫．
【实验操作】
将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表（表1）：
长度x（ ） 200 150 120 100 80 60 50
振动频率y（） 435 580 725 870 1450 1740
【探索发现】
(1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越_________（填“高”或“低”）；
(2)请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．小帆发现：振动频率y与吸管长度x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式．
(3)已知频率越高，音调越高；频率越低，音调越低．表2是C调音符与频率对照表，根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由．
表2：C调音符与频率对照表
音符 不同音区的频率（）
低音区 中音区 高音区
262 523 1046
294 587 1175
330 659 1318
349 698 1397
392 784 1568
440 880 1760
494 988 1976
【变式3】（25-26八年级下·上海黄浦·期末）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量溶液的密度，当密度计悬浮在不同的液体中时，浸在溶液中的高度 是液体的密度 的反比例函数，其图像如图所示（），根据函数图像，回答下列问题：
(1)写出浸液高度关于液体密度的反比例函数解析式 ；
(2)当溶液密度时，密度计浸在溶液中的高度为 ；
(3)若使用该密度计时，浸入溶液的高度不能低于（高度过低会导致密度计倾倒失效），求该密度计可正常测量的溶液密度的取值范围．
【变式4】（2026·湖北宜昌·一模）某综合实践活动小组结合物理热敏电阻特性与数学函数知识，设计了一款简易温度监测报警装置（图1），其工作原理是通过温度传感器监测环境温度，当环境温度达到设定的超限报警温度点时，启动超限报警功能．热敏电阻（单位：）与环境温度（单位：）满足的函数关系式为（其中，为常数，），其图象如图2所示；图3的电路中，电源电压伏，定值电阻，电压表测两端电压（单位：V），当达到设定阈值时触发报警．
温馨提示：①欧姆定律；②串联电路电流处处相等，总电压等于各部分电压之和．
(1)求，的值，并写出关于的函数解析式；
(2)求关于的函数解析式；
(3)若电压表量程为，为保护电压表，请确定该监测报警装置可监测的最高环境温度．
【变式5】（2026·上海金山·二模）如图1是一种测量油箱内油量的装置“油位传感器”示意图．其中滑动变阻器的滑片跟滑杆连接，滑杆可以绕固定轴转动，滑杆的一端固定着一个浮子．油箱中的油量减少时，油面下降，浮子随油面落下，带动滑杆使滑动变阻器的滑片向上移动，从而改变电路中电流表的示数．因此电流表上一定的示数对应着油面一定的高度．如果把电流表刻度盘上的数值改为相应的油量体积，就可以直接读出油箱中的油量．电流（单位：A）与总电阻（单位：Ω）成反比例，其中，已知．可变电阻（单位：）与油量体积（单位：）之间的关系如图2所示，．当油箱内油量体积为时，电流表显示为．
(1)当油箱内油量体积为时，求总电阻的值；
(2)求关于总电阻的函数解析式：
(3)当油箱中油量体积满足时，求电流表显示电流的取值范围．
▌题型08 反比例函数中的平行与相等
【典例8】（河南省洛阳市汝阳县2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题）如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5．
(1)求k和m的值；
(2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积；
(3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形．
【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于、两点，一次函数分别交x轴、y轴于C、D两点，轴于点E．
(1)求反比例函数及一次函数的解析式；
(2)作轴于点F，连接，求证：四边形是平行四边形．
【变式2】（23-24九年级上·山东济南·期末）请阅读以下材料，并完成相应任务．
问题背景：如图①，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．”
(1)小明的结论正确吗？若正确，请加以证明；若不正确，请说明理由．
(2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：．
(3)如图⑤，矩形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)．
【变式3】（24-25九年级下·上海·阶段检测）已知：反比例函数图象过和．过作轴垂线垂足为，过作轴垂线，垂足为，连结、、、．
(1)求证：
(2)当时，求直线的解析式．
▌题型09 与反比例函数有关的新定义问题
【典例9】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）定义：函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”．如图1，图象上的点就是这个函数的“等距点”．
(1)求函数的“等距点”；
(2)如图2，点，都是函数（是常数）的“等距点”，
①点的坐标为 ；
②点的坐标是，连接，求的面积；
(3)若二次函数只有一个“等距点”，请直接写出的值．
【变式1】（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）定义：已知反比例函数（）和（），当且时，称为这两个函数的“均值函数”．完成下列问题：
(1)已知反比例函数和，则它们的“均值函数”是 ；
(2)判断：点是否在反比例函数和的“均值函数”图象上，请说明理由；
(3)如图，已知，反比例函数和的“均值函数”为，点在的第一象限图象上，过点分别作轴、轴的垂线，与和的图象交于点，，，．求证：．
【变式2】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）我们定义：若点A在一个函数的图像上，且点A的横、纵坐标互为相反数，则称点A为这个函数的“反点”．
(1)一次函数的“反点”的坐标为______；
(2)已知反比例函数与一次函数有公共的“反点”，求k的值；
(3)若点P为反比例函数的“反点”，则点P到直线上任意一点的最小距离为______；
(4)已知关于x的二次函数对于任意的常数n恒有两个“反点”，求m的取值范围．
【变式3】（2025·广东·二模）【阅读材料】给出如下定义：在平面直角坐标系中，点的纵坐标与横坐标的差“”称为点的“纵横差”．在某范围内某函数图象上所有点的“纵横差”中的最大值称为该范围内函数的“纵横极差”．例如：点的“纵横差”为；函数图象上所有点的“纵横差”可以表示为；当时，的最大值为，所以函数（）的“纵横极差”为．
【问题解决】根据阅读材料中的定义，解答下列问题：
(1)求点的“纵横差”；
(2)求函数的“纵横极差”；
(3)若为实数，函数的“纵横极差”为，求的值．
▌题型10 反比例函数与几何综合
【典例10】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接．
(1)求的值；
(2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围．
【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值；
(3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标．
【变式2】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、．
(1)如图1，已知点，点，
直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ；
(2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由；
(3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积．
【变式3】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）如图，在四边形中，，，的横坐标为，其中．一次函数与反比例函数的图象经过、两点，一次函数经过点、．
(1)若四边形为平行四边形．
①当，时，直接写出点的坐标__________；
②当时，点是否在轴上？请说明理由；
(2)小明根据（1）中的发现，提出问题：若点在轴上，如何用尺规作图作出平行四边形？经过思考，他给出了如图2的作法：延长交轴于点，以为圆心为半径画弧交轴于点，连接交轴于点，以为圆心为半径画弧交轴于点，连接、，四边形即为所求作的平行四边形．证明小明所作四边形即为所求作的平行四边形；
(3)小亮对小明的作图方法产生了浓厚的兴趣，提出了不同的作图方法，用圆规和没有刻度的直尺作出平行四边形．请帮助小亮同学在图3中完成作图，不需要说明理由．（保留作图痕迹，不要求写作法）
▌题型11 反比例函数的对称问题
【典例11】（25-26八年级下·福建漳州·期末）【问题背景】
在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点．
【构建联系】
(1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式．
【深度拓展】
(2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标．
【动态延伸】
(3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值．
【变式1】（2026·江西赣州·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象交于点，．
(1)若点的横坐标为3，求反比例函数的解析式；
(2)点与点关于原点对称，若，则_______．
【变式2】（2026·河南许昌·一模）如图，直线：与反比例函数的图象交于点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)将直线向上平移，在轴上方与反比例函数的图象交于点，连接，直线与反比例函数的图象交于点．当点与点关于直线对称时，求点的坐标及直线平移的距离．
【变式3】（2026·四川成都·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴相交于点，点在反比例函数图象上．
(1)求的值及点的坐标；
(2)若为等腰直角三角形，，求反比例函数的解析式；
(3)过点，的直线与轴交于点，点与点关于点对称，若存在，使得，请直接写出的值．
【变式4】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图，点是反比例函数图象上不重合的两个点，作直线交轴于点．设点的横坐标分别为，直线的函数表达式为．
(1)当时，
①求直线的函数表达式；
②若，直接写出的取值范围；
(2)若点和点关于原点对称，作直线交轴于点，求证：．
▌题型12 反比例函数与特殊三角形存在性问题
【典例12】（25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【变式1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点．
(1)求反比例函数与一次函数的关系式；
(2)在轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【变式2】（25-26九年级上·宁夏银川·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C，D两点，与坐标轴交于A、B两点，连接，（O是坐标原点）．
(1)利用图中条件，求反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)在轴上是否存在一点P，使得是等腰三角形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【变式3】（23-24八年级下·江苏徐州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
(1)求此反比例函数的表达式：
(2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值．
(3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形 若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
▌题型13 反比例函数与特殊四边形存在性问题
【典例13】（22-23八年级下·江苏无锡·期末）如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．

(1)________，________；
(2)求反比例函数表达式；
(3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标．
【变式1】（2023九年级·山东济南·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为，四边形为平行四边形，反比例函数（）的图象经过点C，与边交于点D．若，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是一动点，求最大时a的值；
(3)连接，在反比例函数图象上是否存在点M，平面内是否存在点N，使得四边形为矩形？若存在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】（26-27九年级·上海·暑假作业）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于， 两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点 的右侧，连接，，△的面积为5．
(1)求点 ， 的坐标及反比例函数的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)探究在 轴上是否存在点，在平面内存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（，）的图象相交于点，两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)请直接写出关于的不等式的解集________
(3)在平面直角坐标系中，是否存在点（点在直线的右上方）和点，使得四边形为正方形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
▌题型14 反比例函数与其它存在性问题
【典例14】（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点．
(1)求一次函数的表达式；
(2)利用图象，直接写出不等式的解集；
(3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式1】（25-26九年级上·四川达州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，交轴于点．
(1)求反比例函数的表达式和点的坐标；
(2)连接，，求的面积；
(3)反比例函数的图象上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式2】（2026·甘肃白银·二模）如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式3】（2026·江苏盐城·模拟预测）如图1，一次函数与反比例函数（）交于，两点，与轴交于点，点的横坐标为1．
(1)求反比例函数的表达式及点的坐标；
(2)如图2，点是图1中线段上的一个动点（不与，重合），过点作轴，交反比例函数图象于点，连接，，求面积的最大值；
(3)如图3，将图1中线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，在轴上是否存在一点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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