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有理数的运算第二章
综合与实践
答案P17
进位制的认识与探究
国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，第十四届国
素材1
际数学教育大会（简称ICME-14)于2021年在上海举办.大会标识（如图）中蕴含着
很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老
IOmE-I
的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，其中八卦符号可以用于记数。
进位制约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制.也就是说，“逢几进一”就是几进制.例如：十
进制数3721=3×103+7×102+2×10+1×10°（规定a≠0时，a°=1）.为了区分不同的进位制，常在
数的右下角标明基数，如：(123)，就是七进制数123的简单写法.
各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依
次乘7的相应非负整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数，
如：七进制数(123)，=1×72+2×7+3×7°=66.
素材2
将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的
余数按倒序从低位到高位排序即可.将十进制数化为二进制数亦如此.
如：766…3（第1位余数）25…1（第1位余数）
79…2(第2位余数)
22…0(第2位余数)
1…1(第3位余数)
1…1(第3位余数)
66=(123)7,5=(101)2
综
二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0,1,2,3,4,5，
6,7,8,9,满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一
提
素材3
二进制的加减运算规则如下：
加法：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=(10)2；
区
减法：0-0=0,1-0=1,1-1=0，(10)2-1=1（同一数位不够减时，向高一位借1当2）
探究不同进位制的数之间的转换，
任务1
①将七进制数(243)，转化成十进制数的值为多少？
②将十进制数22转化成二进制数的值为多少？
③若三进制数a=(1210),,四进制数b=(303)4,试比较a与b的大小关系，并说明理由.
探究进位制数的加减运算（结果仍用二进制表示）：
任务2
①(10110)2+(1101)2=
;②(110101)2-(11110)2=
中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如
任务3图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采摘到的野果数
量.根据右图，计算采摘到的野果数量.
过综合
学习成果测评
√见活页卷2
每一颗熬过寒冬的种子，心里都藏着一个春天的梦，
037有理数的运算第二章
综合与实践
答案P17
进位制的认识与探究
国际数学教育大会是全球数学教育界水平最高、规模最大的学术盛会，第十四届国
素材1
际数学教育大会（简称ICME-14)于2021年在上海举办.大会标识（如图）中蕴含着
很多数学文化元素，以中国传统文化中“洛书”与“河图”为原本，并将其与我国古老
IOmE-I
的八卦进行了融合，体现了我国传统文化的博大精深，其中八卦符号可以用于记数。
进位制约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制.也就是说，“逢几进一”就是几进制.例如：十
进制数3721=3×103+7×102+2×10+1×10°（规定a≠0时，a°=1）.为了区分不同的进位制，常在
数的右下角标明基数，如：(123)，就是七进制数123的简单写法.
各进制之间可以进行转化，如：七进制数转化成与其相等的十进制数，只要将七进制数的每个数字，依
次乘7的相应非负整数次幂，然后将这些乘积相加，就可得到与它相等的十进制数
如：七进制数(123)，=1×72+2×7+3×7°=66.
素材2
将十进制数化为与其相等的七进制数，用十进制数除以7，然后将商继续除以7，直到商为1，将所得的
余数按倒序从低位到高位排序即可.将十进制数化为二进制数亦如此
如：766…3（第1位余数）25…1（第1位余数）
79…2(第2位余数)
22…0(第2位余数)】
1…1(第3位余数)
1…1(第3位余数)
66=(123)7,5=(101)2·
二进制的四则运算与十进制的四则运算规则相同，不同的是十进制的数位有十个数码0,1,2,3,4,5，
6,7,8,9,满十进一，而二进制的数位有两个数码0和1，满二进一
素材3
二进制的加减运算规则如下：
加法：0+0=0,0+1=1,1+0=1,1+1=(10)2；
减法：0-0=0,1-0=1,1-1=0，(10)2-1=1（同一数位不够减时，向高一位借1当2）
探究不同进位制的数之间的转换，
任务1
①将七进制数(243)，转化成十进制数的值为多少？
②将十进制数22转化成二进制数的值为多少？
③若三进制数a=(1210),,四进制数b=(303)4,试比较a与b的大小关系，并说明理由.
探究进位制数的加减运算（结果仍用二进制表示）：
任务2
①(10110)2+(1101)2=(100011)2；②(110101)2-(11110)2=(10111)2·
中国古代《易经》一书中记载，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”.如
任务3图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采摘到的野果数
量.根据右图，计算采摘到的野果数量。
解：任务1①(243)，=2×72+4×7+3×7°=98+28+3=129，即(243)7=129
222.0
211…1
②251，所以22=（10110)2
22…0
11
③aa=(1210)3=1×33+2×32+1×3+0×3°=48，
b=(303)4=3×42+0×4+3×4°=51，
因为48<51，所以a任务3由于满六进一，类似于六进制数，将题图上的数转化为十进制数为2×6+3×62+0×
6+2×6°=432+108+0+2=542，
答：采摘到的野果数量为542个，
过综合
学习成果测评
√见活页卷2
每一颗熬过寒冬的种子，心里都藏着一个春天的梦
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