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七年级数学（人教版）上册
第二章有理数的运算·进阶训练
代数推理之等比数列求和
一、要点梳理
1. 等比数列定义
一个数列，从第二项开始，后一项除以前一项的结果始终是同一个不为 0 的常数，这样的数列叫做等比数列，这个固定常数叫作公比，记作。
判断依据：
举例：数列，任意相邻两项相除都等于 2，公比。
2. 通项公式
若等比数列第一项为，公比为，则数列第项：
3. 常用求和结论
数列形式 限制条件 前项和
二、例题精析
例 1 基础计算题
计算：
解：设
等式两边同乘 2：
用②式减①式，中间相同项全部抵消：
【小结】给原式乘公比后，每一项的指数都加 1，错位相减后只剩首尾两项。
例 2 含字母求和
计算：（结果用含的代数式表示）
解：设
两边同乘 3：
②①，得
整理得：
【小结】题目用字母表示项数，最终答案保留代数式，注意相减后最高次项指数是。
例 3 公比为分数的求和
计算：
解：设
两边同乘：
①②，得
两边同乘 2：
【小结】错位相减不限制公比大小，只要公比不等于 1，整数、分数公比都可以使用该方法。
三、练习题
A 组 夯实基础
计算
(1) (2)
计算
(1) (2)
计算
计算
提示：原式缺少第一项 1，可以先补齐完整式子算出和，再减去 1。
B 组 能力进阶
完整写出错位相减步骤：
计算：
提示：这组数列公比为负数，相减时注意各项符号。
已知，求的值
计算：
计算：
C 组 综合应用题
细胞分裂问题
某种细菌每 20 分钟分裂一次，1 个分裂成 2 个，所有细菌同步分裂。
(1) 第次分裂完成后，细菌总数量是最初的____倍；
(2) 包含最初的 1 个细菌，经过次分裂后细菌总数为____（用含的式子填写）；
(3) 若连续分裂 6 次，此时一共有多少个细菌？
病毒传播问题
1 名感染者每一轮会传染 3 个健康人，新感染者在下一轮继续以相同比例传染。第 1 轮只有 1 人感染，第 2 轮新增 3 名感染者，第 3 轮新增 9 名感染者，以此类推。
(1) 第轮新增感染者人数为____；
(2) 连续传播 5 轮，累计感染总人数（包含最初 1 人）是多少？
正方形截取面积问题
有一个边长为 1 的正方形，第一次截取面积，第二次截取，第三次截取…… 第次截取面积。
(1) 第次截取的面积为____；
(2) 求前次截取的面积总和：
D 组 拓展思考题
古文阅读：《庄子 天下》记载 “一尺之捶，日取其半，万世不竭”
文字解释：一尺长的木棍，每天截取当前剩余长度的一半，永远无法全部截完。
(1) 第天截取的木棍长度为____；
(2) 求前天截取的总长度：；
(3) 当不断变大时，截取总长度会无限接近哪个数？简单说明其中蕴含的数学道理。
阅读模仿计算题
例题思路：求
设
两边乘 2 得
两式相减，化简得到
仿照上面的解题步骤计算：
(1)
(2)
工程施工问题
某工程施工规律：第 1 个月完成全部工程的；第 2 个月完成剩余工程的一半，对应总工程量；第 3 个月完成再次剩余部分的一半，对应总工程量，后续月份保持相同规律。
(1) 第个月完成全部工程的____；
(2) 前个月一共完成全部工程的几分之几？
(3) 按照这个施工规律，能不能在有限个月内完成全部工程？说明理由。
参考答案
A 组 夯实基础
1. (1)
设，两边同乘 2 得
两式相减：
(2)
设，
2. (1)
设，
，，
(2)
设，
，
3.
设，
，因此
4. 方法一：补项法
完整式子，原式缺少首项 1
方法二：直接错位相减
设，
，解得
B 组 能力进阶
5.
设
①②：
等式两边同乘 2：
6. 该数列公比
设
两边乘：
①②得：，
7.
由错位相减结论：
代入得，
底数相同，指数相等：，解得
8.
设
①②：
整理得：
9.
设
①②：
C 组 综合应用
10.
(1)
(2) 总和为
(3) 将代入，总数
答：分裂 6 次后一共有 127 个细菌。
11.
(1)
(2) 传播 5 轮，累计总数：
等比求和：
答：累计感染者一共 122 人。
12.
(1)
(2) 设
两式相减：，化简得
几何理解：正方形总面积为 1，剩余未截取面积是。
D 组 拓展思考题
13.
(1)
(2) 前天截取总长：
(3) 取值越大，越接近 0，总截取长度无限接近 1 尺。
道理：无论截取多少天，截取的总长度始终小于 1，永远无法把整根木棍取完，体现无限逼近的数学思想。
14.
(1) 设，
，
(2) 设
，
15.
(1)
(2) 前个月完成总量：
(3) 不能完成全部工程。只要是有限数字，一定大于 0，完成量小于 1，工程始终存在剩余部分，和 “日取其半，万世不竭” 原理一致。

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