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湖南衡阳市第一中学2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、单选题
1．已知是虚数单位，复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．－2 C． D．4
2．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则. B．若，，则.
C．若，，，则 D．若，，则
3．已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即.若向量，，则（ ）
A． B．10 C． D．2
4．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则圆锥表面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，利用斜二测画法画出的四边形的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，“蒸茶器”外形为圆台状，上、下底面直径（内部）分别为，高为（内部），上口内置一个直径为，高为的圆柱形空心金属器皿（厚度不计，用来放置茶叶）．根据经验，一般水面至茶叶（圆柱下底面）下方的距离大于等于时茶叶不会外溢．用此“蒸茶器”蒸茶时为防止茶叶外溢，水的最大容积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图：在平行四边形中，已知，直线交于O，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．在锐角三角形中，内角，，的对边分别为，，，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．若，则为等腰三角形
C．是的充要条件
D．若，则为钝角三角形
10．已知复数，则（ ）
A．的虚部为 B．的共轭复数为
C． D．
11．如图，为边长为2的等边三角形，以的中点为圆心，1为半径作一个半圆，点为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的最大值为
D．若，则的最大值为
三、填空题
12．若复数满足，则________．
13．振风塔享有“万里长江第一塔”的美誉.某中学社会实践小组为测量振风塔的高度，开展了一次实地测量的活动.他们在塔底所在的水平地面上选取，两点，测得米，，，在点处测得塔顶的仰角为，则振风塔的高度约为__________米.（结果精确到整数，参考数据：取）
14．如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为，而为圆上的点，分别为以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，四棱锥的外接球的体积为_______.
四、解答题
15．已知．
(1)求；
(2)当为何值时，与垂直
16．某海滨景区计划建造一座观光灯塔，其主体结构由下部的圆柱和上部的圆锥组合而成（如图所示）．已知圆柱的底面半径为3m，高为5m，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆锥的母线长为5m．（取的近似值为3）
(1)求该灯塔主体结构的体积；
(2)已知物料费用由两部分组成：①主体结构材料费为每立方米1000元，②外部装饰涂料费为每平方米外表面积200元（不包括底面）．人工施工费为总物料费用的．若景区预算为40万元，问：该预算是否够用？
17．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面ABC，且底面是边长为2的正三角形，侧棱长为1，D是AC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成的角的正弦值．
18．三角形的布洛卡点是法国数学家、数学教育学家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者布洛卡重新发现，并用他的名字命名．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角所对边长分别为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为．
(1)若．求证：
①（为的面积）；
②为等边三角形．
(2)若，求证：．
19．“细长三角板”指的是有一个内角为的直角三角板.现有两个细长三角板，其较短的直角边长均为10cm，先按左图所示的方式放置，其中以表示两个细长三角板，，，直角顶点重合于点P，两条斜边在一条直线上.保持直角顶点重合，将两条斜边平行展开，得到如图所示的四棱锥P－ABCD.
(1)设，求证：PO⊥平面；
(2)是否存在四棱锥，使得底面为菱形？若存在，求此时四棱锥的高，若不存在，请说明理由；
(3)求四棱锥体积的最大值，并求此时平面与平面所成二面角的大小.
参考答案
1．A
解：由是纯虚数，得，解得．
故选：A.
2．D
【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误；
对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误；
对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误；
对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得，
由得，而，得，故D项正确．
3．B
【详解】若向量，，则，
，则，
.
故选：B
4．B
【详解】圆心角是，对应为，设扇形的半径为，也即扇形围成的圆锥母线长为，
由解得：，
所以圆锥的表面积为.
5．D
【详解】如图，根据斜二测画法性质可得，
作于，于，
则三角形、为两个全等的等腰直角三角形，
故.
则.
画出原四边形，可知 ，
且 ，则四边形 为直角梯形，
其面积为.
6．C
【详解】如图，作出圆台的轴截面，设截面上部延长部分三角形的高为，
由相似三角形性质，得，解得，
设水到达最大容量时水面的圆面半径为，
则，解得，
水的最大容量为.
故选：C.
7．D
【详解】设，则，
又，所以，
因为三点共线，所以，解得，
所以.
故选：D
8．A
【详解】由已知及正弦定理，得，
因为，所以，
所以，
因为，，所以，
所以，故，则，
因为是锐角三角形，所以，解得，所以，
由正弦定理，得
，
因为，所以．
故选：A
9．CD
【详解】对于A，由及正弦定理，
得，则，
得为锐角，但不能确定为锐角三角形，故A错误；
对于B，利用正弦定理，
可得，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，在中，根据正弦定理可知，，
故C正确；
对于D，在中，，
由，可得，则为锐角．
若为锐角，则，可得，
即，则，为钝角三角形；
若为钝角，则，可得，
即有，为钝角三角形，故D正确．
10．BD
【详解】由，故的虚部为1，故A错误；
而，故B正确；
，故C错误；
，故D正确．
11．ABD
【详解】对于A，由题意得
，故A正确；
对于B，由A知，，
则
，故B正确；
对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意得，
设，
所以，
当时，的最大值为5，故C错误；
对于D，由题意得，
可得，
因为，所以
，
，
因为，
所以当时，取得最大值，故D正确．
12．
【详解】因为，所以，
所以．
13．73
【详解】在中，，
由正弦定理得，
所以，
在中，，
所以 米，
故振风塔的高度约为73米．
14．
【详解】如图所示，连接交于点，
设正方形的边长为，则，.
因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，
所以，解得或(舍)，
所以.
设重合于点，该四棱锥的外接球的球心为，半径，侧棱长等于折叠前的，
则，，
在中，可得，解得，
外接球的体积.
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，即，则，
所以；
（2）若与垂直，
则，
即，
即，解得.
16．(1)
(2)景区预算够用
【详解】（1）设圆柱的底面半径为，圆柱的高为，圆锥的母线长为，圆锥的高为，
则，所以，
所以圆柱的体积为，
圆锥的体积为，
所以该灯塔主体结构的体积为；
（2）由（1）得：主体结构材料费为(元)，
又外部的表面积为，
所以外部装饰涂料费为（元），
所以总物料费为：（元），
所以人工施工费为（元），
所以总的费用为：（元），
即总的费用为：万元万元，
所以景区预算够用.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：设，连接，因为四边形为平行四边形，
所以为中点，又因为为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，得证．
（2）取中点，连接、，
因为底面，平面，所以，
因为是正三角形，是的中点，所以，
又因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，又因为，所以，
又，，平面，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
18．(1)
①若，
则
，
所以，
在中，分别由余弦定理得：
，
，
，
三式相加整理得，
即，
所以；
②由余弦定理可得，
则
，
当且仅当且时取等号，
有，所以，所以，所以，
即当且仅当且时取等号，
即当且仅当为等边三角形时取等号，
所以，当且仅当为等边三角形时取等号，
又由①知，
所以为等边三角形；
(2)
由（1）得，
所以
，
所以，
又由余弦定理可得，
所以，
所以，所以，
由正弦定理可得．
19．(1)证明：由题意知与平行且相等，则四边形为平行四边形，所以O为的中点
又由于，，所以，，
平面，，所以平面；
(2)不存在，理由：假设存在符合条件的四棱锥，由（1）知，设其高，
因为底面是菱形，则，
所以，
解得，
此时四棱锥退化为一个平面图形，故不存在符合条件的四棱锥；
(3)500，
【详解】（1）略
（2）略
（3）方法一：过点P作直线，则l平面，
由于，所以，则l平面，所以平面平面，
作，垂足分别为E，F，则,
所以是平面与平面所成二面角或其补角
，由于PO⊥平面，
平面，故，而O为的中点，则,
设，则， ，
由PO⊥平面，平面，故，
而平面，故平面，
平面，故，
所以
当且仅当时取等号，
故四棱锥体积的最大值为500（），
此时平面与平面所成二面角为90°
方法二：过点O作平行线的垂线，垂足分别为F，E，
取的中点G，，由以上分析可知，
所以，
以O为原点，所在直线为x，y，z轴建立坐标系，
设，，，，
由勾股定理知，
，
当且仅当时取“＝”，故所求最大值为500；
此时，，，，，
，，
设平面的一个法向量，则，则，
可取；
，，
设平面的一个法向量，则，则，
可得平面的一个法向量，
故，所以所求二面角为90°.

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