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新疆维吾尔自治区喀什第二中学2025-2026学年第二学期高二年级期中考试数学试卷
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
2．展开式中的系数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．35
3．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）

A．有2个极值点 B．在处取得极大值
C．在上单调递增 D．有极小值，没有极大值
4．设随机变量的分布列为
1
其中．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．口袋内有大小、质地相同的红球2个，黄球、蓝球各1个．依次不放回地从中摸取2个球（每次取1个球）、记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数在区间内有一个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．3名男同学和4名女同学排成一队参加学校志愿者公益活动，若要求队头与队尾是男同学，且男同学不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．240 B．364 C．432 D．468
8．已知定义在上的奇函数满足，，当时，，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．对于随机事件，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（ ）
A． B．展开式的二项式系数和为
C．展开式的各项系数和为 D．
11．以“智能时代，同球共济”为主题的2025年世界人工智能大会在上海盛大开幕.现安排甲 乙 丙 丁 戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译 礼仪 司机三项工作可以安排，下列说法正确的是（ ）
A．每人安排一项工作的不同方法数为
B．每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同安排方法种数是
C．若甲乙丙会翻译，丙丁戊懂礼仪，现翻译和礼仪各安排两人，则不同的安排方法数为
D．每人安排一项工作，如果礼仪工作不安排，其余两项工作每项工作至少安排一人，则不同的安排方法数为
三、填空题
12．已知随机变量服从二项分布，若，则______.
13．教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A B C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教师只能去一个学校，不同的选派方法数有___________种（用数字作答）.
14．已知函数，，若对任意的，存在使得，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
15．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的单调区间.
16．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.2，第2车间的次品率为0.1，两个车间的成品都混合堆放在同一个仓库.假设第1，2车间生产电器的比为.
(1)一个客户从成品仓库随机提取一台产品，计算该产品为合格品的概率；
(2)若客户从成品仓库随机提取一台产品为合格品，求该产品是第1车间生产的概率.
17．已知的展开式中所有项的系数之和为729.
(1)求；
(2)求展开式中各项系数的最大值；（结果用数字表示）
(3)求的展开式中的系数.（结果用数字表示）
18．一个袋子内装有若干个颜色为红、白、黑的小球（除颜色外，大小完全相同），红球、白球、黑球的个数比为，若从中随机抽取2个小球，取到同色球的概率为．
(1)求袋子内小球的个数；
(2)若从中随机抽取3个小球，设取出白球的个数为，求的分布列；
(3)若一次只抽取1个小球，抽取两次（第一次抽取的小球不放回），求第二次抽取的是黑球的概率．
19．已知函数.
(1)若该函数在单调递增，求的取值范围.
(2)当时，若方程有两个实数根，且，证明：.
参考答案
1．D
【详解】，
所以.
故选：D.
2．A
【详解】展开式的通项为，
所以的系数为.
3．D
【详解】由图象得，当时，，当且仅当时取等号；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
因此函数有一个极小值，没有极大值，ABC错误，D正确.
故选：D
4．A
【详解】由题意得，
代入分布列的概率得 ，
已知 ，因此列方程 ，
解得 ，满足 ，符合条件；
所以期望为，
因此得到.
5．D
【详解】记“第一次摸到红球”为事件，“第二次摸到黄球”为事件，
“第一次摸到蓝球”为事件，“第一次摸到黄球”为事件，
则，
所以.
6．D
【详解】因为函数，，所以在上恒成立，则在上单调递增，
要使函数在区间内有一个零点，根据零点存在定理可得：，即，
解得：，即实数的取值范围是；
故选：D
7．C
【详解】先安排队头有种排法，再安排队尾有种排法，然后安排4名女同学有种排法，最后在4名女同学中安排剩下男同学有种排法，根据分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为．
8．A
【详解】令，则，由题可知，当时，，故在单调递减；
又为奇函数，也为奇函数，故为偶函数，则在单调递增；
又，则，画出的模拟草图如下所示：

当时，，则，数形结合可知，此时；
当，因为为上的奇函数，故，不满足题意；
当，，则，数形结合可知，此时；
综上所述：的解集为.
故选：A.
9．BD
【详解】对于A，因为，
所以，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，
所以，故C错误；
对于D，，故D正确．
10．AD
【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确；
对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确；
对于D：令，得，令，得，所以，故D正确．
11．CD
【详解】对于A，由分步乘法计数原理可得，每人安排一项工作的不同方法数为，故A错误；
对于B，每人安排一项工作，每项工作至少有一人参加，
则每项工作的人数分别为或，
故不同的安排方法，
而，故B错误；
对于C，若丙做翻译，则不同的安排方法为，
若丙不做翻译，则不同的安排方法为，
故不同的安排方法为，故C正确；
对于D，每人安排一项做翻译或司机中的一项工作，共有种安排方法，
如果人都安排做翻译或司机，共有2种安排，故不同的安排方法数为，故D正确.
故选：CD.
12．
【详解】，则，则.
13．150
【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法，
第一类：各组人数分别为1，1，3，共有种分法；
第二类：各组人数分别为1，2，2，共有种分法，
再将三组人员分配到A B C三个乡村学校去，共有种，
所以不同的选派方法共有种.
故答案为：150
14．
【详解】的导函数为，当时，，
由时，，时，，
可得在上单调递减，在上单调递增，
故在上的最小值为，最大值为，
所以对于任意的，．
因为开口向下，对称轴为轴，
又，所以当时，，当时，，
则函数在上的值域为，
又因为存在．
由题意，得，
可得，解得．
故答案为: ．
15．（1）；（2）的单调递增区间为，的单调递减区间为.
【详解】函数的定义域为，
，
求导，.
由点斜式得切线方程为：，即.
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）由（1）知，，
令，得，.
当x变化时，，的变化情况如下表：
x 3
0
单调递减 极小值 单调递增
所以，的单调递增区间为，的单调递减区间为.
16．(1)
(2)
【详解】（1）设“随机提取一台产品是合格品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件，“提取的一台产品是第车间的产品”为事件
根据题目可得，，，，
根据全概率公式，可得：.
（2）根据贝叶斯公式，可得： .
17．(1)
(2)240
(3)140
【详解】（1）令，得，得.
（2）的展开式的通项.
设第项的系数最大，
则整理得
解得，则，
所以展开式中各项系数的最大值为.
（3）中没有项，的展开式中的系数为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，
所以的系数为.
18．(1)8；
(2)
(3)．
【详解】（1）设红球、白球、黑球的个数分别为，，，
因为从中随机抽取2个小球，取到同色球的概率为，
所以，即，整理得，
因为，所以，所以袋子内小球的个数为8；
（2）由（1）知，袋子内有8个小球，其中4个白球，
故的所有取值为：0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为：
（3）设第一次抽取的是红球、白球、黑球分别为事件，，，第二次抽取的是黑球为事件，，且，，互斥．
由全概率公式可得
，
所以第二次抽取的是黑球的概率为．
19．(1)
(2)证明见解析.
【详解】（1）由题意，
当时，，在上单调递增，满足题意；
当时，当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又该函数在单调递增，故，
综上可知，的取值范围为
（2）当时，，
由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，令，
则，
所以在上单调递减，，即，
令，则，故，
又在上单调递增，，所以，
故

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