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2025-2026学年广东省四校高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知随机事件与满足，，且，则( )
A. B. C. D.
4.函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.某电影院一排有个连续座位，甲、乙、丙等人随机就座，已知甲不坐在两端，且乙与丙之间恰好隔个人，则不同的就座方式共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.若函数的最大值为，则实数( )
A. B. C. D.
7.如图，直线交椭圆：于，两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于，两点，且，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
8.实数，满足，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 一个盒子里装有质地均匀的小球个，其中红球个，黑球个，从中抽取个小球，记取到红球的个数为随机变量，则
B. 相关系数的绝对值越小，两个变量之间的线性相关程度越强
C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过
D. 若随机变量服从正态分布，且，则
10.已知双曲线的一支，圆：，则( )
A. 的渐近线方程为
B. 的渐近线与圆相交
C. 圆上恰有三个点到的一条渐近线的距离为
D. 与和圆各恰有一个公共点的直线不止条
11.已知随机变量且，设函数，记，则( )
A.
B. 对任意，，恒成立
C. 存在，，使得函数在区间内有零点
D. 任意，，对任意，，且，函数满足
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的二项展开式的各项系数之和为 ．
13.已知等比数列，公比，且，则 ．
14.在世界杯期间，有种不同的纪念品：纪念品大力神杯模型、纪念品官方用球、纪念品官方吉祥物甲、乙、丙三位球迷独立随机地选择纪念品，对于每个人来说，每种纪念品选与不选都是等可能的则至少有一种纪念品被甲、乙、丙三人都选中的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列，满足是等差数列，且，．
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，证明：．
16.本小题分
如图，正三棱柱的所有棱长都为，且．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，，为抛物线上两个不同的动点当中点横坐标为时，．
求抛物线的方程；
若直线过点，在轴上是否存在点，使得恒在以线段为直径的圆内？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
一只蚂蚁在一个正方体的表面上爬行，记这个正方体的个面分别为，，，，，其中，是与相对的面初始时刻，蚂蚁所在的面为，之后每过一秒，不知疲倦的蚂蚁都会等可能地爬到相邻的四个面中的某一个．
分别求第秒末，蚂蚁位于面和面的概率；
求第秒末蚂蚁位于面的概率；
对于随机变量，若定义随机变量，则有记从初始时刻到第秒末，蚂蚁位于面的总次数为随机变量，求．
19.本小题分
已知函数．
求在处的切线方程；
已知，，曲线上的两点，处的切线都经过点证明：
，且；
(ⅱ)若，当取得最小值时，求的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
由，
时，；时，，
，
因为，所以，
综上知，，
16.【答案】取中点，连结，
由题意知，为正三角形，
，
由正三棱柱的性质知，平面平面，
又平面平面，平面，
平面，
平面，，
在中，，
在中，，
，
又，
，即，
而，，平面，
平面，
平面，，
由四边形是正方形，知，
又，、平面，
平面

17.【答案】

18.【答案】第秒末，蚂蚁位于面和面的概率都为

19.【答案】
证明：由题意，过点可以作至少条切线，
把代入，得，
令，则问题转化为至少有两个零点，
，
若，则，在上单调递增，
至多只有个零点，不合题意，舍去；若，令，得，
，，单调递增；，，单调递减；，，
对数函数增长速度比一次函数慢，当足够大时，，
有两个零点，则，即；综上可知，，且；
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