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2025-2026学年辽宁省北票市高级中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.的虚部为( )
A. B. C. D.
3.“”是“”的条件．
A. 必要不充分 B. 充分不必要 C. 充要 D. 既不充分也不必要
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数若函数有三个不同的零点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若，则或
B. 若，，则
C. 若，，，则的最小值为
D. 若，，则的最大值为
10.已知函数，则( )
A. 函数的最小值为
B. 函数的一个对称中心为
C. 函数在区间单调递减
D. 函数的图像可由的图像向左平移个单位长度得到
11.已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且，，则( )
A. B. 双曲线的离心率为
C. 与双曲线有两个交点 D. 的内心在轴上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ．
13.若正三棱锥的高为，，二面角为，则 ．
14.已知函数是定义在上的连续可导函数，且的导函数为，为奇函数，设，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数．
求在处的切线方程；
求的单调区间和极值点．
16.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，求的面积．
17.本小题分
已知，是抛物线：上的两点．
求抛物线的方程；
若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．
18.本小题分
如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点在侧棱上，且．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求二面角的大小；
Ⅲ侧棱上是否存在一点，使得平面．
若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
19.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
讨论函数的单调性；
函数有两个零点，，求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
在上单调递减，在和上单调递增；极大值点为；极小值点为
16.【答案】解：由，根据正弦定理得，
因为在中，，可得，
所以，可得，结合，可得；
在中，，，
根据余弦定理，可得，
所以，可得，
因此，的面积．
17.【答案】；

18.【答案】解：
Ⅰ证明：连接 交 于，连接；
四棱锥是正四棱锥，且底面是正方形；
，，三直线两两垂直，所以分别以这三直线为，，轴，建立如图所示的直角坐标系；
设，由已知可得：，，，，，；
；
；
；
Ⅱ底面；
为平面的一条法向量；
设平面的法向量为，则：；
；
，取，则；
设二面角的大小为，则：
；
；
即二面角的大小为；
Ⅲ假设在侧棱上存在一点，使得平面，则：
和平面的法向量垂直；
在棱上，设；
；
；
存在点使平面；
此时，．
19.【答案】的单调递减区间是，单调递增区间是 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、；当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、 ，
因为函数有两个零点，，不妨设，
则，
所以，
整理可得，即，
要证，即证，
即证，
令，即证，
令，其中，则，
所以函数在上为增函数，则，
即，即，故原不等式得证
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